28.2 过三点的圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

28.2 过三点的圆 课题 过三点的圆 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P150--152 教学目标 1.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念. 2.理解“不在同一条直线上的三点确定一个圆”. 3.能熟练掌握应用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法. 教学重难点 重点：“过不在同一条直线上的三点作圆”的方法. 难点：如何确定圆的思维过程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习提问: 1.根据圆的定义，确定圆的两个基本要素是什么? 2.如何用尺规作图作线段的垂直平分线? 3.线段垂直平分线有什么性质? 4.三角形三边的垂直平分线的交点有几个?交点与三角形三个顶点之间在距离上有什么关系? 情境：一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整个圆吗? 通过提问，既复习了前面的知识，又使学生进入了状态，为本节课的学习做好铺垫.由生活实例导入新课，激发学生的求知欲望,让每个学生都迅速进入积极思维的状态。 2.实践探究，学习新知 【师生互动】 老师提问：确定一条直线的条件是什么? 学生回答：两点确定一条直线. 老师：我们知道，两点确定一条直线，那么，对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢?今天我们就一起来学习。 【问题思考】 动手操作，并思考回答: 1.作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆? 圆心和半径的位置不定，可以作出无数个圆。 如图所示，过平面内一点A，有无数多个圆，圆心的位置和半径的大小不确定。 2.平面上有两点A，B，过点A， B的圆有多少个?这些圆的圆心到点A, B的距离具有怎样的关系?圆心是否在线段AB的垂直平分线上? 过两点A，B的圆有无数个，这些圆的圆心到点A，B的距离相等,它们的圆心在线段AB的垂直平分线上。 如图所示，过平面内两点A， B，有无数多个圆，这些圆的圆心到A， B两点的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上。 【师生互动】 学生独立思考、动手画图，小组合作交流，针对上面问题中教师的引导：圆上的点到圆心的距离相等，确定圆心的位置时，使它到点A, B的距离相等，圆心在线段AB的垂直平分线上，让学生在黑板上作图，教师进行点评. 【问题思考】 3.平面上三点A，B，C不在一条直线上，过点A，B，C的圆是否存在?如果存在，这样的圆有多少个?你能确定经过A, B, C三点的圆的圆心及半径吗? 存在，只有一个，分别作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到其中一点的距离就是半径。 如图所示，过平面内不共线的三点A，B，C，有且只有一个圆，圆心到A, B, C三点的距离相等，即圆心为线段AB，BC的垂直平分线的交点。 4.如果平面上三点A，B，C在一条直线上，经过A， B，C的圆是否存在?为什么? 不存在，因为线段AB, BC的垂直平分线平行，没有交点。 【师生互动】 学生独立思考后小组合作交流，教师巡视中帮助有困难的学生，对有困难的学生引导分析，所求的圆要经过A， B， C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。 教师对学生的回答进行点评纠正，师生共同归纳结论，然后课件展示. 【总结】 我们发现：过两点A, B的圆也有无数个，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，过不在同一条直线上三点A, B, C的圆有且只有一个，这个圆的圆心为线段AB, BC的垂直平分线的交点，过在同一条直线上三点的圆不存在. 结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 【做一做】如图所示，过不在同一条直线上的三点A，B，C画圆. 【师生互动】 教师给学生足够的时间动手操作，然后小组交流答案，小组代表板书过程(或教师课件动画展示画图过程)，并做出点评. 【解题过程】 作法：如图所示. 1.分别连接AB，BC； 2.分别作出线段AB，BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC； 3.以点O为圆心，OA(或OB，OC)为半径作圆，则⊙O即为所作的圆. 【例题讲解】 例 用尺规作过三角形三个顶点的圆. 已知:如图28-2-2，△ABC. 求作: ⊙O，使它过三点A，B，C. 作法：如图28-2-3. (1)分别作线段AB和BC的垂直平分线l1和l2，设l1与l2相交于点O. (2)以点O为圆心，OA为半径画圆. ⊙O即为所求. 【外接圆与外心】 我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆(circumcircle)，外接圆的圆心叫做三角形的外心(circumcenter). 【知识拓展】 1.经过同一条直线上的三个点不能作圆，要注意“过三点的圆”中的“三点”不在同一直线上，故“过三点有且只有一个圆”这种说法是错误的. 2.“确定”一词是指不仅能作出一个圆，而且只能作出一个圆，即“有且只有”的意思。 3.任意一个三角形都有且只有一个外接圆. 4.三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心,它还是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形各个顶点的距离相等. 5.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。 通过动手操作、观察思考、合作交流、归纳结论，体会数形结合思想在数学中的应用，培养学生的数学思维能力和归纳总结能力，同时掌握把实际问题抽象转化为数学问题的重要思路。 通过动手操作, 引导学生进一步认识“过不在同一条直线上的三点只能画出一个圆”这一事实,进一步体验数学活动的探索与创造,感受数学的严谨性. 通过动手操作、思考交流,进一步体验数学活动的探索与创造,感受数学的严谨性,让学生经历知识的形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力和数学思维. 3.学以致用，应用新知 考点1 外心的性质 练习1 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等吗？为什么? 解：∵三角形的外心是三角形的三边的垂直平分线的交点， ∴三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等． 考点2 外心的位置与三角形形状之间的关系 练习2 请分别画出下面三个三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的形状之间具有怎样的关系。 解：分别作每个三角形两边的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为三角形外心，以外心为圆心，外心到一个顶点的距离为半径作圆即为三角形外接圆，如图： 根据图形可知，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外部． 巩固外接圆与外心的性质，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1．三角形的外心是（　　） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 答案：C 2．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（　　） A．100° B．160° C．150° D．130° 答案：B 解析：∵点O是△ABC的外接圆的圆心， ∴∠A、∠BOC同对着. ∵∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°， 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 答案：A 5．如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 答案：C 解析：如图，∵OA＝OB，∴∠3＝∠4， 同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6. ∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°. 6．如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（　　） A．5 B． C．7.5 D． 答案：D 解析：如图，过O作OD⊥AC于D，连接OA，OC， ∴AD＝DC，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴∠OAD＝×（180°﹣∠AOC）＝30°. 在Rt△AOD中，AO＝5，∴OD＝， 由勾股定理得AD＝＝，∴AC＝5. 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 　 　． 答案：（1，﹣2） 解析：如图，根据网格作AB，BC的垂直平分线，两条线交于点D， ∴点D（1，﹣2）是△ABC的外心， ∴△ABC的外心的坐标为（1，﹣2）. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.过平面内一点有无数多个圆. 2.过平面内两点有无数多个圆,圆心在线段的垂直平分线上. 3.作三角形的外接圆. 4.不在同一条直线上的三点确定一个圆. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P152习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 28.2　三角形的外接圆 1.过平面内一点有无数多个圆. 2.过平面内两点有无数多个圆,圆心在线段的垂直平分线上. 3.作三角形的外接圆. 4.不在同一条直线上的三点确定一个圆. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本节课的重点是探索过不在同一条直线上的三点确定一个圆及如何过给定的两点和三点作圆，通过复习旧知识，直接导入本节课的学习,在教学设计中主要通过一系列动手操作、观察、思考、归纳等探究活动，体会分类思想和数形结合思想，经历知识的形成过程,达到在数学课堂上培养分析问题、解决问题的能力,所以在教学设计.上多多设计学生活动交流展示的环节,把难点以问题的形式提出来,降低难度，让学生分析解决,真正达到能力的提升. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$