21.3 实际问题与一元二次方程（2）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

实际问题与一元二次方程——平均变化率问题

课型

新授课

教学内容

教材第19-20页的探究2内容

教学目标

1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

2．会解有关“平均变化率”及“销售”方面的实际问题．

教学重难点

教学重点：建立平均变化率数学模型，找等量关系，列方程。

教学难点：找等量关系，列方程。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

      课本第19-20页探究2

【探究】

分析：

    绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．

    相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

依题意，得5000（1-x）2=3000

解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

设乙种药品成本的平均下降率为y．

则：6000（1-y）2=3600

成本的年下降额=前一年成本-本年成本。

成本的年下降率=

这类问题在现实世界中也有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等。

整理，得：（1-y）2=0.6

解得：y≈0.225

答：两种药品成本的年平均下降率一样大．

因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．

拓展：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。

2.探索新知，归纳知识

设平均变化率为x，则有

变化前数量×（1+x）2=变化后数量。

 【例题】

3.学以致用，应用新知

考点1  平均增长率问题

【例1】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．

(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；

(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？

分析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．

解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．

答：这种产品产量的年增长率为10%.

(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．

答：2014年这种产品的产量应达到110万件．

考点2 利润问题

【例2】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

分析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．

根据问题的实际意义，成本的下降率应是小于1的正数，所以应选取0.225.可先引导学生思考，再交流。

通过探究，可以让学生体会分析问题时应对变化额和变化率两者兼顾，这样才能全面认识一种变化情况。

增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.

根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题