17.3 第2课时 勾股定理的实际应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

17.3 勾股定理 第2课时 勾股定理的实际应用 课题 第2课时 勾股定理的实际应用 课型 新授课 教学内容 教材第153-155页的内容 教学目标 1. 会运用勾股定理解决简单的实际问题. 2. 学会选择适当的数学模型解决实际问题. 3. 能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 教学重难点 教学重点：能运用勾股定理解决简单实际问题. 教学难点：勾股定理的正确运用. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 情境1：折竹抵地（源自《九章算术》）: 今有竹高一丈，风折抵地，去本三尺.问折者高几何? 大意:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地,抵地处离原长竹子处3尺远.问原竹子有多高? 情境2：历史上伦敦克里斯蒂拍卖行贴出了一个土地拍卖广告:如图所示,有面积为560英亩的土地拍卖,土地共分三个正方形,面积分别为74英亩、116英亩、370英亩.三个正方形恰好围着一个池塘,如果有人能计算出池塘的准确面积,则池塘不计入土地价钱白白奉送.英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗? 怎么解决这些问题呢？学生尝试思考解决的思路，老师适当引导. 2.观察探究，学习新知 【过渡语】利用勾股定理，可以解决一些实际问题. 活动一:教材例题——勾股定理的实际应用（1） 【教材例题】 例1 如图所示,为了测得湖边上点A和点C间的距离,一观测者在点B处设立了一根标杆,使∠ACB=90°.测得AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果,求点A和点C间的距离. 老师引导学生进行思考： （1）阅读例题，分析题目中的已知条件和未知条件. （2）怎样求出AC的长度?要用我们学过的哪方面的知识？ 本题已知直角三角形的一直角边和斜边，求另一直角边，可以利用勾股定理解决. 让学生在练习本上完成,指一名学生板演，教师指导步骤，对学生的解题过程进行讲评. 解：在ΔABC中， ∵∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2(勾股定理). ∵AB=200 m，BC=160 m， ∴AC==120（m). 答:点A和点C间的距离是120 m. 活动二:做一做——勾股定理的实际应用（2） 如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17 m,AD⊥BC,垂足为D，AD=8 m,求BC的长. 学生独立完成,指一名学生板演. 解:在RtΔABD中, ∵AB=17 m，AD=8 m, ∴BD2=AB2—AD2=172—82=225, ∴BD=15 m， ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BC=2BD=30 m. 说明：学生独立完成，有困难的小组合作完成. 活动三：教材例题——勾股定理的实际应用（3） 【教材例题】 例2 如图所示,在长为50 mm,宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离. 先介绍图纸中所标数值的含义，再引导学生分析题意，提问： （1）在直角三角形中怎样求斜边的长度？ （2）AC，BC的长度怎样求? 学生独立思考交流,得出：要求斜边AB的长度，就要求出两直角边AC和BC的长度,这样就可以根据勾股定理的变形AB=求出AB的长度. 解：∵ΔABC是直角三角形, ∴AB2=AC2+BC2. ∵AC=50—15-26=9(mm）， BC=40—18-10=12（mm), ∴AB==15(mm). 答:孔中心A和B间的距离是15 mm. 3.学以致用，应用新知 考点 勾股定理的实际应用 【例1】 如图，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一小时后分别到达A，B两地，此时甲、乙两渔船相距（ ） A.8海里 B.10海里 C.12海里 D.13海里 答案：B 【例2】由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求甲树原来的高度. 解：如图所示， 过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， 由题意，可得BC=13 m，DC=12 m， 在Rt△BCD中，BD2=132-122=52， 所以BD=5 m，则AD=9 m. 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=92+122=152， 所以AC=15 m，故AC+AB=15+4=19（m）. 所以甲树原来的高度是19米. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ） A.140米 B.120米 C.100米 D.90米 答案：C （2）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m，结果他在水中实际划了65 m，求该河流的宽度. 解：根据题中数据，由勾股定理可得， AB2=AC2-BC2=652-252=3 600， 则AB=60 m. 答：该河流的宽度是60米. （3）两棵树之间的距离为 8 m，两棵树的高度分别是 8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈这节课你的收获有哪些？ （2）师生共同畅谈收获： 解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边长,利用勾股定理求第三边长. 解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题. 解决梯子问题：梯子斜靠在墙上，梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾般定理等知识解题. 6.布置作业 课本P154练习1-2题，P154-155习题A，B组. 通过情境导入，体现勾股定理在实际生活中的应用，让学生意识到数学来源于生活，又应用于生活. 也可以通过回顾上节课学过的勾股定理的知识，加深对定理的记忆与理解，为学习新课做好准备. 用数学知识解决问题，就要先将实际问题转化为数学问题——建立数学模型.本节课解决问题中进一步锻炼学生抽象数学模型的能力. 该活动中涉及的问题较前面例题难度略高，需要综合等腰三角形知识求解. 把运用勾股定理来求直角三角形的边的问题与读图、视图能力结合起来，提高学生分析问题、解决问题的能力. 通过实际问题的解答，进一步培养学生应用数学的意识，更好的促进学生对本节课重难点的理解和突破，帮助学生不断完善认知结构. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力 板书设计 17.3 勾股定理 第2课时 勾股定理的实际应用 提纲掣领，重点突出. 教后反思 本节课教师注重引导学生提炼问题的相关条件，利用小组合作学习的优势，使每个学生都得到不同程度的进步,同时发现自身存在的问题.激发学生的学习兴趣，充分地调动学生的学习积极性，给学生留有思考和探索的余地,让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$