2.1.1不等式的基本性质——实数的大小（课件）-高教版《数学 基础模块上册》（2023修订版）《上好课》

2.1.1不等式的基本性质 实数的大小 20XX.XX.XX 1 1.掌握实数大小比较的数轴法、作差法和作商法，能准确判断任意两个实数的大小关系。 2.通过实例引入实数大小比较问题，引导学生观察、分析、归纳出比较方法，培养逻辑思维能力。 3.在解决问题的过程中，逐步掌握不等式基本性质的应用，提高分析问题和解决问题的能力。 学习目标 与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质． 引入 两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？ 情境导入 目测无法得出准确结论，需要计算面积 图(1)所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2； 正方形面积=边长×边长 情境导入 图(2)所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2． 情境导入 一般地，对于任意实数a，b，如果a-b>0 ，那么称a大于b（或b小于a）． 由于9−8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图(1)所示正方形的面积大于图(2)所示矩形的面积． 情境导入 因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数a、b都可以在数轴上找到对应的点A和B，如图所示． 显然，当点A在点B的右边时， a>b ； 当点A在点B的左边时， a<b ； 当点A与点B重合时， a=b ． 探索新知 关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示： a > b ⇔a-b > 0， a < b ⇔ a-b < 0， a = b ⇔ a-b = 0 ． 要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． 读一读 “⇔”表示“等价于”，即可以互相推出 ． 探索新知 例1 比较 与 的大小． 解 因为 所以 ． 例题辨析 例2 比较(x+1)(x+2)与3x-1的大小． 解 因为(x+1)(x+2)-(3x-1)=(x²+3x+2)-(3x-1) =x²+3>0， 所以 (x+1)(x+2)>3x-1． 例题辨析 例3 比较 2x²-x 与x²+2x-3的大小． 解 因为 (2x²-x)-(x²+2x-3) = x²-3x+3= x²-3x+ - = + ， 对任意实数x，都有 ≥0 ，所以 + > 0 ． 故 2x²-x >x²+2x-3． 例题辨析 设a，b均为实数，试比较a²+b²-ab与ab的大小． （1）作差比较： (a2+b2−ab)−ab=a2+b2−2ab=(a−b)2（完全平方公式） （2）判断正负： 由于 (a−b)2 是一个平方项，对于任意实数 a,b，都有：(a−b)2≥0 当且仅当 a=b 时，(a−b)2=0。 探究与发现 （3）得出结论： (a2+b2−ab)≥ab 想一想： 实数比大小，除了上面学习的作差比较法，还有其它的方法吗? 拓展延伸 方法（1）数轴法 （直观比较）将数表示在数轴上，左边的数恒小于右边的数。 适用场景：比较具体数值（如1.4与2）。 拓展延伸 方法（2）中间值法 与1.8，可取1.74（≈1.732）与1.8比较， ∵1.74＜1.8， ∴＜1.8. 注意：中间值的选取要根据具体实数灵活确定，以简化比较过程 拓展延伸 方法（3）作商法（商大于1则前者大，商小于1则后者大） 2÷5=0.4 ∵0.4＜1， ∴2<5 拓展延伸 15÷3=5 ∵5>1 ∴15>3 (-15)÷(-3)=5 ∵5>1 ∴-15>-3 拓展延伸 作商法比大小需要注意： ★符号一致性​：必须确保两数同号​（同正或同负），否则商的正负会影响不等号方向。 ★分母不为零​ 方法（4）平方法 适用场景：比较无理数。 拓展延伸 1．比较下列各组实数的大小． （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与0.83. 2．若a>b ，比较2a-1 与2b-1 的大小． 巩固练习 解：a>b，2a>2b（乘法法则） 2a－1＞2b－1（加法法则） 巩固练习 3．比较x²-1与2x²+3 的大小． 4．比较 x²-x 与x-2 的大小． 解：2x²+3-（x²-1）=x²+4>0 2x²+3>x²-1 解：x²-x-(x-2)=x²-2x+2=(x-1)2+1>0 x²-x>x-2 巩固练习 巩固练习 举一反三 巩固练习 巩固练习 比较3与2b的大小关系． 归纳总结 1.完成《同步练习》2.1.1。 2.查漏补缺：根据个人情况复习回顾课堂所学，整理完善课堂笔记。 作业布置 好好学习 天天向上 $$