专题05 指数函数、对数函数（讲义）-2026版河北省（分类招生和对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数、对数函数。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 指数函数、对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． 2. 了解幂函数y=xa，其中a的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，1/2}． 3．理解对数的概念，了解积、商、幂的对数的运算法则． 4．理解指数函数、对数函数的概念，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程． 5．了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 选择题 5 指数函数图像 3 （1）题型：集中在选择题，填空题。 （2）分值：2024年前分值一般在11-12分，2025样卷中为9分。 选择题 6 对数运算 3 选择题 13 指数函数性质 3 2024 选择题 6 换元法求函数解析式、幂函数的性质 3 选择题 9 根据指对函数单调性比较大小 3 填空题 17 指数不等式 2 填空题 18 指数、对数式的运算 2 填空题 23 换元法求函数解析式、对数的运算 2 2023 选择题 9 指数函数单调性 3 填空题 18 根据指数函数的性质和对数的运算性质比较大小 2 填空题 20 指数幂的运算 2 填空题 22 幂函数的单调性 2 填空题 24 对数函数定义域 2 2022 填空题 16 指数幂的运算 3 填空题 17 对数函数定义域 2 填空题 18 指数幂、对数的运算 2 填空题 24 根据指数函数的性质和对数函数的性质比较大小 2 填空题 28 解对数方程 2 2021 填空题 17 对数函数定义域 3 填空题 18 指数幂、对数的运算 3 填空题 19 解对数不等式 2 填空题 21 根据指数函数的性质和对数的运算性质比较大小 2 填空题 22 换元法解指数方程 2 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口升学考试可能有3道题目分别考查指数函数、对数函数，题型应该为为选择题或填空题，分值各3分，共9分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指数、对数式的运算 · 指数、对数式不等式 · 指数、对数方程 · 比较大小 · 幂函数的性质 · 指数、对数函数定义域 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝) ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 一、单选题 1．设，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（   ）． A． B． C． D． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，，，则，，由小到大的顺序是 . 7．函数的定义域用区间表示为 ． 8．不等式的解集是 ． 9．不等式的解是 . 10． . 答案 1．A 【分析】根据指数的运算以及指数函数的单调性求解. 【详解】，所以. 又因为为增函数， 故， 所以．故x的取值范围是. 故选：A. 2．C 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为在定义域上单调递减， 所以，即， 因为在定义域上单调递增，即， 又在定义域上单调递减， 所以， 即，，，所以. 故选：C. 3．C 【分析】根据对数的换底公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 4．B 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【详解】因为函数， 所以，即， 解得，即函数的定义域是. 故选：B. 5．D 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在其定义域内为增函数， 且， 所以解得：，即， 所以不等式的解集为：， 故选：D. 6． 【分析】利用指数函数，对数函数、幂函数的单调性求范围进而比较大小即可. 【详解】幂函数在为增函数，则，即， 以为底的对数函数在为增函数，则，据， 以为底的指数函数在为增函数，则，即， . 故答案为：. 7． 【分析】使对数函数、零指数幂、根式以及分母都有意义，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以，即， 解得或， 所以函数的定义域用区间表示为. 故答案为：. 8． 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 9． 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以由， 得，即， 解得， 所以不等式的解是， 故答案为：. 10． 【分析】利用指数、对数的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】指数函数图像 【例1】（2025·河北对口升学样卷）若0 a 1 ，则函数 y ax 与 y ax 在同一个坐标系中的图像大致是（ ）． A B D C 【答案】B 【详解】因为0 a 1 ，所以函数 y ax在上单调递减，-a 0 ，所以y ax在上单调递减，故选B. 【考试题型2】指、对数运算 【例2】（2025·河北对口升学样卷） 【答案】A 【详解】 故选A. 【例3】（2024年河北对口高考）________． 【答案】-2 【分析】根据指对函数、三角函数运算得出结果. 【详解】解：， 故选：-2 【考试题型3】指数函数的性质 【例4】（2025·河北对口升学样卷）下列关于函数 的描述正确的是（ ） A． f (x) 的图像过点 B． f (x) 的值域为 C． f (x) 的最小值为-1 D． f (x) 在其定义域上为增函数 【答案】D 【详解】，故A错；f (x) 的值域为，故B错； f (x) 的最小值不存在，故C错；f (x) 在其定义域上为增函数，故D正确. 故选：D . 【考试题型4】幂函数的性质 【例5】（2024年河北对口高考）关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图像过点 B. 的图像过点 C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，根据幂函数性质进行判定. 【详解】解：函数定义域为， 令代入原解析式得， 代入验证四个选项可知D错， 故选：D 【例6】（2023年河北对口高考）（22）已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数是幂函数求解m的值，再由幂函数的图像即可求解函数的单调递增区间. 【详解】因为函数是幂函数， 所以， 所以幂函数为， 图像如下， 所以该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【考试题型5】指数、对数式比较大小 【例7】（2024年河北对口高考）若，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据指对函数、三角函数性质比较大小. 【详解】解：， ， ， 故选：D 【例8】（2023年河北对口高考）已知，其中，则、、从小到大顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为其中， 所以在为减函数， 因为，且有， 所以即. 故选：D. 【考试题型6】指数、对数不等式 【例9】（2024年河北对口高考）函数定义域为______． 【答案】 【分析】根据求定义域求解即可. 【详解】解： ， 故答案为 【例10】（2021年）不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得，再由绝对值的性质即可求出解集. 【详解】已知不等式，即 由为增函数可知，， 解得， 所以不等式解集为. 故答案为：. 【考试题型7】指数、对数方程 【例11】（2022年河北对口高考）方程的解为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的运算公式即可求解. 【详解】由题意可知， ， 故答案为： 【例12】（2021年河北对口高考）已知方程，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法和指数幂的运算解方程即可. 【详解】已知， 设，， 则等价于， 即，解得或（舍去）， 所以，即，解得， 故答案为：. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 指数与指数运算 概念 定义 核心公式 指数运算 an（a>0，n∈R) 对数运算 换底公式 不同底对数转化工具 运算口诀： “指数乘除变加减，对数真数积变和；换底公式搭桥梁，1的对数为0要记牢” 2. 函数图象与性质对比 （1）指数函数  参数 图象 过 (0,1)，单增，渐近线y=0 过 (0,1)，单减，渐近线 y=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (1,a) (1,a) （2）对数函数  参数 图象 过 (1,0)，单增，渐近线x=0 过 (1,0)，单减，渐近线 x=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (a,1) (a,1) （二）、解题策略与技巧 1. 比大小问题“三剑客” 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 2. 解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解 log2(x−1)2=2得x=3 漏解 未考虑真数  (x−1)2>0（x≠1） 先写定义域再求解 底数分类错误 解a2x>ax+1 未讨论a>1  或 0<a<1 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简 log23⋅log34误为 log212 未用公式 logab⋅logbc= loga​c 弄清对数运算法则与换底公式条件 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 运算条件反射：每日5题指数/对数混合运算（强化公式变形能力） 图象思维渗透：解方程/不等式必画草图辅助分析 2、高频考向精炼： 题型1：比大小 题型2：求解复合函数定义域 3、真题演练方向： 近三年高考题中指对数运算，比较大小，求解指对数不等式，求解指对数方程。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$