2.4数列的应用 同步练习-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

2.4　数列的应用 一、选择题 1．某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元，降至48.6元，则平均每次降价的百分率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．35% 2．河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案．若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为(　　) A．1 016 B．512 C．128 D．1 024 3．某工厂今年1月份产值为a，若月平均增产率为b，则今年12月份产值为(　　) A．ab B．a(1＋b) C．a(1＋b)11 D．a(1＋b)12 4．阅读古诗：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？诗中问题的答案是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．在占地2000亩的荒山上将建造森林公园，第一年植树200亩，以后每一年比上一年多植树100亩， 要把整个荒山绿化需要(　　) A．10年 B．5年 C．6年 D．15年 6．某林场第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树20%，那么这个林场这5年共植树多少亩(　　) A．100 B．500 C．744 D．840 二、解答题 7．有一个景区中很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的，第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，按照这样的规律一直延伸到很远的地方，问第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成？由999只蝴蝶组成的雕塑是第几个呢？ 8．某市近8年的生产总值第一年为1 000亿元，从第二年开始以10%的速度增长，那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元？(精确到0.01亿元) 9．某房建公司在市中心用100万元购买一块土地，计划建造一幢每层为1 000平方米的n层楼房，第一层每平方米所需建筑费用(不包括购买土地费用)为600元，第二层每平方米所需建筑费用为700元，…，以后每升高一层，每平方米的建筑费用增加100元． (1)写出每平方米平均造价y(以百元为单位)用n表示的表达式； (2)为使整个大楼每平方米的平均造价不超过1 150元，则这幢大楼最多能造几层？ 10．某人于2023年1月在银行存入10 000元，2月再次存入10 000元，此后每月都存入10 000元，设 银行月利率为a，该人由于其它原因，11月将本息和全部取出，问他共取出多少？ 11．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n年这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 12．某家庭贷款10万元购置一套商品房，贷款后，每年还款一次，每次还款额相同，计划10年还清，如果购房贷款利率为8%，按复利计算，问每年应还款多少元？(精确到1元)． 13．小张、小李两人分别到甲、乙两家公司应聘．小张应聘的甲公司给出的条件是：第一年月薪3 000元，以后每年的月薪增加500元．小李应聘的乙公司给出的条件是：第一年月薪3 000元，以后每年的月薪增加10%.如果聘期确定为5年，那么第5年小张和小李的月薪分别是多少？小张和小李这5年的总收入分别是多少？(精确到1元) 答案 一、选择题 1．A 2．A　设从上到下第n层的浮雕像个数为an，由题意可知，数列{an}为等比数列，且该数列的公比为2，由已知可得a3－a2＝2a2－a2＝16，可得a2＝16，故a1＝＝8，因此，该洞窟的浮雕像的总个数为＝8×127＝1 016. 3．C　4.B　5.B　6.C 二、解答题 7．解：从第一个雕塑的蝴蝶数一直延伸下去，所有的蝴蝶数看成一个数列{an}，由题意知{an}是等差数列，则a1＝3，a2＝5，得d＝2， 所以通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1， 当n＝102，得a102＝3＋2×(102－1)＝205； 3＋2(n－1)＝999，解得n＝499. 所以第102个雕塑是由205只蝴蝶组成，由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个． 8．解：每年的生产总值成等比数列{an}，其中首项a1＝1 000，公比为q＝1＋10%＝1.1， 所以S8＝＝10 000×(1.18－1)≈11 435.89(亿元)． 所以这个城市近8年的生产总值一共约是11 435.89亿元． 9．解：(1)购买土地费用为100(万元)， 第n的建筑费用为(500＋100n)×1 000×10－4＝50＋10n(万元)， 所以y＝×100＝(百元)，其中n∈N*. (2)由y≤11.5得≤11.5即n2－12n＋20≤0， 所以2≤n≤10，最多能造10层． 所以最多能造10层． 10．解：由题意可得：该人的存款构成等比数列.2023年1月在银行存入的10 000元所得的本息和为a1＝10 000(1＋a)10,2月在银行存入的10 000元所得的本息和为a2＝10 000(1＋a)9，…10月在银行存入的10 000元所得的本息和为a10＝10 000(1＋a)， 所以s10＝a1＋a2＋a3＋……＋a10＝ 10 000(1＋a)10＋10 000(1＋a)9＋…＋10 000(1＋a)，＝ . 11．解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1. ∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元； (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.　 ∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元． 12．解：设每年还款x元 第十年的还款到期后的本息为a1＝x； 第九年的还款到期后的本息为a2＝x(1＋8%)； 第八年的还款到期后的本息为a1＝x(1＋8%)2 …………第一年的还款到期后本息为a10＝x(1＋8%)9 所以100 000×1.0810(1＋1.08＋1.082...1.089)x； 所以 x＝100 000×1.0810；所以x＝14 903元．答：每年应还款14 903元． 13．解：小张每年的月薪构成等差数列{an}，其中a1＝3 000，d＝500，第5年小张的月薪为a5＝3 000＋(5－1)500＝5 000(元) 小张这5年的总收入为S5＝12(3 000＋3 500＋4 000＋4 500＋5 000)＝12×＝240 000(元) 小李每年的月薪构成等比数列{bn}，其中b1＝3 000，q＝1＋10%＝1.1，第5年小李的月薪为b5＝3 000×1.14≈4 392(元) 小李这5年的总收入为S5＝12(3 000＋3 000×1.1＋3 000×1.12＋3 000×1.13＋3 000×1.14)＝12×3 000×(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)＝36 000×()≈219 784(元) 答：第5年小张和小李的月薪分别是5 000元和4 392元；小张和小李这5年的总收入分别是240 000元和219 784元． 学科网（北京）股份有限公司 $$