17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固 一、握手、赠送和比赛问题 1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A.6 B.7 C.8 D.9 3.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为 　　人． 5.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了　　个好友． 6.2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 7.国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，问这个小组一共有多少人？ 二、与图形面积有关的问题 1.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 2.一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为27cm2，则这个矩形的周长为（　　） A.18cm B.24cm C.28cm D.32cm 3.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 4.社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．则道路的宽是 　　m． 5.如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　　m． 6.阅读材料： ①对于任意实数和，都有，∴，于是得到， 当且仅当时，等号成立． ②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果，则． 如：等． 例：已知，求证：． 证明：∵，∴ ∴，当且仅当时，等号成立． 请阅读上述材料并解答下列问题：如图，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．    (1)若所用的篱笆长为22米． ①若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的段长为多少？ ②这个花圃的最大面积能否达到50平方米？通过计算说明理由． (2)若要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 7.如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm． （1）边BC的长为 　　m，矩形ABCD的面积为 　　m2（均用含x的代数式表示）； （2）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由． 三、数字问题 1.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A.35 B.53 C.62 D.35或53 2.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A.95 B.59 C.26 D.62 3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） A.25 B.36 C.25或36 D.64 4.《念奴娇赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为     岁． 5.如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为     ． 6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 7.一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？ 四、动态几何问题 1.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 2.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 4.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 　　秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分． 5.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 6.如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)几秒时，的长度为？ (2)几秒时，的面积为？ (3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 7.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？ 五、增长率问题 1.2020年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为15000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到21600个，则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 2.2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A.20% B.22% C.25% D.26% 3.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 4.若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是　　． 5.某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加3.52万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为 　　． 6.我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 7.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 六、传播问题 1.某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是（    ） A.24 B.28 C.32 D.36 2.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A.14 B.13 C.12 D.11 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 4.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染        台电脑． 5.某种植物的一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，主干、支干、小分支一共是43个，根据题意列出关于的方程为      ． 6.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 7.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． (1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 七、销售问题 1.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（　　） A.10元 B.20元 C.10元或20元 D.13元 2.某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（　　） A.8元 B.10元 C.30元 D.10元或30元 3.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（　　） A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 4.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　　元． 5.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． （1）若生产的是第三档的产品时，每件利润为 　　； （2）若生产第x档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第 　　档． 6.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 7.2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固（参考答案） 一、握手、赠送和比赛问题 1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】B 【解析】设这个航空公司共有飞机场共有x个． x（x﹣1）＝15×2， 解得x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：这个航空公司共有飞机场共有6个． 故选：B． 2.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， x（x﹣1）÷2＝28， 解得x＝8或﹣7（舍去）． 故应邀请8个球队参加比赛． 故选：C． 3.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【答案】B 【解析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为 　　人． 【答案】9． 【解析】设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴参加酒会的人数为9人． 故答案为：9． 5.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了　　个好友． 【答案】5 【解析】设每轮每人向x人 发送短信， 依题意得：x+x（x+1）＝35， 解得：x1＝5，x2＝﹣7（不合题意，舍去） 故答案为：5． 6.2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】解：设一共有x个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：x2﹣x﹣132＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）， 答：一共有12个球队参赛． 7.国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，问这个小组一共有多少人？ 【答案】解：设这个小组一共有x人， 依题意得，x（x﹣1）＝110， x2﹣x﹣110＝0， （x﹣11）（x+10）＝0， 解得，x＝11或x＝﹣10（舍去）， ∴这个小组一共有11人． 二、与图形面积有关的问题 1.如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是130cm2， 依题意，得： （16﹣2x）＝130， 化简，得：x2﹣24x+63＝0， 解得：x1＝3，x2＝21． 当x＝3时，16﹣2x＝10＞0，符合题意； 当x＝21时，16﹣2x＝﹣26＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是130cm2，纸盒的高为3cm． 故选：C． 2.一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为27cm2，则这个矩形的周长为（　　） A.18cm B.24cm C.28cm D.32cm 【答案】B 【解析】设这个矩形的宽为x cm，则长为（x+6）cm， 根据题意得：x（x+6）＝27， 整理得：x2+6x﹣27＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴2（x+6+x）＝2×（3+6+3）＝24（cm）， ∴这个矩形的周长为24cm． 故选：B． 3.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 【答案】B 【解析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750， 整理得：3x2﹣220x+1025＝0， 解得：x160（舍去），x2＝5． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B． 4.社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．则道路的宽是 　　m． 【答案】6． 【解析】设通道的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得： （52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 4x2﹣160x+816＝0， x2﹣40x+204＝0， （x﹣34）（x﹣6）＝0， 解得：x＝34（舍去）或x＝6， ∴通道的宽为6米； 故答案为：6． 5.如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　　m． 【答案】1． 【解析】设道路的宽为x m，则剩余空地可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522， 整理得：x2﹣40x+39＝0， 解得：x1＝1，x2＝39（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为1m． 故答案为：1． 6.阅读材料： ①对于任意实数和，都有，∴，于是得到， 当且仅当时，等号成立． ②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果，则． 如：等． 例：已知，求证：． 证明：∵，∴ ∴，当且仅当时，等号成立． 请阅读上述材料并解答下列问题：如图，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．    (1)若所用的篱笆长为22米． ①若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的段长为多少？ ②这个花圃的最大面积能否达到50平方米？通过计算说明理由． (2)若要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）解：①设段的长为米，则花圃的长边为米， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， 故段的长为米； ②若， 整理，得 因为， 所以不可能达到50平方米； （2）解：设段的长为米，需要用的篱笆是米， 依题意得， ∴ ，此时，即， ∴要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是米． 7.如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm． （1）边BC的长为 　　m，矩形ABCD的面积为 　　m2（均用含x的代数式表示）； （2）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由． 【答案】解：（1）根据题意，知边BC的长为：（20﹣x）m， 矩形ABCD的面积为：（20﹣x）x＝（﹣x2+20x）m2； 故答案为：（20﹣x）；（﹣x2+20x）； （2）若矩形ABCD的面积是120m2，则﹣x2+20x＝120． ∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣80＜0， ∴这个方程无解． ∴矩形ABCD的面积不可以是120m2． 三、数字问题 1.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A.35 B.53 C.62 D.35或53 【答案】D 【解析】设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 解得：或， ∴这个两位数为35或53，故D正确． 故选：D． 2.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A.95 B.59 C.26 D.62 【答案】D 【解析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则 （10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612， 解得x=6， 10x+y=60+（6-4）=62． 故这个两位数是62． 故选：D． 3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） A.25 B.36 C.25或36 D.64 【答案】C 【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为25或36． 故选C． 4.《念奴娇赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为     岁． 【答案】 【解析】设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 5.如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为     ． 【答案】11或﹣8 【解析】设较小的数为x，则较大的数为x+3， 根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0， 分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0， 解得：x＝8或x＝﹣11， ∴x+3＝11或﹣8， 则较大的数为11或﹣8， 故答案为：11或﹣8． 6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 【答案】解：依题意，设这个数为，列方程， 即， ∴， 解得． ∴这个数为或． 7.一个数字和为的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是，则这个两位数是多少？ 【答案】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为， 根据题意得： ， 解得：或， 这个两位数是或． 四、动态几何问题 1.如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A.1 B.2 C.4 D.1或4 【答案】A 【解析】设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQCQ•CP， ∴42t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 2.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半， 根据题意，得， 化简得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． 故选：A． 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】由题意可得AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝6﹣2t， ∴， 当△PBQ的面积为时，可得， 解得， 故选：C． 4.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 　　秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分． 【答案】2或4． 【解析】根据题意，知BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm． ∵线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分， ∴S△PBQS△PBQ或S△PBQS△PBQ， 则根据三角形的面积公式，得（6﹣t）•2t6×8，或（6﹣t）•2t6×8， 整理得：t2﹣6t+8＝0或t2﹣6t+16＝0（无实数解）， 解得t1＝2，t2＝4， 即线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 5.如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【答案】2秒或4秒或3． 【解析】分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3，t4＝3（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3． 6.如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)几秒时，的长度为？ (2)几秒时，的面积为？ (3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 【答案】（1）解：设运动时间为t秒时，的长度为， 依题意得：，， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（负数不合题意，舍去）． ∴． ∴3秒时，的长度为； （2）解：设运动时间为t秒时，的面积为， 依题意得：，，， ∴． ∵的面积为， ∴． 解得：或4． ∴2或4秒时，的面积为； （3）四边形的面积 ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为21． 7.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？ 【答案】解：当运动时间为t秒时，BP＝t cm，BQ＝2t cm， ， 根据题意得：•t•2t＝9， 整理得：t2＝9， 解得：t1＝t2＝3， 当t＝3时，t＝3＜5，2t＝2×3＝6，符合题意． 答：3秒后，△PBQ的面积为9cm2． 五、增长率问题 1.2020年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为15000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到21600个，则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】C 【解析】设口罩日产量的月平均增长率为x， 根据题意得：15000（1+x）2＝21600， 解得x＝0.2或x＝﹣2.2（舍去）， ∴口罩日产量的月平均增长率为20%， 故选：C． 2.2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（　　） A.20% B.22% C.25% D.26% 【答案】A 【解析】设该款上衣销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该款上衣销售量的月平均增长率为20%． 故选：A． 3.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 【答案】C 【解析】设Ⅰ型药品的年平均下降率为x， 根据题意得：6400（1﹣x）2＝3600， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去）， ∴Ⅰ型药品的年平均下降率为25%． 故选：C． 4.若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是　　． 【答案】20% 【解析】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得： 400（1﹣x）2＝256， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8＝180%（舍去）， 即：这种商品平均每次降价的百分率为20%． 故答案为：20%． 5.某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加3.52万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为 　　． 【答案】20%． 【解析】设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 依题意得：8（1+x）2＝8+3.52， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 即从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%， 故答案为：20%． 6.我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【答案】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%． （2）33.8×（1+30%）＝43.94（万件）， ∵43.91＜45， ∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 7.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608． 化简得：4x2+12x﹣7＝0． ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）． 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： ∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128432＜500． 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 六、传播问题 1.某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是（    ） A.24 B.28 C.32 D.36 【答案】B 【解析】设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人患流感，第二轮传染后共人患流感， 根据题意得：， 解得：， (舍去)， ． 故选：B． 2.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A.14 B.13 C.12 D.11 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 故选：B． 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 4.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染        台电脑． 【答案】11 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 5.某种植物的一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，主干、支干、小分支一共是43个，根据题意列出关于的方程为      ． 【答案】 【解析】∵一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支， ∴一个主干，可以长出支干的个数为x，分支的个数为， ∴根据题意列出关于的方程为：． 故答案为：． 6.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 7.今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． (1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 【答案】（1）解：设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； （2）解： （只）， ∵， ∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 七、销售问题 1.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（　　） A.10元 B.20元 C.10元或20元 D.13元 【答案】A 【解析】设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵40﹣x≥25， ∴x≤15， ∴x＝10． 故选：A． 2.某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（　　） A.8元 B.10元 C.30元 D.10元或30元 【答案】C 【解析】设每件工艺品降价x元，依题意，得： （45﹣x）（20+4x）＝2100， 解得：x1＝10，x2＝30， 经检验：为了尽快减少库存x＝10不符合题意，应取x＝30． ∴每件工艺品应降价30元． 故选：C． 3.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（　　） A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 【答案】D 【解析】设每件衬衫应降价x元． 根据题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得x2﹣35x+250＝0， 解得x1＝10，x2＝25， ∵题目要求扩大销售量，减少库存， ∴x1＝10应略去， ∴取x2＝25． 故选：D． 4.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　　元． 【答案】3或4． 【解析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 5.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件． （1）若生产的是第三档的产品时，每件利润为 　　； （2）若生产第x档的产品一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为第 　　档． 【答案】（1）10；（2）六； 【解析】（1）（3﹣1）×2+6＝10． 故答案为：10； （2）若生产第x档的产品，则每件的利润为6+2（x﹣1）＝（2x+4）元，日产量为95﹣5（x﹣1）＝（100﹣5x）件， 依题意，得：（2x+4）（100﹣5x）＝1120， 整理，得：x2﹣18x+72＝0， 解得：x1＝6，x2＝12（不合题意，舍去）． 答：该产品的质量档次为六档． 故答案为：六． 6.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 【答案】解：（1）设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是（x+5）元/件， 根据题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴x+5＝10+5＝15（元）． 答：A系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件； （2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50+10（15﹣y）＝（200﹣10y）件， 根据题意得：y（200﹣10y）＝960， 整理得：y2﹣20y+96＝0， 解得：y1＝8，y2＝12， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝8． 答：B系列产品的实际售价应定为8元/件． 7.2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 【答案】解：（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：192（1+x）2＝300， 解得：x1＝0.25＝25%，x＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物摆件售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣45）元，月销售量为300+20（69﹣y）＝（1680﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣45）（1680﹣20y）＝7200， 整理得：y2﹣129y+4140＝0， 解得：y1＝60，y2＝69（不符合题意，舍去）． 答：当该吉祥物摆件售价为60元时，月销售利润达7200元． 学科网（北京）股份有限公司 $$