正方体表面涂色问题（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

《正方体表面涂色问题》教学设计 学情分析： 学生已认识了正方体的特征，认识了正方体的表面积和体积，能解决有关正方体表面积和体积的计算问题。已从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，但仍然是同直接与感性经验相联系，仍然具有很大成份的具体形象性。在前测中，以小组为单位，学生自主探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的数量的规律，以及每种特征十分困难，特别是发现一面涂色和没有涂色的块数中的规律，对学生来说太抽象了。因此，本课的设计围绕“借助直观、经历过程、启迪思维”的模式展开，充分尊重学生的现实，利用大量具体直观的材料，力求人人参与，引导学生经历发现规律——验证规律——总结归纳——应用规律的过程。 教学目标： 1、通过观察、操作、演示、想象、列表等活动进一步认识和理解正方体特征，发现小正方体不同涂色面和它在大正方体中的位置规律。 2、运用直观模型和信息技术等手段，经历发现规律的全过程，获得“化繁为简”的解決问题的策略，积累数学思维的活动经验，培养空间想象能力。 3、引导学生在动手操作的过程中发现规律，在相互交流中，学会倾听他人意见，及时自我修正、自我反思，提高数学学习的兴趣，增强学好数学的信心。 教学重、难点： 教学重点：探究并发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。 教学难点：理解大正方体的棱平均分的份数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体的个数之间的关系，小正方体不同涂色面的个数与它所在的大正方体的棱平均分的份数的关系。 教学准备： 正方体学具，PPT课件、探究学习单、练习题卡 一、导入新课，复习旧知 1、猜谜语：一物生来四方方，四柱八棱一样长。共有六个小脸儿，大小胖瘦都一样。（正方体） 2、你知道正方体的哪些知识？（有6个面，12条棱，8个顶点） 3、今天我给大家带来了一个正方体，这个正方体的六个面都被我涂上了红色，然后我把这个正方体的棱长平均分成3份，再用刀将它像图上这样切割成一个个小正方体，想想一共有多少个小正方体？如果我把棱平均分成4份，再切开，可得到多少个小正方体？平均分成5份呢？ （学生汇报，老师相机板书） 4、师：（教师展示由27个小正方体拼成的表面涂成红色的大正方体）再来看看这个棱平均分成3份的正方体，想一想小正方体的6个面都会被涂成红色吗？那小正方体的涂色有哪几种情况？你能分别找出来吗？ 学生（预设）：小正方体的涂色共有4种情况，分别是三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色。 师：那各种涂色情况的小正方体分别位于原大正方体的什么位置？各有多少个？这就是我们这节课要探究的正方体表面涂色问题（板书课题）。 二、引导探究 分组探究，初步感知三面涂色、二面涂色和一面涂色的小正方体的位置和个数。 师：有这样一句话“复杂的事情简单做，简单的事情用心做”，为了降低同学们的探究难度，我们先从最简单的棱平均分成3份、4份的情况开始探究，我们分小组分情况来探究。请小组长上来领探究任务、学具及探究单。（共分3大组，分别探究三面涂色、两面涂色和一面涂色的情况） (1)分组探究，各小组根据探究内容在正方体上涂色，并填好探究单。（涂、找、算） (2)分组汇报、展示。 1、三面涂色的情况 师：三面涂色的小正方体位于原大正方体的什么位置？如果棱平均分成3份、4份，三面涂色的小正方体各有多少个？为什么？ 生（预设）：位于原大正方体的顶点上，棱平均分成3份，三面涂色的有8个，棱平均分成4份，三面涂色的也有8个，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体都是8个。（课件演示）如果棱平均分成5份，三面涂色的有多少个？ 2、二面涂色的情况 师：二面涂色的小正方体位于原大正方体的什么位置？棱平均分成3份时，二面涂色的小正方体有多少个？能用算式表示吗？”1“表示什么？（每条棱上二面涂色的小正方体有1个）能用一个算式表示”1“的来历吗？（3-2）那”12“表示什么意思？棱平均分4份时，二面涂色的小正方体有多少个？能用算式表示吗？”2“表示什么？（每条棱上二面涂色的小正方体有1个）能用一个算式表示”2“的来历吗？（4-2）。（PPT展示）。如果棱平均分成5份，二面涂色的有多少个？怎么用算式表示？ 3、一面涂色的情况 师：一面涂色的小正方体位于原大正方体的什么位置？棱平均分成3份时，一面涂色的小正方体有多少个？能用算式表示吗？”1“表示什么？（每个面中一面涂色的小正方体有1个）每个面上明明有9个正方体，为什么不用9乘6而用1乘6呢？“6“表示什么意思？棱平均分成4份时，一面涂色的小正方体有多少个？能用算式表示吗？”（（PPT展示）。如果棱平均分成5份，一面涂色的有多少个？怎么用算式表示？ （二）合作探究，感知没有涂色的小正方体的位置和个数 师：没有涂色的小正方体我们是看不见的，那它位于原大正方体的什么位置呢？（正中心）有没有什么办法可以得到棱平均分成3份、4份、5份时没有涂色的小正方体的个数吗？ 生(预设）：可以用小正方体的总个数减去三面涂色、二面涂色、一面涂色的个数。 师：请大家算一算。 生（预设）：通过计算可以得到没有涂色的小正方体分别有1个、8个和27个。 师：除了用减法，还有别的办法吗？既然没有涂色的小正方体位于原大正方体的正中心，如果我们把最外层涂色的小正方体都切掉，是不是就可以看见没涂色的小正方体了呢？现在我们就一起来切一切吧。（PPT演示棱平均分成3份时的情况）上切一层、下切一层，左切一层、右切一层、前切一层、后切一层，没涂色的小正方体有（3-2）(3-2)(3-2)个，可以简单表示成（3-2）3个；同理，棱平均分成4份、5份时，没涂色的小正方体的个数可怎么表示呢？ （三）总结归纳，棱平均分成n份时，小正方体的涂色情况 师：同学们，我们刚才已经探究了棱平均分成3份、4份、5份的正方体中小正方体的涂色情况，那我们还要继续探究棱平均分成6份、7份、100份甚至1000份的涂色情况吗？如果棱平均分成n份，各涂色面的小正方体各有多少个呢？怎么用含有 n的式子来表示呢？（PPT展示，引导学生归纳各涂色面小正方体个数的规律） 棱平均分的份数 3 4 5 n  小正方体的个数 33 43 53 n3 三面涂色的个数 8 8 8 8 二面涂色的个数 （3-2）×12 （4-2）×12 （5-2）×12 （n-2)×12 一面涂色的个数 1×6=6 4×6=12 9×6=54 (n-2)2×6 没有涂色的个数 13 23 33 (n-2)3 总结归纳： 若棱被平均分成n份，三面涂色的是8块，两面涂色的是(n-2)×12，一面涂色的是(n-2)²×6，没有涂色的块数(n-2)³。 【设计意图:引导学生经历发现规律一一验证猜想一一总结归纳一一应用规律的过程，初步学会探索规律的方法，积累数学活动经验】 活学活用（解决问题） 有一个棱长12厘米的正方体，在它的六个面上都涂上红色，再把它切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的和没有涂色的小正方体各有多少个？ 全课总结，反思提升 同学们，我们通过探究棱平均分成3份、4份的正方体表面涂色的情况，归纳出了棱平均分成n份时的涂色情况的规律，并用这个规律算出了棱平均分成12份时各涂色面的小正方体的个数，像这种通过简单的现象发现规律，并用这个规律去解决复杂问题的策略就是我们数学中的化繁为简的思想。今天的这节课通过大家的仔细观察，发现了许多规律，今后我希望同学们在数学学习的过程中，要细心观察，善于发现，开动脑筋，相信你们能发现更多数学的美。 课后延升（探究长方体表面涂色规律） 一个长方体，长7厘米、宽5厘米、高8厘米，如果在它的每个面上都涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，三面涂色、二面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少个?   板书设计          正方体表面涂色问题（化繁为简） 棱平均分的份数 3 4 5 n 棱平均分的份数 33 43 53 n3 三面涂色的个数 8 8 8 8 二面涂色的个数 （3-2）×12 （4-2）×12 （5-2）×12 （n-2) ×12 一面涂色的个数 1×6 4×6 9×6 (n-2)2×6 没有涂色的个数 13 23 33 (n-2)3 学科网（北京）股份有限公司 $$