专题8.2 两条直线的位置关系（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第八章直线和圆的方程的第2个专题：两条直线的位置关系.本专题涵盖直线的位置关系和点到直线的距离公式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题8.2 两条直线的位置关系（讲义） 知识点1 两直线的位置关系 1.两条直线位置关系的判定 设直线和（不同时为0，不同时为0）. 位置关系 条件（一般式） 条件（斜截式） 几何性质 平行 且 且 无交点，斜率相等 重合 且 且 无限多交点，完全重合 相交 有唯一交点 垂直 （斜率存在） 夹角为 90°，相交的特殊情况 垂直的补充：当一条直线斜率不存在（垂直于x轴）时，另一条斜率必须为0（平行于x轴）. 唯一交点坐标：若相交，交点可通过解方程组求得. 2.设方程求平行线，垂线的直线方程 核心操作：设新直线方程→代入定点→解参数 类型 设定方程形式 操作步骤 口诀 示例（过点 ） 平行线 1.保持原直线系数不变 2.代入定点坐标求 平行不变，代点解 与 平行： 设 代点： ∴ 垂直线 1.互换原直线系数并取一负号 2.代入定点坐标求 垂直互换，一负一正求 与 垂直： 设（即） 代点： ∴ 特殊直线 （垂直x轴）（垂直y轴） 直接设方程形式，无需计算 横直竖平要留意 作的垂线：（任意水平线） 1．（2023湖南对口升学）已知直线：与直线：．若，则a的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 2．（2024湖南对口升学）光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（2025重庆职教高考）一条直线与平行且过点，则该直线的方程是（   ）． A． B． C． D． 4．（2025河南高职单招）在平面直角坐标系中，直线与直线相交，则和的交点坐标是 5．（2025河南职教高考）若直线与垂直，则 . 1．过点与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．下列哪对直线互相垂直（    ） A．； B．； C．； D．； 3．两条平行直线与之间的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示，直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 5．过点与的直线的斜率为（　 　） A． B． C． D． 6．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 7．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 8．如图所示，直线已知，则直线的方程是（   ）    A． B． C． D． 9．过点与直线平行的直线的一般式方程为 ． 10．若直线与互相垂直，则 . 11．在城市道路规划中，一盏路灯位于点，道路所在的直线方程为，则路灯到道路的距离为 . 12．直线的倾斜角为 ，在轴上的截距为 ． 13．已知的三个顶点分别为，，，求过点A且和直线BC平行的直线方程． 14． 直线l过点与已知直线：相交于点B，且，求直线l的方程. 15．已知直线. (1)当时，求两直线的距离； (2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 知识点2 点到直线的距离公式 1.点到直线的距离 点 到直线 的距离公式： 几何意义：垂线段的最短距离. 2.两平行线间的距离 设平行直线 和 （系数需一致），距离公式： 条件：两直线必须化为相同系数 的一般式. 3.一般式的应用 统一性：所有距离公式基于一般式推导，确保普适性. 简化步骤：解题时先将直线方程化为一般式，再代入公式计算. 1．（025全国高职单招）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2023新疆职教高考）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 3．（2024安徽职教高考）点到直线的距离为（   ） A． B．2 C． D．6 4．（2024河北高职单招）已知直线与直线平行，且原点到直线，的距离相等，则直线的方程为 ． 5．（2025全国高职单招）点到直线的距离为 . 1．已知直线，为坐标原点，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B．10 C．5 D．1 2．求原点到直线的距离是（   ） A． B．1 C．2 D． 3．若点到直线的距离为，则实数a的值为（   ） A．1或 B．或3 C．1 D． 4．直线与之间的距离是，则实数的值是（   ） A． B．或3 C． D．或10 5．两平行线与之间的距离是（    ） A． B． C． D．1 6．两条平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程为（   ） A． B．或 C． D．或 8．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（   ） A． B． C．2 D．4 9．在平面直角坐标系中，点到直线的距离是 . 10．若坐标原点到直线的距离为2，则实数 ． 11．直线过点，与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 12．两条平行直线与之间的距离为 ． 13．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求与之间的距离． 14.求与直线平行，且与直线的距离为2的直线方程． 15．（1）求斜率是，且经过点的直线方程； （2）求点到直线的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第八章直线和圆的方程的第2个专题：两条直线的位置关系.本专题涵盖直线的位置关系和点到直线的距离公式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题8.2 两条直线的位置关系（讲义） 知识点1 两直线的位置关系 1.两条直线位置关系的判定 设直线和（不同时为0，不同时为0）. 位置关系 条件（一般式） 条件（斜截式） 几何性质 平行 且 且 无交点，斜率相等 重合 且 且 无限多交点，完全重合 相交 有唯一交点 垂直 （斜率存在） 夹角为 90°，相交的特殊情况 垂直的补充：当一条直线斜率不存在（垂直于x轴）时，另一条斜率必须为0（平行于x轴）. 唯一交点坐标：若相交，交点可通过解方程组求得. 2.设方程求平行线，垂线的直线方程 核心操作：设新直线方程→代入定点→解参数 类型 设定方程形式 操作步骤 口诀 示例（过点 ） 平行线 1.保持原直线系数不变 2.代入定点坐标求 平行不变，代点解 与 平行： 设 代点： ∴ 垂直线 1.互换原直线系数并取一负号 2.代入定点坐标求 垂直互换，一负一正求 与 垂直： 设（即） 代点： ∴ 特殊直线 （垂直x轴）（垂直y轴） 直接设方程形式，无需计算 横直竖平要留意 作的垂线：（任意水平线） 1．（2023湖南对口升学）已知直线：与直线：．若，则a的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两直线平行，斜率相等求解a的值. 【详解】直线：与直线：， 当时，，不满足题意， 当时，直线斜率为，直线斜率为， 因为，则，即，解得. 综上，若，则a的值为. 故选：B. 2．（2024湖南对口升学）光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据入射光线与反射光线之间的斜率关系即可求解. 【详解】入射线斜率， 因为入射光线与反射光线对应的倾斜角互补， 所以斜率之和为0， 则反射光线斜率为. 对A：斜率为，所以A错误； 对B：斜率为，所以B错误； 对C: 斜率为，所以C错误； 对D：斜率为，所以D正确. 故选：D. 3．（2025重庆职教高考）一条直线与平行且过点，则该直线的方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出与平行的直线，再代入点的坐标即可得出直线的方程. 【详解】设与平行的直线方程为， 因为过点，代入可得， 解得， 所以. 故选：A. 4．（2025河南高职单招）在平面直角坐标系中，直线与直线相交，则和的交点坐标是 【答案】 【分析】根据题意，将两直线方程组成方程组，即可求得交点坐标. 【详解】由题意，得， 两式相减得，解得， 所以， 所以直线和的交点坐标是. 故答案为：. 5．（2025河南职教高考）若直线与垂直，则 . 【答案】 【分析】根据直线与垂直时，即可求解参数. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 解得. 故答案为：1 1．过点与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线的方程为，将点代入直线方程中即可求解. 【详解】因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为， 又所求直线过点，则代入为，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 2．下列哪对直线互相垂直（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】由两直线垂直，其斜率乘积等于来判断选项中的直线是否垂直即可. 【详解】选项A，斜率为，斜率为，，故两直线不垂直， 选项B，斜率为，斜率为，，故两直线不垂直， 选项C，斜率为，斜率为，，故两直线垂直， 选项D，斜率为，斜率为，，故两直线不垂直， 故选：C. 3．两条平行直线与之间的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由平行线间的距离公式直接求出距离即可. 【详解】由两条平行直线间的距离公式得． 故选:A. 4．如图所示，直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据倾斜角的定义即可求解. 【详解】由图可知，直线l向上的方向与y轴正方向夹角为， 所以直线l向上的方向与x轴正方向夹角为， 所以由倾斜角的定义知直线的倾斜角为. 故选：B. 5．过点与的直线的斜率为（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两点利用斜率公式求解即可. 【详解】由题意得直线的斜率为. 故选：C. 6．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程求解即可； 【详解】，∴令，得，令，得， 三角形的面积. 故选：D 7．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由两直线的斜率和截距的关系，判断位置关系. 【详解】由于直线的斜率为，截距为， 直线的斜率为，截距为， 两直线斜率相同，截距不相等， 因此两直线的位置关系是平行， 故选：A. 8．如图所示，直线已知，则直线的方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像得出点P的坐标，结合两直线垂直，则斜率乘积为，点斜式方程，已知两点求斜率的公式即可求解. 【详解】由图知点P的坐标为，又，所以. 因为直线，所以，解得. 由点斜式方程可得，直线的方程是. 即. 故选：D. 9．过点与直线平行的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】设所求直线的一般式方程为，将代入得到的值即得结果. 【详解】设所求直线的一般式方程为． 将点的坐标代入所求直线方程可得，解得， 故所求直线的一般式方程为． 故答案为：. 10．若直线与互相垂直，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据垂直关系得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 11．在城市道路规划中，一盏路灯位于点，道路所在的直线方程为，则路灯到道路的距离为 . 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式可求解. 【详解】由题意，根据点到直线的距离公式可得 . 故答案为： 12．直线的倾斜角为 ，在轴上的截距为 ． 【答案】 【分析】先求出斜率，再根据斜率求出倾斜角；令可得直线在轴上的截距. 【详解】由直线可得， 则斜率为，所以倾斜角为； 令，求得， 即直线在轴上的截距为. 故答案为：；. 13．已知的三个顶点分别为，，，求过点A且和直线BC平行的直线方程． 【答案】 【分析】先由直线平行的条件求出直线的斜率，再将点A代入斜截式方程即可求解. 【详解】由题意得， 因为所求直线与直线BC平行， 所以所求直线方程的斜率为， 将点，斜率为代入点斜式方程为， 整理为． 14．直线l过点与已知直线：相交于点B，且，求直线l的方程. 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，结合两点间的距离公式，点斜式方程，联立方程求交点即可求解. 【详解】当直线过点 与y轴平行时，直线为. 则把代入， 解得B坐标为， 满足题意， 即为所求直线方程. 当过与y轴不平行， 则设直线为， 联立， 得B点坐标为：， （，否则与直线平行）. 因为，解得. ∴直线方程为， 即. 综上， 满足条件的直线方程为： 或 . 15．已知直线. (1)当时，求两直线的距离； (2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据平行直线间的距离公式即可解得. （2）根据点到直线的距离公式即可解得. 【详解】（1）当时，， 所以两直线平行，则两直线的距离为. （2）原点到直线的距离为， 当时，最小，取得最大值，即. 知识点2 点到直线的距离公式 1.点到直线的距离 点 到直线 的距离公式： 几何意义：垂线段的最短距离. 2.两平行线间的距离 设平行直线 和 （系数需一致），距离公式： 条件：两直线必须化为相同系数 的一般式. 3.一般式的应用 统一性：所有距离公式基于一般式推导，确保普适性. 简化步骤：解题时先将直线方程化为一般式，再代入公式计算. 1．（025全国高职单招）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】点到直线的距离． 故选：B. 2．（2023新疆职教高考）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知直线，即， 点到的距离为， 故选：C. 3．（2024安徽职教高考）点到直线的距离为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可； 【详解】因为直线可转化为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 4．（2024河北高职单招）已知直线与直线平行，且原点到直线，的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，利用直线平行条件和距离公式即可求解. 【详解】由题意，设直线的方程为， 又原点到直线，的距离相等， 则，解得，又，所以， 所以直线的方程为 故答案为：. 5．（2025全国高职单招）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：. 1．已知直线，为坐标原点，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B．10 C．5 D．1 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知直线， 原点，所以原点到直线的距离为， 故选：A. 2．求原点到直线的距离是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】原点到直线的距离为， ， 故选：B. 3．若点到直线的距离为，则实数a的值为（   ） A．1或 B．或3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】点到直线的距离为， 则，解得或， 故选：. 4．直线与之间的距离是，则实数的值是（   ） A． B．或3 C． D．或10 【答案】B 【分析】先将两条直线化为同系数形式，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】直线可化为， 则直线与直线的距离为， 显然两直线满足平行的条件，即， 解得或， 故选：B. 5．两平行线与之间的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先化简方程形式，然后根据两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】两平行线与之间的距离即两平行线与之间的距离， 所以距离为. 故选：A 6．两条平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】两条平行线方程为与， 所以两平行线直线之间距离为. 故选：D 7．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先根据直线的平行，设出方程，再根据平行直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可设所求直线方程为， 由两平行直线距离公式得或. 则直线方程为或. 故选：D. 8．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式即可求得. 【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行， 又直线和之间的距离为：， 直线和之间的距离为：， 所以，解得. 故选：B. 9．在平面直角坐标系中，点到直线的距离是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】直线的一般方程为， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 10．若坐标原点到直线的距离为2，则实数 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式列式即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为2， 即，解得. 故答案为：. 11．直线过点，与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】先根据点坐标得到直线的方程，即可求得参数，再按照平行线之间距离公式计算即可. 【详解】由题可知：直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 又直线与直线平行，所以可知， 所以两条平行线之间的距离为. 故答案为： 12．两条平行直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】由题可知：直线，即， 所以两条平行直线与之间的距离为. 故答案为： 13．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求与之间的距离． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据两条直线垂直列出关于的方程即可得解； （2）根据两条直线平行的条件列出关于的方程，求出，然后利用两平行线间的距离公式求解． 【详解】（1）若，必有，即，解得； （2）当时，直线，直线，两直线不平行，故． 若，必有，整理得，解得． 当时，，即； ，即， 所以两平行线与之间的距离为． 14．求与直线平行，且与直线的距离为2的直线方程． 【答案】或． 【分析】先根据题意设出直线方程，再根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】由题意，所求直线与直线平行， 可设所求的直线方程为， 则该直线到直线的距离， 则， 所求直线的方程为或． 15．（1）求斜率是，且经过点的直线方程； （2）求点到直线的距离. 【答案】， 【分析】（1）列出点斜式方程化简为一般式即可；（2）利用点到直线距离公式可求. 【详解】（1）因为直线斜率是，且经过点， 所以直线方程为，即； （2）点到直线的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$