21.3 实际问题与一元二次方程（3）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形问题 课题 实际问题与一元二次方程——几何图形问题 课型 新授课 教学内容 教材第20-21页的探究3内容 教学目标 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 教学重难点 教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。 教学难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 · 课本第20-21页探究3 【探究】 分析： 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？ 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？ 若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ “应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为9：7，设上下边衬宽为9x㎝，左右边衬宽为7x㎝.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程. 方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义. 解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm. 则（27-18x）（21-14x）=×27×21. 整理，得16x2-48x+9=0. 解方程，得x=. 当x=时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的宽度。 上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm。 拓展：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 2.探索新知，归纳知识 （1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决； （2）对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用面积构造一元二次方程模型 【例1】用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6. 答案：B 【例2】如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________． 解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，如图，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300. 解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300. 答案：答案不唯一，如(22－x)(17－x)＝300 4.随堂训练，巩固新知 1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）． A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 3.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2�的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 4.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动． (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 参考答案 1.D 2.15、10或20、7.5 3.解：设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x. 整理，得：x2-10x+22=0. 解得：x1=5+（舍去），x2=5-. 答：这个宽度应为（5-）m。 4.解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻． 5.课堂小结，自我完善 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。 6.布置作业 课本P22习题21.3第8-9题。 已知封面及正中央矩形的长度比都是9:7，由此可以推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9:7, 这个关系很重要。 教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识。 方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解。需要根据它们值的大小，判断哪一个更合乎实际。 教师总结，学生体会 理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程。 解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解 板书设计 实际问题与一元二次方程——平均变化率问题 从实际问题中构建出用一元二次方程解决面积问题的模型，进而解决与面积相关的整体法和动点问题等。 教后反思 与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好。 学科网（北京）股份有限公司 $$