21.3 实际问题与一元二次方程（3）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

实际问题与一元二次方程——几何图形问题

课型

新授课

教学内容

教材第20-21页的探究3内容

教学目标

1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．

3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．

教学重难点

教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。

教学难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

      课本第20-21页探究3

【探究】

分析：

正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？

上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？

若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？

“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为9：7，设上下边衬宽为9x㎝，左右边衬宽为7x㎝.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x

已知封面及正中央矩形的长度比都是9:7，由此可以推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9:7,

这个关系很重要。

㎝.尝试列出方程.

方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.

解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm.

则（27-18x）（21-14x）=×27×21.

整理，得16x2-48x+9=0.

解方程，得x=.

当x=时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的宽度。

上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm。

拓展：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？

2.探索新知，归纳知识

（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决；

（2）对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.

3.学以致用，应用新知

考点1  利用面积构造一元二次方程模型

【例1】用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　)

A．x(5＋x)＝6       B．x(5－x)＝6

C．x(10－x)＝6      D．x(10－2x)＝6

解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6.

答案：B

【例2】如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________．

解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，如图，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.

教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识。

方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解。需要根据它们值的大小，判断哪一个更合乎实际。

教师总结，学生体会

理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程。

解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以