4.1.2椭圆的几何性质 同步练习-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

4.1.2　椭圆的几何性质 一、选择题 1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为(　　) A． B． C．2 D．4 2．若焦点在x轴上的椭圆 ＋＝1的离心率为 ，则m的值(　　) A． B． C． D． 3．椭圆 ＋＝1的右焦点到左顶点的距离为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知椭圆 ＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2，离心率为 ，过F2的直线l交椭圆于两点A、B，若△AF1B的周长为4 ，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 5．已知椭圆 ＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 6．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长和短轴长之和等于20，焦距为4 ，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 二、填空题 7．已知椭圆的焦距恰好等于它的短轴长，则这个椭圆的离心率为________． 8．已知焦点在x轴，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为的椭圆的标准方程为________________． 9．过椭圆 ＋＝1的右焦点且垂直于x轴的直线，交椭圆A，B两点，则|AB|＝__________. 10．椭圆一个焦点与短轴两个端点的连线夹角为60°，则椭圆的离心率为________． 三、解答题 11．点P为椭圆 ＋＝1上的一点，求点P到直线x＋y－7＝0的最短距离和最远距离． 12．已知椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2＋8x－9＝0的圆心，且短轴长为6，求椭圆的标准方程． 13．已知椭圆＋＝1 的左焦点为F1，与直线x－y－1＝0相交于A，B两点， 求|F1A|＋|F1B|的值． 答案 一、选择题 1．B　椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，所以a2＝，b2＝1，又a＝2b，所以＝4，解得m＝，故选B. 2．A　由题意知，a2＝2，b2＝m，则c2＝2－m，e＝＝，解得m＝，故选A. 3．C　a2＝25，b2＝9，则c2＝16，所以椭圆右焦点到左顶点的距离为a＋c＝5＋4＝9，故选C. 4．A　由题意知，4a＝4 ，＝，则a＝，c＝1，b2＝2，所以椭圆的标准方程为 ＋＝1，故选A. 5．D　由题意知，a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝8，故选D. 6．B　由题意知，解得a＝6，b＝4，所以椭圆的标准方程为 ＋＝1，故选B. 二、填空题 7．解析：由题意知，b＝c，则a＝c，所以e＝＝＝.　 答案： 8．解析：由题意知，解得a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 9．解析：由题意知，过椭圆 ＋＝1的右焦点且垂直于x轴的直线为x＝2，代入椭圆方程，得 ＋＝1，解得| y |＝，所以|AB|＝2| y |＝. 答案： 10．解析：由题意知，e＝＝cos 30°＝. 答案： 三、解答题 11．解：设与直线x＋y－7＝0平行的直线为y＝－x＋m， 联立消去y，得25x2－32mx＋16m2－144＝0，所以Δ＝(－32m)2－4×25(16m2－144)＝0，解得m＝－5或m＝5， 所以直线的方程为x＋y－5＝0或x＋y＋5＝0. 因为直线x＋y－5＝0与x＋y－7＝0的距离为＝，直线x＋y＋5＝0与x＋y－7＝0的距离为＝6，所以点P到直线x＋y－7＝0的最短距离为和最远距离6. 12．解：x2＋y2＋8x－9＝0可化成(x＋4)2＋y2＝25，则圆的圆心坐标为(－4,0)，所以椭圆的焦点坐标为(－4,0)，即c＝4.又因为2b＝6，即b＝3，所以a2＝25，b2＝9.所以椭圆的标准方程为 ＋＝1. 13．解：易知直线x－y－1＝0过右焦点F2. ∴l△ABF1＝4a. ∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得7x2－8x－8＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝＝＝. 所以|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝8－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$