第二章 不等式（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 基础模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章集合不等式的单元测试卷，主要考查解基本不等式、含参数不等式、不等式应用。 第二章 不等式 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题中，真命题是（ ）​ A. 若​a>b，则​ac2>bc2 B. 若​a>b，​c>d，则​a−c>b−d ​C. 若​a>b，​c<d，则​ca​>db​ D. 若​a>b>0，则 2. 已知​a>b，​c>d，且​c，​d不为​0，那么下列不等式一定成立的是（ ）​ A. ​ad>bc B. ​ac>bd ​C. ​a+c>b+d D. ​a−c>b−d 3. 已知​x∈[−2,5)，则不等式的解集用区间表示为（ ）​ A. ​[−2,5] B. ​(−2,5) ​C. ​[−2,5) D. ​(−2,5] 4. 不等式​x2−3x+2<0的解集为（ ）​ A. ​{x∣1<x<2} B. ​{x∣x<1或x>2} ​C. ​{x∣−2<x<−1} D. ​{x∣x<−2或x>−1} 5. 已知不等式​ax2+bx+c>0的解集是​{x∣−1<x<2}，则不等式​cx2+bx+a<0的解集是（ ）​ A. ​{x∣x<−1或x>21​} B. ​{x∣−1<x<21​} C. ​{x∣21​<x<1} D. ​{x∣x<21​或x>1} 6. 不等式​x2−4x+m⩾0对任意​x∈R恒成立，则实数​m的取值范围是（ ）​ A. ​m⩾4 B. ​m>4 ​C. ​m⩽4 D. ​m<4 7. 已知不等式​x2−mx+n⩽0的解集是​{x∣−5⩽x⩽1}，则​m+n的值为（ ）​ A. ​−1 B. ​−9 ​C. ​1 D. ​9 8. 不等式​∣2x−1∣⩽3的解集为（ ）​ A. ​{x∣−1⩽x⩽2} B. ​{x∣x⩽−1或x⩾2} ​C. ​{x∣−2⩽x⩽1} D. ​{x∣x⩽−2或x⩾1} 9. 不等式​∣x−3∣>2的解集是（ ）​ A. ​{x∣x<1或x>5} B. ​{x∣1<x<5} ​C. ​{x∣x<5} D. ​{x∣x>1} 10. 若不等式​∣ax+2∣<6的解集为​{x∣−1<x<2}，则实数​a的值为（ ）​ A. ​8 B. ​2 C. ​−4 D. ​−8 11. 已知​a>0，​b>0，且​a+b=1，则​+​的最小值为（ ）​ A. ​2 B. ​4 ​C. ​6 D. ​8 12. 若​x>0，则​x+​的最小值为（ ）​ A. ​2 B. ​4 ​C. ​6 D. ​8 13. 不等式​(x+2)(x−3)<0的解集是（ ）​ A. ​{x∣−2<x<3} B. ​{x∣x<−2或x>3} ​C. ​{x∣x<−3或x>2} D. ​{x∣−3<x<2 14. 若关于​x的不等式​x2+ax+1>0的解集为​R，则实数​a的取值范围是（ ）​ A. ​(−2,2) B. ​[−2,2] ​C. ​(−∞,−2)∪(2,+∞) D. ​(−∞,−2]∪[2,+∞) 15. 若关于x的不等式x2−2ax+a2−1≤0的解集为 [b,c]，则b+c=（ ） A.  0 B.  2a C.  −2a D.  a2−1 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．命题 “若​a>b，则​a+c>b+c” 是______命题（填 “真” 或 “假”）． 17. 若集合A={x∣x−1∣<3}，则 A= ________（用区间表示） 18. 不等式x(3x−2)≥0的解集是 ________ 19. 若关于 x 的不等式 x2+(k−1)x+1≥0 对一切实数 x 成立，则 k 的取值范围是 ________ 20. 用长为24 m的篱笆围一个矩形菜地，要求菜地面积不小于20 m²，则宽 x (m) 的取值范围是 ________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．比较​a2+b2与​2ab的大小，并说明理由. 22．解不等式​2x2−3x−2>0. 23．23. 解关于 x 的不等式：∣x−2∣>a （a∈R). 24．某工厂生产产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品，成本增加100元。市场调研表明，当售价为150元时，销量为 500 件；售价每降低10元，销量增加100件。设售价为x元，要使工厂不亏损，求x的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章集合不等式的单元测试卷，主要考查解基本不等式、含参数不等式、不等式应用。 第二章 不等式 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题中，真命题是（ ）​ A. 若​a>b，则​ac2>bc2 B. 若​a>b，​c>d，则​a−c>b−d ​C. 若​a>b，​c<d，则​ca​>db​ D. 若​a>b>0，则 【答案】D 【分析】考查不等式性质． 【详解】​选项 A：当​c=0时，​ac2=bc2=0，所以 A 是假命题。​选项 B：若​a=3，​b=2，​c=4，​d=1，则​a−c=3−4=−1，​b−d=2−1=1，此时​a−c<b−d，所以 B 是假命题。​选项 C：若​a=2，​b=1，​c=−1，​d=2，则​ca​=−2，​db​=21​，此时​ca​<db​，所以 C 是假命题。​选项 D：因为​a>b>0，不等式两边同时除以​ab（​ab>0），得到​，所以 D 是真命题. 故选：D 2. 已知​a>b，​c>d，且​c，​d不为​0，那么下列不等式一定成立的是（ ）​ A. ​ad>bc B. ​ac>bd ​C. ​a+c>b+d D. ​a−c>b−d 【答案】C 【分析】利用不等式的同向可加性来判断选项. 【详解】因为​a>b，​c>d，根据不等式的同向可加性，两个同向不等式相加，不等号方向不变，所以​a+c>b+d，C 选项正确。​A 选项，当​a=2，​b=1，​c=−1，​d=−2时，​ad=−4，​bc=−1，此时​ad<bc，A 错误。​B 选项，当​a=2，​b=1，​c=−1，​d=−2时，​ac=−2，​bd=−2，此时​ac=bd，B 错误。​D 选项，由前面分析可知 D 错误. 故选：C 3. 已知​x∈[−2,5)，则不等式的解集用区间表示为（ ）​ A. ​[−2,5] B. ​(−2,5) ​C. ​[−2,5) D. ​(−2,5] 【答案】C 【分析】已知条件已经给出x的取值范围用区间表示就是[−2,5)，直接根据已知作答 【详解】因为题目中明确x∈[−2,5)，所以不等式的解集用区间表示就是[−2,5)，C 选项正确故选：C 4. 不等式​x2−3x+2<0的解集为（ ）​ A. ​{x∣1<x<2} B. ​{x∣x<1或x>2} ​C. ​{x∣−2<x<−1} D. ​{x∣x<−2或x>−1} 【答案】A 【分析】先将一元二次不等式因式分解，再求解集 【详解】对于不等式​x2−3x+2<0，因式分解得​(x−1)(x−2)<0。​所以不等式​x2−3x+2<0的解集为​{x∣1<x<2}​. 故选：A 5. 已知不等式​ax2+bx+c>0的解集是​{x∣−1<x<2}，则不等式​cx2+bx+a<0的解集是（ ）​ A. ​{x∣x<−1或x>21​} B. ​{x∣−1<x<21​} C. ​{x∣21​<x<1} D. ​{x∣x<21​或x>1} 【答案】A 【分析】由已知不等式的解集推出a、b、c的关系，再代入所求不等式求解 【详解】因为不等式​ax2+bx+c>0的解集是​{x∣−1<x<2}，所以​−1，​2是方程​ax2+bx+c=0 的两根，且​a<0。​由韦达定理得​​=−1+2=1，即​b=−a；​=−12=−2，即​c=−2a。​ 将​b=−a，​c=−2a代入不等式​cx2+bx+a<0得：​−2ax2−ax+a<0，因为​a<0，两边同时除以​ a，不等号变向，得​2x2+x−1>0。​因式分解得​(2x−1)(x+1)>0，解得​x>21​或​x<−1。​ 所以不等式​cx2+bx+a<0的解集是​{x∣x<−1或x>21​}. 故选：A 6. 不等式​x2−4x+m⩾0对任意​x∈R恒成立，则实数​m的取值范围是（ ）​ A. ​m⩾4 B. ​m>4 ​C. ​m⩽4 D. ​m<4 【答案】A 【分析】利用一元二次函数的判别式来确定m的取值范围 【详解】对于一元二次函数​y=x2−4x+m，因为不等式​x2−4x+m⩾0对任意​x∈R恒成立，所以该函数图像在​x轴上方或与​x轴相切。​即​Δ=b2−4ac⩽0，在​y=x2−4x+m中，​a=1，​b=−4，​c=m，则​Δ=(−4)2−41m⩽0。​即​16−4m⩽0，移项得​4m⩾16，解得​m⩾4.故选：A 7. 已知不等式​x2−mx+n⩽0的解集是​{x∣−5⩽x⩽1}，则​m+n的值为（ ）​ A. ​−1 B. ​−9 ​C. ​1 D. ​9 【答案】B 【分析】根据不等式的解集确定方程的根，再由韦达定理求出m、n的值 【详解】因为不等式​x2−mx+n⩽0的解集是​{x∣−5⩽x⩽1}，所以​−5，​1是方程​x2−mx+n=0的两根。​由韦达定理得​−5+1=m，−51=n​，即​m=−4，n=−5​。​所以​m+n=−4−5=−9.故选：B 8. 不等式​∣2x−1∣⩽3的解集为（ ）​ A. ​{x∣−1⩽x⩽2} B. ​{x∣x⩽−1或x⩾2} ​C. ​{x∣−2⩽x⩽1} D. ​{x∣x⩽−2或x⩾1} 【答案】A 【分析】去掉绝对值符号，转化为一般不等式求解 【详解】由​∣2x−1∣⩽3得​−3⩽2x−1⩽3。​先解​−3⩽2x−1，移项得​−3+1⩽2x，即​−2⩽2x，解得​x⩾−1。​再解​2x−1⩽3，移项得​2x⩽3+1，即​2x⩽4，解得​x⩽2。​所以不等式​∣2x−1∣⩽3的解集为​{x∣−1⩽x⩽2}.故选：A 9. 不等式​∣x−3∣>2的解集是（ ）​ A. ​{x∣x<1或x>5} B. ​{x∣1<x<5} ​C. ​{x∣x<5} D. ​{x∣x>1} 【答案】A 【分析】去掉绝对值符号，得到两个不等式求解 【详解】由​∣x−3∣>2得​x−3>2或​x−3<−2。​解​x−3>2，得​x>2+3，即​x>5。​解​x−3<−2，得​x<−2+3，即​x<1。​所以不等式​∣x−3∣>2的解集是​{x∣x<1或x>5}.故选：A 10. 若不等式​∣ax+2∣<6的解集为​{x∣−1<x<2}，则实数​a的值为（ ）​ A. ​8 B. ​2 C. ​−4 D. ​−8 【答案】C 【分析】先去掉绝对值符号，再结合已知解集列方程求解a 【详解】由​∣ax+2∣<6得​−6<ax+2<6，移项得​−6−2<ax<6−2，即​−8<ax<4。​ 因为不等式​∣ax+2∣<6的解集为​{x∣−1<x<2}，当​a>0时，​<x<​，则​​=−1，=2​，此时无解。​当​a<0时，​​<x<，则​​=−1，​=2​，解得​a=−4.故选：C 11. 已知​a>0，​b>0，且​a+b=1，则​+​的最小值为（ ）​ A. ​2 B. ​4 ​C. ​6 D. ​8 【答案】B 【分析】将​​+​进行变形，利用基本不等式求解最小值. 【详解】因为​a+b=1，所以​​+​=(​+​)(a+b)=1+++1=2++。​因为​a>0，​b>0，根据基本不等式​+⩾2=2（当且仅当​a=b时取等号）。​所以​​+​的最小值为4故选：B 12. 若​x>0，则​x+​的最小值为（ ）​ A. ​2 B. ​4 ​C. ​6 D. ​8 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式​a+b⩾2ab​（​a>0，​b>0）求解. 【详解】​因为​x>0，所以​x+⩾2=2=4，当且仅当​x=，即​x=2时取等号，所以​x+​的最小值为​4.故选：B 13. 不等式​(x+2)(x−3)<0的解集是（ ）​ A. ​{x∣−2<x<3} B. ​{x∣x<−2或x>3} ​C. ​{x∣x<−3或x>2} D. ​{x∣−3<x<2 【答案】A 【分析】考查不等式解法. 【详解】​对于不等式​(x+2)(x−3)<0，方程​(x+2)(x−3)=0的根为​x=−2和​x=3。​因为二次项系数为正，所以不等式的解集为两根之间，即​{x∣−2<x<3}.故选：A 14. 若关于​x的不等式​x2+ax+1>0的解集为​R，则实数​a的取值范围是（ ）​ A. ​(−2,2) B. ​[−2,2] ​C. ​(−∞,−2)∪(2,+∞) D. ​(−∞,−2]∪[2,+∞) 【答案】A 【分析】考查解一元二次不等式时判别式的用法. 【详解】对于一元二次不等式​x2+ax+1>0，其解集为​R，则对应的一元二次函数​y=x2+ax+1的图像恒在​x轴上方，即​Δ=a2−411<0。​解不等式​a2−4<0得​(a−2)(a+2)<0，即​−2<a<2，所以实数​a的取值范围是​(−2,2). 故选：A 15. 若关于x的不等式x2−2ax+a2−1≤0的解集为 [b,c]，则b+c=（ ） A.  0 B.  2a C.  −2a D.  a2−1 【答案】B 【分析】考查含参一元二次不等式解集端点性质. 【详解】不等式为  (x−a)2≤1，解集为 [a−1,a+1]，端点之和：(a-1) + (a+1) = 2a(a−1)+(a+1)=2a. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．命题 “若​a>b，则​a+c>b+c” 是______命题（填 “真” 或 “假”）． 【答案】真 【分析】考查命题真假判断 【详解】根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。因为​a>b，两边同时加​c，可得​a+c>b+c，所以该命题是真命题 17. 若集合A={x∣x−1∣<3}，则A= ________（用区间表示） 【答案】(−2,4) 【分析】考查绝对值不等式与区间表示 【详解】∣x−1∣<3⟹−3<x−1<3⟹−2<x<4 18. 不等式x(3x−2)≥0的解集是 ________ 【答案】(−∞,0]∪[32​,+∞) 【分析】考查二次不等式解法 【详解】x=0,x=32​，开口向上，解集为两根之外 19. 若关于 x 的不等式 x2+(k−1)x+1≥0 对一切实数 x 成立，则 k 的取值范围是 ________ 【答案】[−1,3] 【分析】考查二次不等式恒成立条件 【详解】需 (k−1)2−4≤0⟹k2−2k−3≤0⟹(k−3)(k+1)≤0⟹k∈[−1,3] 20. 用长为24 m的篱笆围一个矩形菜地，要求菜地面积不小于20 m²，则宽 x (m) 的取值范围是 ________ 【答案】[2,10] 【分析】考查不等式实际应用（面积问题） 【详解】设宽 x，则长12−x，面积 S=x(12−x)≥20，解不等式： −x2+12x−20≥0⟹x2−12x+20≤0，根x=2,x=10，解集  [2,10] 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．比较​a2+b2与​2ab的大小，并说明理由. 【答案】​a2+b2⩾2ab，当且仅当​a=b时取等号 【分析】通过作差法比较两个式子的大小 【详解】​计算​a2+b2−2ab=(a−b)2。​因为任何实数的平方都大于等于​0，即​(a−b)2⩾0，​ 所以​a2+b2−2ab⩾0，​即​a2+b2⩾2ab，当且仅当​a=b时，​(a−b)2=0，取等号）. 22．解不等式​2x2−3x−2>0. 【答案】{x∣x<−21或x>2} 【分析】考查二次不等式解集与系数关系 【详解】对不等式​2x2−3x−2>0因式分解得​(2x+1)(x−2)>0。​方程​(2x+1)(x−2)=0的根为​x=−21​和​x=2。​因为二次项系数​2>0，所以不等式的解集为​x<−21​或​x>2，​即不等式​2x2−3x−2>0的解集是​{x∣x<−21​或x>2}. 23．23. 解关于 x 的不等式：∣x−2∣>a （a∈R). 【答案】当 a<0 时，解集为 R；当 a≥0 时，解集为 (−∞,2−a)∪(2+a,+∞) 【分析】考查含参绝对值不等式分类讨论 【详解】情况1： a<0绝对值恒非负，∣x−2∣≥0>a，故解集为 R。 情况2： a≥0不等式等价于：x−2>a或x−2<−a⟹x>2+a或x<2−a. 解集为  (−∞,2−a)∪(2+a,+∞). 24．某工厂生产产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品，成本增加100元。市场调研表明，当售价为150元时，销量为 500 件；售价每降低10元，销量增加100件。设售价为x元，要使工厂不亏损，求x的取值范围 【答案】[100,150] 【分析】考查不等式实际应用（利润模型） 【详解】销量 Q：设降价 k 个 10 元，则 x=150−10k，销量Q=500+100k； 总成本： C=20000+100Q；总收入： R=xQ=(150−10k)(500+100k)； 不亏损条件： R≥C，即： (150−10k)(500+100k)≥20000+100(500+100k) 化简：75000+15000k−5000k−1000k2≥70000+10000k −1000k2+10000k+5000≥0，即k2−10k−5≤0，解得k∈[5−30​,5+30​] 又因为x=150−10k，所以结合实际：售价x≥100（成本价约束），且 x≤150（初始定价）， x∈[100,150] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 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