专题06 三角函数定义、图像与性质（讲义）-2026版河北省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第6个专题，内容为三角函数定义、图像与性质。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题06 三角函数定义、图像与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念 2. 掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算 3. 理解任意角的三角函数的定义；掌握特殊角的三角函数值；能判断任意角三角函数值的符号 4. 掌握同角三角函数的基本关系式（两个），能运用这些公式进行化简和求值运算． 5. 掌握4组诱导公式：能运用诱导公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式． 6. 掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质，了解余弦函数的图象和性质， 7. 掌握已知三角函数值求指定区间内的角度（一般指定区间为(-,]及）． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 选择题 7 三角函数定义、符号 3 （1）题型：集中在选择题，填空题。 （2）分值：分值一般在6分，不少题目是和三角恒等变换、正余弦定理一起考查。 选择题 18 三角恒等变换、三角函数性质 3 2024 选择题 7 三角函数定义 3 填空题 20 诱导公式、和角公式 2 填空题 24 同角关系式、正弦定理 2 填空题 28 同角关系式、二倍角公式 2 2023 选择题 4 三角函数值求角、特殊角的三角函数值 3 选择题 6 三角函数值的符号 3 填空题 25 诱导公式、正弦的二倍角公式、正弦型函数的性质 2 2022 选择题 7 三角函数定义、二倍角公式 3 填空题 18 特殊角的三角函数值 2 填空题 21 诱导公式、三角函数值求角 2 2021 选择题 8 二倍角公式、正弦函数的和角公式，结合三角函数的性质 3 填空题 18 特殊角的三角函数值 2 填空题 25 正弦函数的平移变换 2 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试有2道题目分别考查三角函数定义、图像与性质，题型为单项选择题或填空题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 三角函数定义及三角函数值符号 · 三角函数同角关系式 · 诱导公式 · 三角函数的性质 四、知识梳理 （一）角的概念 1. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． （二）三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2. 三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 （三）同角关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α （四）三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝ －＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小 正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．点在 （　 　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 6．函数的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 7．若，且为第四象限角，则 ． 8．若已知，则 9．已知，，则 ． 10．计算： ． 答案 1．A 【分析】利用终边相同角及象限角的定义即可得解. 【详解】因为是第一象限角， 所以终边与终边相同，在第一象限. 故选：A. 2．A 【分析】将弧度制化为角度制，再根据终边相同的角的定义分析即可. 【详解】因为， 所以与角终边相同的角即与终边相同的角， 与终边相同的角的表示为， A选项：，解得，正确； B选项：，解得，错误； C选项：，解得，错误； D选项：，解得，错误； 所以与角终边相同的角是. 故选：A. 3．C 【分析】根据题意，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为. 故选：C. 4．B 【分析】根据题意结合象限角的三角函数值的正负即可得解. 【详解】因为，所以为第二象限角，则， 因为，所以与的终边相同，为第一象限角，则， 所以点在第二象限， 故选：. 5．A 【分析】根据题意，结合正弦函数的周期性和奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为函数，所以最小正周期； 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数； 故该函数是周期为的奇函数. 故选：A. 6．D 【分析】利用余弦函数的最值性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值，为. 故选：D. 7． 【分析】由同角三角函数基本关系式及象限角三角函数的符号即可得解. 【详解】因为为第四象限角，有， 所以， 故答案为：. 8． 【分析】根据正余弦的齐次运算，即可求解. 【详解】因为，显然， 则， 故答案为： 9． 【分析】根据题意，结合三角函数在各象限的符号，三角函数诱导公式，及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】，， 在第三象限， 又， ． 故答案为：. 10．/ 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】; 故答案为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】三角函数定义、符号 【例1】（2025·河北对口升学样卷）若α为第三象限角，则点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【详解】因为α为第三象限角，所以， 所以点在第二象限， 故选：B. 【例2】(2024年河北对口升学) 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用三角函数定义即可求解. 【详解】， 故选：A 【例3】(2023年河北对口升学) “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断. 【详解】因为当时，或， 而当时，成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【例4】(2023年河北对口升学)已知点P在第三象限，则终边在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限三角函数值的正负即可求解. 【详解】因为点P在第三象限， 所以. 即终边在第三象限. 故选：C. 【例5】(2022年河北对口升学)设点在角α的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角α终边上一点可求出，再利用二倍角公式求解. 【详解】因为点在角α的终边上，所以 ， 故选：B 【考试题型2】三角函数性质 【例6】（2025河北对口升学样卷）下列关于函数的描述正确的是（ ） A. 最小正周期为π，最大值是1 B. 最小正周期为2π，最大值是1 C. 最小正周期为π，最大值是3 D. 最小正周期为2π，最大值是3 【答案】A 【详解】函数 所以最小正周期为π，最大值是1. 故选：A. 【例7】(2023年河北对口升学)函数的最大值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据诱导公式和正弦的二倍角公式化简，然后根据正弦函数的最值求出的最大值. 【详解】由， 可得， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 【例8】(2021年河北对口升学) 下列函数中，周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期公式、二倍角公式以及正弦函数的和角公式，结合三角函数的奇偶性即可解得. 【详解】选项A：根据诱导公式可得，此函数为偶函数周期为，则错误； 选项B：根据余弦二倍角公式可得，此函数为偶函数且周期为，则正确； 选项C：根据正弦二倍角公式可得，此函数为奇函数且周期为，则错误； 选项D：根据正弦函数的和角公式可得，此函数非奇非偶函数，周期为，则错误. 故选:B. 【考试题型3】三角函数同角关系式 【例9】(2024年河北对口升学)已知，，则________． 【答案】 【分析】利用同角关系式、二倍角公式求值. 【详解】 故答案为：-11. 【考试题型4】三角函数诱导公式 【例10】(2022年河北对口升学) 已知，且，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式可将原式化为，从而求解. 【详解】由得 ，且， . 故答案为： 【考试题型5】图像的平移变换 【例11】(2021年河北对口升学) 函数的图像向左平移个单位后得到的图像的解析式是__________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的平移变换求出解析式. 【详解】由题可得. 故答案为：. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 三角函数定义与弧度制 核心内容 公式/规则 易错警示 任意角定义 终边相同的角：β=α+2kπ 象限角注意 k 的奇偶影响 弧度制转换 180°=π rad 1°＝ rad 特殊角换算必记（如 30∘=） 三角函数定义 ， ；；． x=0 时 tanα 不存在 口诀： “一全二正弦，三切四余弦”（象限正负口诀） “角度化弧度，π当 180°” 2. 同角关系式 平方关系 （注意象限符号） 3.诱导公式“奇变偶不变” 角度形式 化简规则 示例 奇变（sin↔cos），偶不变， 符号看象限（α 为锐角） sin(π+α)=−sinα 4. 三大函数图象与性质 函数 图象特征 定义域 值域 周期 单调区间（增→减） y=sinx “波浪线”，原点中心对称 R [−1,1] 2π 　，k∈Z ↑； 　，k∈Z ↓ y=cosx “波浪线”，y轴对称 R [−1,1] 2π [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z ↑； [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z ↓ 5. 图象变换“三步法” 变换类型 操作规则 相位平移 y=f(x+ϕ)：左加右减 周期变换 y=f(ωx)：ω>1 压缩 振幅伸缩 y=Af(x)：( A ) 倍纵坐标拉伸 口诀： “左加右减针对x，周期只跟 ω 走；振幅 A 管高低，相位 ϕ 定左右” （二）、解题策略与技巧 1. 三角函数定义与弧度制 象限判断：遇到角先确定其所在象限。 弧度制应用：在涉及弧长、扇形面积公式时，角度必须化为弧度。 2. 同角关系求值“三定原则” 定象限 定符号 定公式 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 避坑策略 弧度制漏单位 求 sin1 误为 sin1∘ 看见数字先辨弧度/角度 诱导公式符号错 cos(π−α)=−cosα 误为正号 奇变偶不变，符号看象限 忽略定义域 求​ 定义域 分母≠0 图象平移方向反 误为向左移 提系数： （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 特殊角三角函数值速记：手形记忆法（左手五指对应 0∘,30∘,45∘,60∘,90∘，分母为 2，分子为 ​） 图象变换动态理解：用几何画板演示 y=Asin(ωx+ϕ) 参数变化 2、真题演练方向： 近三年高考题中三角函数定义、同角关系式、诱导公式、三角函数最值、周期、单调性、奇偶性问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$