21.3 实际问题与一元二次方程（2）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 平均变化率问题 课题 实际问题与一元二次方程——平均变化率问题 课型 新授课 教学内容 教材第19-20页的探究2内容 教学目标 1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 2．会解有关“平均变化率”及“销售”方面的实际问题． 教学重难点 教学重点：建立平均变化率数学模型，找等量关系，列方程。 教学难点：找等量关系，列方程。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 · 课本第19-20页探究2 【探究】 分析： 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元． 依题意，得5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为y． 则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大． 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 拓展：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。 2.探索新知，归纳知识 设平均变化率为x，则有 变化前数量×（1+x）2=变化后数量。 【例题】 3.学以致用，应用新知 考点1 平均增长率问题 【例1】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 分析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)． 答：这种产品产量的年增长率为10%. (2)100×(1＋10%)＝110(万件)． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 考点2 利润问题 【例2】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？ 分析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解． 解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80. 答：该校共购买了80棵树苗． 4.随堂训练，巩固新知 1.某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ ） A．12% B．15% C．30% D．50% 2.甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，�最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元． 3．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 4．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，�现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，�如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树? 参考答案 1.B 2.1 3.解：甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10% 乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%， 那么乙商场年均利润的上升率大． 4.解：设多种x棵树，则 （100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%）�，� 整理，�得：�x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0， 解得x1=20，x2=380 答：应多种多20棵桃树或380棵桃树。 5.课堂小结，自我完善 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．会解有关“平均变化率”及“销售”方面的实际问题。 6.布置作业 课本P22习题21.3第7题。 成本的年下降额=前一年成本-本年成本。 成本的年下降率= 这类问题在现实世界中也有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等。 根据问题的实际意义，成本的下降率应是小于1的正数，所以应选取0.225.可先引导学生思考，再交流。 通过探究，可以让学生体会分析问题时应对变化额和变化率两者兼顾，这样才能全面认识一种变化情况。 增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n. 根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——平均变化率问题方案选择等其他问题 利润问题 平均变化率问题 用一元二次方程解决两轮（即两个时间段）的平均变化率，进而解决利润问题等其他相关问题。 教后反思 教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍。 学科网（北京）股份有限公司 $$