4.2.2双曲线的几何性质 同步练习-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

4.2.2　双曲线的几何性质 一、选择题 1．双曲线 －＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 2．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是(　　) A． B． C． D． 3．双曲线的实轴长4 ，焦点在y轴上，且经过点A(2，－5)，则双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝－1 D．－＝1 4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是(　　) A．4 B．－4 C．－ D． 5．若双曲线的焦点在y轴上，它的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率是(　　) A． B． C． D． 6．双曲线的离心率是 ，经过点M(－5,3)，则双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 7．中心在坐标原点，一个焦点坐标是(－3,0)，一条渐近线方程为 x－2y＝0的双曲线方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 二、填空题 8．双曲线－＝1 的焦距等于_________． 9．过点(4，)且渐近线方程为y＝±x 的双曲线的标准方程为____________． 10．若双曲线 －＝1的一条渐近线经过点P(3，－4)，则此双曲线的离心率为______________． 11．双曲线－＝1的虚轴长为________． 12．双曲线mx2－y2＝1的虚轴长是是实轴长的2倍，则实数m＝______________. 13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，离心率e＝，且过点P(－3,5)，求双曲线的标准方程__________________． 14．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x且过点(6,2)，则双曲线的标准方程为__________________． 三、解答题 15．已知双曲线C过点A(，1)，且与双曲线x2－3y2＝1 有相同的渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长度． 16．已知双曲线 －＝1(a＞0，b＞0)，两个焦点是F1，F2，离心率e＝，一个顶点为(，0)． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l斜率为2，与该双曲线相交于A，B两点，且OA⊥OB(O是坐标原点)，求直线l的方程． 答案 一、选择题 1．A　由题意知，双曲线的焦点在x轴上，a2＝9，b2＝16，则a＝3，b＝4，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x＝± x，故选A. 2．B　由题意知，整理得3c2－2ac－5a2＝0，两边同除以a2，得3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)，故选B. 3．A　设双曲线的标准方程为 －＝1(a＞0，b＞0)，因为2a＝4 ，即a＝2 ，又过点A(2，－5)，所以－＝1，解得b2＝16，所以双曲线的标准方程为 －＝1，故选A. 4．C　由题意知，a2＝1，b2＝－，b＝2a，则b2＝4a2，即－＝4，解得m＝－，故选C. 5．B　由题意知， ＝，则e＝＝＝＝＝，故选B. 6．A　因为e＝＝＝＝，所以a2＝b2.设双曲线的方程为x2－y2＝m，把点M(－5,3)代入得，m＝25－9＝16，所以双曲线的标准方程为 －＝1，故选A. 7．B　由题意知，，解得所以双曲线的标准方程为－＝1，故选B. 二、填空题 8．解析：由题意知，a2＝16，b2＝12，则c2＝28，即c＝2，所以双曲线的焦距等于4. 答案：4 9．解析：设双曲线的方程为 －y2＝m，把点(4，)代入得，m＝4－3＝1，所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 答案：－y2＝1 10．解析：由题意知， ＝－，则e＝＝＝＝＝. 答案： 11．解析：由题意知，b2＝16，则b＝4，所以双曲线 －＝1的虚轴长为8. 答案：8 12．解析：由题意知，a2＝，b2＝1，则1＝2，解得m＝4. 答案：4 13．解析：因为e＝，可设双曲线方程x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点P(－3,5)，所以λ＝－16，所以双曲线的标准方程 －＝1. 答案：－＝1 14．解析：设双曲线的方程为 －y2＝λ，代入点(6,2)，－22＝λ，解得λ＝5，所以曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 三、解答题 15．解：(1)设双曲线C的方程为x2－3y2＝λ，因为双曲线C过点A(，1)，所以()2－3×(1)2＝λ，解得λ＝12. 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设双曲线C的焦点坐标为(4,0)，则直线l的方程为y＝x－4. 联立，消去y，得x2－12x＋30＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝12，x1x2＝30. 所以|AB|＝＝＝ ＝4. 16．解：(1)由题意知，解得所以，双曲线的标准方程为－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝2x＋m. 联立消去y，得2x2＋4mx＋m2＋4＝0， Δ＝(4m)2－4×2×(m2＋4)＝8m2－32>0，得m>2或m<－2 由韦达定理，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(2x1＋m)(2x2＋m)＝5x1x2＋2m(x1＋x2)＋m2＝5×＋2m×(－2m)＋m2＝0， 整理得m2＝20，解得m＝2或m＝－2. 所以直线l的方程为y＝2x＋2或y＝2x－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$