18.2 分式的乘法与除法 同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.2 分式的乘法与除法 讲义 新知廊 知识点1：分式的乘除 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为：． 知识点2：分式的乘方 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 用式子表示为：． 知识点3：分式的乘除、乘方混合运算 1．分式的乘除混合运算： 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件（如括号等），则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的．一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算． 2．分式的乘除、乘方混合运算： 分式与分数有相同的混合运算顺序，即先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的． 求甚解 1．分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 2．分式的乘方 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 3．分式的乘除混合运算： 一定要注意运算顺序． 练题型 题型01 分式的乘法运算 典型例题 典例 01 （2025春•沿河县校级月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　　（2025春•永靖县校级月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：根据分式的乘法运算法则可得： ， 故选：D． 【变式练2】　　（2025春•槐荫区期末）计算的结果是（　　） A． B． C．xy D． 【答案】D 【分析】根据分式的乘法计算即可． 【解答】解：， 故选：D． 【变式练3】　　（2025•肇源县二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简． 【解答】解： ， 故选：C． 题型02 分式的除法运算 典型例题 典例 02 （2025春•沂水县校级月考）化简：的结果是　　 ． 【答案】． 【分析】根据分式的除法法则把除法化为乘法，再把分式的分子、分母因式分解，再约分得到答案． 【解答】解： • • ， 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　　（2025•安阳县二模）化简的结果是（　　） A．2 B． C．m D． 【答案】B 【分析】把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【解答】解：原式． 故选：B． 【变式练2】　　（2025•本溪二模）分式的化简结果为（　　） A．﹣2m﹣2n B．2n﹣2m C．2m﹣2n D．2m+2n 【答案】D 【分析】将除法化为乘法，然后约分即可． 【解答】解：原式 ＝2（m+n） ＝2m+2n， 故选：D． 【变式练3】　　（2025春•禅城区期末）计算的结果为（　　） A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】将除法化为乘法后进行约分即可． 【解答】解：原式， 故选：B． 题型03 分式的乘除混合运算 典型例题 典例 03 （2025春•双流区期末）化简： ______． 【答案】a2． 【分析】先把除法变为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解： ＝a2， 故答案为：a2． 即学即练 【变式练1】　　（2023秋•新泰市期末）化简：　　 ． 【答案】． 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【解答】解：原式•（）• ． 故答案为：． 【变式练2】　　（2023秋•环翠区期末）化简（a+b）÷（a﹣b）•　　 ． 【答案】故答案为：． 【分析】先变除为乘，再进行计算． 【解答】解：原式＝（a+b） ． 【变式练3】　　（2025春•岳西县月考）2a•　 ． 【答案】． 【分析】先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【解答】解：先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分可得： ． 故答案为：． 题型04 分式的乘除、乘方混合运算 典型例题 典例 04 （2024秋•娄底期末）化简x3÷（）2的结果是（　　） A． B．x3y2 C． D．x2y6 【答案】C 【分析】利用分式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式＝x3 ＝x3• ， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　　（2025•鹿邑县三模）计算的结果是（　　） A．2m2n6 B．4m2n6 C．4m2n3 D．2m3n6 【答案】A 【分析】按照混合运算法则，先算乘方，再根据进行约分即可． 【解答】解：原式 ＝2m2n6， 故选：A． 【变式练2】　　（2025春•金台区月考）计算：． 【答案】． 【分析】先算乘方，再算乘除，即可得． 【解答】解：原式•（）• ＝﹣xy3•， ． 【变式练3】　　（2024秋•丰城市校级月考） 　　 ． 【答案】． 【分析】首先利用积的乘方运算化简，再利用分式的乘除运算法则化简． 【解答】解： 故答案是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2 分式的乘法与除法 讲义 新知廊 知识点1：分式的乘除 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为：． 知识点2：分式的乘方 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 用式子表示为：． 知识点3：分式的乘除、乘方混合运算 1．分式的乘除混合运算： 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件（如括号等），则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的．一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算． 2．分式的乘除、乘方混合运算： 分式与分数有相同的混合运算顺序，即先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的． 求甚解 1．分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 2．分式的乘方 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 3．分式的乘除混合运算： 一定要注意运算顺序． 练题型 题型01 分式的乘法运算 典型例题 典例 01 （2025春•沿河县校级月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　　（2025春•永靖县校级月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　　（2025春•槐荫区期末）计算的结果是（　　） A． B． C．xy D． 【变式练3】　　（2025•肇源县二模）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 题型02 分式的除法运算 典型例题 典例 02 （2025春•沂水县校级月考）化简：的结果是　　 ． 【答案】． 【分析】根据分式的除法法则把除法化为乘法，再把分式的分子、分母因式分解，再约分得到答案． 【解答】解： • • ， 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　　（2025•安阳县二模）化简的结果是（　　） A．2 B． C．m D． 【变式练2】　　（2025•本溪二模）分式的化简结果为（　　） A．﹣2m﹣2n B．2n﹣2m C．2m﹣2n D．2m+2n 【变式练3】　　（2025春•禅城区期末）计算的结果为（　　） A． B． C．a D． 题型03 分式的乘除混合运算 典型例题 典例 03 （2025春•双流区期末）化简： ______． 【答案】a2． 【分析】先把除法变为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解： ＝a2， 故答案为：a2． 即学即练 【变式练1】　　（2023秋•新泰市期末）化简：　　 ． 【变式练2】　　（2023秋•环翠区期末）化简（a+b）÷（a﹣b）•　　 ． 【变式练3】　　（2025春•岳西县月考）2a•　 ． 题型04 分式的乘除、乘方混合运算 典型例题 典例 04 （2024秋•娄底期末）化简x3÷（）2的结果是（　　） A． B．x3y2 C． D．x2y6 【答案】C 【分析】利用分式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式＝x3 ＝x3• ， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　　（2025•鹿邑县三模）计算的结果是（　　） A．2m2n6 B．4m2n6 C．4m2n3 D．2m3n6 【变式练2】　　（2025春•金台区月考）计算：． 【变式练3】　　（2024秋•丰城市校级月考） 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$