2.5.2 圆与圆的位置关系（课后练习）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（暑假高一升高二衔接）

课后训—圆与圆的位置关系- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 圆与圆位置关系的判断及求参】 1．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【来源】上海市向东中学2024-2025学年高二下学期3月阶段练习数学试卷 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 2．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【来源】山东省济钢高级中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题 【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 3．若直线与圆O：相切，则圆与圆O（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】A 【来源】江苏省徐州市多校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题 【分析】若直线与圆O：相切，得，由两圆圆心距与两圆半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系. 【详解】若直线与圆O：相切， 则圆心到直线的距离等于圆O的半径， 即，得， 圆圆心，半径为， 两圆圆心距，大于两圆半径之和，所以两圆相离. 故选：A 4．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【来源】第四单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系A卷�名校好题 基础达标卷 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离 ． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 5．（多选）已知圆与圆相切，则的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】BC 【来源】甘肃省白银市2025届高考三模联考高三数学试题 【分析】根据两圆相外切和相内切两种情况，列式求解. 【详解】若这两个圆外切，则， 两边平方后，解得或3； 若这两个圆内切，则， 解得. 故选：BC 6．已知圆. (1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【来源】陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题 【分析】（1）根据题意，可分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解； （2）设，由两圆相外切，得到，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）由题知，圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径， 可得，解得， 此时直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 综上可得，直线的方程为或. （2）由圆的半径为3，圆心在直线上， 设，且圆的圆心，半径为， 由两圆相外切，可得，即， 解得或， 或， 圆的方程为或. 【题组二 两圆公切线的条数】 7．已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 【答案】 【来源】山西省运城市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为， 的圆心坐标为，半径为， 则圆心距为， 故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条， 故答案为：3 8．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】云南省宣威市部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平检测数学试卷 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 9．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（   ） A．36 B．3 C．10 D． 【答案】A 【来源】广东省珠海市第二中学2024-2025学年高二上学期第二阶段考试数学试题 【分析】根据给定条件，可得两圆外切，进而求得，再借助动圆与圆有公共点，求出动圆半径的最小值即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆恰有三条公共切线，得圆外切，则， 即，显然点在圆上，点在圆外， 令，则点在圆上， 因此圆与有公共点，则，， 即，解得，则， 所以的最小值为36. 故选：A 【题组三 两圆公切线的方程】 10．已知圆O：与圆C关于直线l：对称，求圆O与圆C的公切线方程. 【答案】或或或 【来源】2025届贵州省贵阳市高三11月模拟预测数学试题 【分析】若任意两个圆关于某直线对称，那么这两个圆的其中一条公切线与两个圆心连线平行且距离为半径，再代入本题条件，求出圆心连线的直线方程，求出其中一条公切线方程.因为圆与对称相离，所以两对称圆一定相离，由对称性得到切线与对称性相较于同一点，通过线段长求出切线的倾斜角，从而写出切线方程. 【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 11．圆和圆的公切线的方程为 . 【答案】或或 【来源】山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 【分析】由两圆的圆心和半径，得两圆相外切，两圆均与直线相切，直线与直线的交点为，设出过的另外一条切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求出方程，过两圆切点的切线与直线垂直，设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求出方程. 【详解】圆，圆心坐标，半径， 圆，圆心坐标，半径， 由，则两圆相外切， 由圆心和半径可知，两圆均与直线相切， 直线的方程为，直线与直线的交点为， 设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1，故， 解得，或，故另外一条切线为. 因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为， 设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则， 所以，故.      故答案为：或或. 12．已知圆和圆相交于两点，求： (1)线段的长； (2)两圆有公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【来源】四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 【分析】（1）两方程联立求出直线的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长； （2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程. 【详解】（1）由题意， 联立方程组，两式相减得到直线的方程为， 则原点到直线的距离为， 根据勾股定理得    （2）由题意及（1）得， 在圆中， ， ∴，半径为， 在圆中，圆心，半径为， 可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线， 则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线， 由和，可得两圆心所在直线为， 即， 联立方程组，解得， 即交点坐标为， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为， 可得，解得， 即对称点的坐标为， 所求的另一条切线过点， 可得其方程为， 故所求切线方程为或.    13．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省泰山教育联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 【题组四 公切线的长度】 14．（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 【答案】ABD 【来源】安徽省六安第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】根据圆心距与两圆半径之和相等可知A正确，利用两点坐标即可得B正确；易知当四点共线且在两侧时，取得最大值为，可得C错误；根据两半径差和圆心距可得公切线段长为，即D正确. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 两圆圆心距，即圆心距等于两半径之和， 所以两圆外切，即A正确； 由圆心坐标可知，所以直线的方程为， 即，所以B正确； 由圆与圆之间的位置关系可得的最大值为，如下图所示： 当四点共线且在两侧时，取得最大值，可得C错误； 设为两圆的一条公切线，切点分别为， 易知，作于点，则， 又，则，可得公切线段长为，即D正确. 故选：ABD 15．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【来源】2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷（五） 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【题组五 两圆相交，公共弦方程及弦长】 16．（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【来源】浙江省丽水市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题 【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到. 【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心 到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 17．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【来源】江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 18．已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【来源】广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题 【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解. （2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，， 因为 故 所以，的长都是. （2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径长为， 所以圆的方程为，即， 由得，故直线的方程为. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—圆与圆的位置关系- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 圆与圆位置关系的判断及求参】 1．已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 2．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 3．若直线与圆O：相切，则圆与圆O（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 4．已知圆，圆．若两圆内含，求实数的取值范围 ． 5．（多选）已知圆与圆相切，则的取值可以为（    ） A． B． C．3 D．4 6．已知圆. (1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程. 【题组二 两圆公切线的条数】 7．已知圆和圆，则圆与圆的公切线有 条. 8．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（   ） A．36 B．3 C．10 D． 【题组三 两圆公切线的方程】 10．已知圆O：与圆C关于直线l：对称，求圆O与圆C的公切线方程. 11．圆和圆的公切线的方程为 . 12．已知圆和圆相交于两点，求两圆的公切线方程. 13．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【题组四 公切线的长度】 14．（多选）已知圆，圆，则下列选项正确的是（    ） A．两圆是外切的位置关系 B．直线的方程为 C．若P、Q两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5 D．圆和圆的一条公切线段长为 15．圆与圆的公切线长为 . 【题组五 两圆相交，公共弦方程及弦长】 16．（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 17．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 18．已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$