17.3 第3课时 勾股定理的逆定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

17.3 勾股定理 第3课时 勾股定理的逆定理 课题 第3课时 勾股定理的逆定理 课型 新授课 教学内容 教材第156-158页的内容 教学目标 1. 理解并掌握勾股定理的逆定理. 2. 体会勾股定理逆定理的探究和证明过程. 3. 能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 教学重难点 教学重点：勾股定理的逆定理的推导过程. 教学难点：勾股定理逆定理的应用. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 教师提问：在古埃及，古埃及人曾用有13个等距的结的绳子得到了直角，同学们你们知道古埃及人是用什么方法得到直角的吗? 拿出准备好的绳子，每个小组1根，动手操作并交流讨论. 答案预设：13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个同学同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第1个结处. 教师追问：直角三角形有哪些性质呢？ 学生可能说出的答案： (1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； 教师重点强调勾股定理. 教师提问：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？（板书：第3课时 勾股定理的逆定理 同时展示课件） 学生思考. 2.实践探究，学习新知 活动一:教材探究活动——勾股定理的逆定理 【探究】分别以下列各组数据（都满足a2+b2=c2）为边作三角形，测量得到的三角形是否是直角三角形. ①3，4，5；②5，12，13；8③，15，17；④7，24，25 学生动手操作并测量. (3）你发现什么规律？ 学生思考、回答：如果三角形的三边长a,b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 利用量角器手工测量结果可能有误差，有没有办法证明没呢? 教师说明：在ΔABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出∠C是直角较难做到.若作一个与ΔABC全等的直角三角形,则可借助全等的性质来说明∠C是直角. 【证明结论】 已知:如图（1)所示,在ΔABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2. 求证：∠C=90°. 引导学生分析：要证∠C=90°,就是要构建一个与ΔABC全等的直角三角形,作ΔA’B’C'，使∠C'=90°,B'C’=a，C'A’=b,证ΔABC≌ΔA’B'C'. 证明:如图（2）所示,作ΔA'B'C’，使∠C'=90°，B'C'=a，C’A’=b,由勾股定理，可得A’B’2=a2+b2. ∵a2+b2=c2， ∴A'B'2=c2，即A’B'=c. 在ΔABC和ΔA'B’C’中， ∵BC=B’C’=a，AC=A'C’=b,AB=A’B’=c， ∴ΔABC≌ΔA’B'C’(SSS)， ∴∠C=∠C'=90°（全等三角形的对应角相等). 展示学生的证明过程，全班点评、交流. 教师强调总结:刚才我们证明的结论是真命题.即如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理. 想一想:勾股定理和其逆定理有什么区别？两者应用的条件分别是什么? 小组讨论区别,选派代表发言. 【拓展】勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 活动二:教材例题——勾股定理逆定理的实际应用 【教材例题】 例3 如图所示的是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm，AD=13 cm，∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°? 小组合作探索，互相交换意见,选一名代表板演过程,其余学生在练习本上完成解题过程. 解：在ΔABC中, ∵∠ABC=90°, ∴AC2=AB2+BC2(勾股定理), ∵AB=4,BC=3， ∴AC2=32+42=52，∴AC=5. 在ΔACD中, ∵AC=5,CD=12,AD=13， ∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169. ∴AC2+CD2=AD2， ∴∠ACD=90°（勾股定理的逆定理). 所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°. 【拓展延伸】如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边的长)满足a2+b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形;如果满足a2+b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形. 3.学以致用，应用新知 考点1 勾股定理的逆定理 【例1】下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A.2，3，4 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，4，5 答案：C 变式训练 如图，四边形ABCD中，AB=3 cm，BC=4 cm，CD=1 cm，DA2=26，且∠ABC=90°，则四边形 ABCD的面积 是 cm2. 答案：8.5 考点2 勾股定理的逆定理的实际应用 【例2】如图所示,有一块地，已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为 （　　) A.24平方米 B.26平方米 C.28平方米 D.30平方米 解析:如图所示，连接AC. 由勾股定理可知AC2=32+42=25=52，∴AC=5米， ∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴ΔABC是直角三角形， 故所求面积=ΔABC的面积-ΔACD的面积=5×12-3×4=24（平方米). 答案：A 4.随堂训练，巩固新知 （1）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17 解析：根据勾股定理的逆定理判断即可. 答案：D （2）若三角形的三边长满足|c2-a2-b2|+（a-b）2=0，则此三角形的形状是 . 解析：由题意可得，c2-a2-b2=0，且a-b=0，因此a2+b2=c2，且a=b，故该三角形是直角三角形，又是等腰三角形，即等腰直角三角形. 答案：等腰直角三角形 （3）一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？ 解：由题意画出相应的图形，如图. 根据题意可知AB=240海里，BC=70海里，AC=250海里， 在△ABC中，由勾股定理，得 ， 即.所以△ABC是直角三角形. 答：船转弯后，是沿正西方向航行的. 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈这节课你的收获有哪些？ （2）如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. （3）勾股定理与其逆定理的关系：勾股定理是已知直角三角形得到三边长的关系;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形. 6.布置作业 课本P157练习1-2题，P157-158习题A，B组. 通过情境引入吸引学生注意力，然后复习回顾直角三角形的性质和勾股定理，为本节课要学习的内容作准备. 通过学生的合作探究，得出“如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时要遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律. 进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系. 利用勾股定理的逆定理解决实际问题，使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系. 通过实际问题的解答，进一步培养学生应用数学的意识，更好的促进学生对本节课重难点的理解和突破，帮助学生不断完善认知结构. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力. 板书设计 17.3 勾股定理 第3课时 勾股定理的逆定理的实际应用 提纲掣领，重点突出. 教后反思 充分尊重教材,以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题;让学生从中体验:任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，这使得学生的认知不能很好地遵循“特殊→一般→特殊"的发展规律. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$