24.1 一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(冀教版)河北专版

24.1 一元二次方程 课题 一元二次方程 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P34-36 教学目标 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 3.会判断一个数是不是一元二次方程的根. 4.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型. 教学重难点 重点：一元二次方程的概念及一般形式. 难点：1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程. 2.正确识别一般式中的“项”及“系数”. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 观察下图，并回答下列问题: 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 提示学生根据长方形的面积公式列出方程. 解: 设切去的正方形的边长为x cm, 则盒底的长为（100－2x) cm,宽为(50－2x) cm, 根据方盒的底面积为3600 cm²,得（100－2x)(50－2x)=3600， 化简，得x²-75x+350=0. 【问题】这个方程是不是我们前边学过的方程? 师生活动：教师引导复习方程，学生观察新方程形式与以前学过的一元一次方程的不同. 让学生在实际问题中建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,通过复习一元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识. 2.实践探究，学习新知 【探究】 问题1 　如图所示，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m²，求这个长方形存车处的长和宽. 小组活动,共同探究,思考下列问题: （1）分析题意,题中的已知条件是什么? （2）分析题意,题中的等量关系是什么? （3）如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程? （4）分析下面小明和小亮列方程的做法,他们的解题思路和所列方程是否正确? 小明的做法: 设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为m. 根据题意,可得方程·x=700. 整理,得x2-90x+1400=0. 小亮的做法: 设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m. 根据题意,可得方程(90-2x)·x=700. 整理,得x2-45x+350=0. 师生活动：教师先出示问题(1)~(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示结果,教师及时补充和点评. 问题2 一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1 m吗?你能列方程解决这个问题吗? 分析：设梯子底端B在地面上滑动的距离为x m,由题意，得AC=8 m，AB=A1B1=10 m，AA1=1 m，BB1=x m.∴A1C=7 m.在△ABC中，由勾股定理得BC=6 m，∴B1C=（6+x） m.在△A1B1C中，根据勾股定理A1C2+B1C2=A1B12建立方程即可. 解：设梯子底端B在地面上滑动的距离为x m,由题意，得（6+x）2+72=102， 整理，得x2+12x-15=0. 思考：在上面的两个问题中，我们得到方程：x2-90x+1400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0.观察这三个方程，它们有什么共同特征？你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗? 师生活动：小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义. 【归纳】 一元二次方程满足三个条件:（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2；（3）方程两边都是整式. 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： 思考：类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式? 一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 师生活动：学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳. 【例题】 例1 将方程（3x-5）（2x+1）=16化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，因此，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理,再根据有关概念求解. 解: 去括号，得6x2+3x-10x-5=16， 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式6x2-7x-21=0， 其中二次项系数为6，一次项系数为-7，常数项为-21. 追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么? (一是先化简成一般形式；二是书写系数时不要遗漏前边的符号) 师生活动：学生独立思考回答，教师进行点评归纳. 【合作探究】 思考： 1.什么是一元二次方程的解? 预设答案：使一元二次方程两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫做这个方程的根. 2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根? 预设答案：将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等，则该数值是方程的根；如果方程左右两边不相等，则该数值不是方程的根. 师生共同分析探讨实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力. 学生通过合作交流,类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义,体会类比思想在数学中的应用,同时培养学生归纳总结能力及合作交流能力. 通过概括一元二次方程的一般形式,让学生理解掌握数学符号语言在数学中的应用,更深入地理解一元二次方程的概念,同时强调了一元二次方程概念中的易错点. 通过例题，让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时，先化成一元二次方程一般形式再求解，加深对一元二次方程一般形式的理解. 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的定义 练习1 下列各式中,是一元二次方程的是 ( ) A.5x2-2x-3=0 B.x+y=0 C.+3=0 D.4x-1=0 答案：A 变式训练1 在下列方程中,一元二次方程的个数是 (　　) ①2x2+5=0;②ax2+bx+c=0;③(x-1)(x+2)=x2-1;④3x2=0;⑤x2-1=x. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：B 考点2 一元二次方程的一般式 练习1 一元二次方程4x2-1=5x化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( ) A.4、-1、5 B.4、-5、-1 C.4、5、-1 D.4、-1、-5 答案：B 变式训练2 将一元二次方程x(x-2)=5化为二次项系数为1的一般形式是　 ,其中一次项是　 ,常数项是　 .   答案：x2-2x-15=0，-2x，-15 考点3 一元二次方程的根 练习3 已知0和-1都是某个方程的解,则这个方程是 ( ) A.x2-1=0 B.x(x+1)=0 C.x2-x=0 D.x2=x+1 答案：B 变式训练3 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是 (　　) A.-3 B.3 C.0 D.0或3 答案：A 巩固一元二次方程的定义，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过练习让学生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念. 4.随堂训练，巩固新知 1.下列方程中是一元二次方程的是（ ） A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0 D. + x2=1 答案：C 2.若关于x的方程（a-1）x2+2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A.a≠1 B.a＞1 C.a＜1 D.a≠0 答案：A 3.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 答案：B 4. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 答： 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P36习题A组、B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 24.1 一元二次方程 一元二次方程：（1）概念： （2）一般形式： （3）方程的根： 例题： 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本节课类比一元一次方程引出一元二次方程的概念，并认识一元二次方程的一般形式及各项名称和系数，教学设计体现了新课标所倡导的教学模式“问题情境—自学—解释、归纳，尝试应用与拓展”.并配合使用多媒体演示设备辅助教学，突出重点、突破难点做到一气呵成，符合新课程的教学理念，力求在数学活动中营造学生自主探究和合作交流的氛围，让学生去探索去发现规律、解决问题，培养学生的探索能力和创造能力，让学生在愉快的活动中体验成功的喜悦、增进学习数学的自信. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$