专题05 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题05 绝对值的几何意义（最值问题）与化简专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）所有绝对值小于20的整数的和为（   ） A．190 B．95 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 绝对值小于的所有整数包括从到之间的所有整数，其中每个正数都有对应的相反数，它们的和为，再加上本身，总和仍为． 【详解】解：绝对值小于的整数为：． 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）已知，那么的最大值与最小值的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，则及的符号不能确定，故应分类讨论出及的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可． 【详解】解：①当时， ， 当时，达到最大值5； ②当时， ； ③当时， ， ∴当时，达到最小值1；当时，达到最大值3； 综上分析，最大值是5，最小值是1， ∴的最大值与最小值的和为5+1=6． 故选：D． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据ab>0，可知ab同号，即a、b同为正或同为负，再根据绝对值的定义和有理数的除法法则进行化简计算即可． 【详解】∵， ∴，两正或两负， ①，时，； ②，时，． ∴原式最大为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）设是八个不同的正整数，取值于．记，则S的最大值为 【答案】32 【分析】本题考查了绝对值的意义及最值问题，首先明确数a的绝对值一定是非负数，其次要知道S的最大值就是让每个绝对值的取值最大是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，要使S为最大值，则每个绝对值需取最大值， 当 当 当 当 当 当 当 ， ， 故答案为：32． 4．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离． 阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边，； ②如图3，点A、B都在原点的左边，； ③如图4，点A、B在原点的两边，． 综上，数轴上A、B两点之间的距离 (1)回答下列问题： ①数轴上表示3和的两点之间的距离是 ， 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， 数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示x和的两点之间的距离4，那么x的值是 ； (2)深入探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值为 ． ②若|有最小值，则最小值是 ． 【答案】(1)①4；2；5 ②1或 (2)①4 ②5 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义、有理数减法的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）①直接根据题干得出结论即可解答； ②根据题干得出结论，解方程即可得； （2）①因为表示数轴上表示到3和的两点距离和，即可得出结论； ②表示的是数轴上表示的点到表示和2的两点的距离之和，即可得． 【详解】（1）解：①数轴上表示3和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是； ②，解得或， 故答案为：①4，2，5，②1或； （2）①因为表示数轴上表示到3和的两点距离和， 所以当表示数x的点在与之间移动时，等于3和的两点间的距离 因为，即当表示数x的点在与之间移动时， ②表示的是数轴上表示的点到表示和2的两点的距离之和， 则当数轴上表示的点在表示和2两点的之间（含两端点），即时，式子取最小值，最小值是， 故答案为：①4，②5． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解. 【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a， 结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2； 即当时，取得最小值，为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的意义，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2024，故A正确． 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 分三种情况：当点P在点A左边时，当点P在线段点上时，当点P在线段点上时，分别求解，再比较即可． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B， 则，，， 当点P在点A左边时，如图， ∴ ． 当点P在线段点上时，如图， ∴ ， ∴； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5 (4)4，15 (5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在1与之间时，的最小值为5． 故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和， ∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为． 故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例3】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）若代数式，则的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及求代数式的最值．相当于就是x轴上的一点到这个点和3这个点距离之和，x在和3之间距离是最短的，就是4，可以得到，同理，求出x，y的取值范围，再代入求值即可． 【详解】解：∵由绝对值的几何意义可得： ， ， ∵， ∴， ， ∴当，时代数式的最小值为， 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与，3与5，与，与3，回答问题： (1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是 ； (2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为 ； (3)结合数轴可得的最小值为 ； (4)若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】(1)相等 (2) (3)5 (4) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得出结论； （2）根据数轴上两点之间的距离可得结果； （3）根据表示在数轴上表示x的点到2和两点的距离之和，得出当x表示的点在2和之间时，这个距离之和最小，然后求出这个最小距离即可； （4）把的取值范围分成，，和四类进行讨论，求出最小值，由于方程无解，则小于最小值即可得出答案． 【详解】（1）解：在数轴上4与之间距离为6，3与5之间距离为2，与之间距离为4，与3之间距离为7， ∵，，，， ∴数轴上两点距离两点表示的数的差的绝对值； 故答案为：相等； （2）解：由（1）可知：， 故答案为：； （3）解：∵表示在数轴上表示x的点到2和两点的距离之和， ∴当x表示的点在2和之间时，这个距离之和最小， ∴的最小值为； （4）解：①当时，，，， ， ②当时，，，， ， ， ③当时，，，， ， ， ④当时，，，， ， 最小值为6， 方程无解， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离以及绝对值的意义，整式的加减运算，掌握分类讨论的思想方法求最值是解题的关键． 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a，b则A、B两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有A、B两站，现要在AB段上选址物流中心M，使最短，M选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，M应选在A、B之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有A、B、C三站，如何选址物流中心M．使最短？ 乙的探究：物流中心M应选在C站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有A、B、C、D四站，M选在哪，才使得最短？ 丙的探究：M应选在C、D之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 【答案】2550 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离． 由题意得：在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0，最中间一项是，代入即可求出答案． 【详解】解：由题意得：可以看成是到个点的距离之和. 在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0， ∵最中间一项是， ∴，即， 当时， 故的最小值为2550． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）数轴上表示数a的点与所对应的点的距离；（3） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义： （1）仿照题意可得表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，据此可得答案； （2），再结合题意即可得到答案； （3）表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，则； （2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点与所对应的点的距离； （3）由题意得表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值为． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足． （1）________，________，点A，点B之间的距离长为________；（直接写出来） （2）若点M以每秒3个单位的速度从点A出发向正方向运动，同时点N以每秒1个单位的速度从点B出发向正方向运动，经过多少秒，点M，点N之间的距离为2个单位？ （3）【问题背景】：已知可理解为数轴上表示数a、b的点之间的距离，可以理解为数轴上表示数a的点到表示数b，c的点的距离之和． 【解决问题】：①若点P在数轴上表示的数为x．则的最小值是________； 【问题拓展】：②若，则的最大值为________． 【答案】（1）；；；（2）4秒或6秒；（3）①；② 【分析】（1）根据非负数的性质得到，则，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）设经过t秒，点M，点N之间的距离为2个单位，则，解方程即可得到答案； （3）①根据绝对值的几何应用可得当时，有最小值，最小值为；②同理可得当时，有最小值，最小值为，再根据题意得到，，则，，再用y的最大值减去x的最小值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）设经过t秒，点M，点N之间的距离为2个单位， 由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过4秒或6秒，点M，点N之间的距离为2个单位； （3）①∵表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②同理可得当时，有最小值，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴的最大值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解绝对值方程，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，非负数的性质等等，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【答案】(1)8 (2)1或5 (3)①5②或 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）求出数轴上与3距离为2的点表示的数即可； （3）①根据绝对值的意义，得到表示数轴上数到数和数的距离之和，进而得到当在和4之间时，距离和最小为到4的距离，计算即可； ②分在的左侧和在的右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：所表示的有理数为或； （3）①因为表示数轴上数到数和数的距离之和， 所以当在和4之间时最小为：； 数表示的点在数表示的点的左侧或数表示的点的右侧时，数表示的点到数和数表示的点的距离和大于5， 所以有最小值5； ②当在的左侧时，，解得：； 当在右侧时，，解得：； 综上：或． 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 【例5】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，已知有理数，，在数轴上位置如图所示，化简式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值，有理数的加减法法则及整式的加减运算，根据数轴可得，，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 1．（2025·重庆·模拟预测）对于整式：、、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，，所以或．下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数；②若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则；③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果．正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的意义，根据绝对值的意义、整式的加减运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ①正确，符合题意； ，， ， 解得：， ②正确，符合题意； 由题意得：、、、、的绝对值各有2种， “全绝对”操作后的式子化简后有种不同的结果， ③错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川泸州·期末）若，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，解题的关键是先根据题意确定的取值范围，然后再化简．根据，可得，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·北京·期中）填空（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ；（n为正整数） （4）若a、b都是非零的有理数，那么的值是 ； （5）若a、b都是有理数，，化简 ． 【答案】 / 3或 / 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的运用，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）第1个数与第2数之和为，第3个数与第4个数的和为，以此类推，得到50个相加，得到结果； （2）把原式看作一个整体，表示出它的2倍，再两式相减，得到结果； （3）根据最后一项可化简为分母是连续奇数，分子为1的两个数之差的形式，从而对原式变形，通过每一个式子相消的办法，得到结果； （4）分四种情况讨论a、b的正负，分别去掉绝对值符号，化简可得到结果； （5）根据新定义，对原式进行化简，即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）令① 则，② ，得：， 即：； 故答案为：； （3）∵， ∴ 故答案为：； （4）若a、b都是非零的有理数， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，原式的值为3或； 故答案为：3或； （5）∵a、b都是有理数，则， ∴ 故答案为：． 4．（2025七年级上·浙江·专题练习）点、在数轴上分别表示实数、、、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和1两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 (3)若表示一个实数，且，化简； (4)的最小值为 ， 【答案】(1)4，3 (2)， (3)8 (4)7 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解题意，掌握数轴上A、B两点间的距离为是解题关键． （1）（2）直接代入数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）实质是在点表示3和的点之间取一点，计算该点到点3和的距离和； （4）可知对应点在对应和4的点之间时的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据两点间距离公式可知：数轴上表示和1两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为； （3）解：因为， 所以； （4）解：表示x和两点之间的距离与x和4两点之间的距离的和， 所以当表示x的数位于和4两点之间时，距离的和最小，即为和4两点之间的距离为，即的最小值为7． 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 【例6】（24-25七年级上·重庆长寿·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对2，，5，9进行“差绝对值运算”的结果是39； ②，，6的“差绝对值运算”的最小值是9； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：对2，，5，9进行“差绝对值运算”得： ，故①正确； 对，，6进行“差绝对值运算”得：， 表示的是数轴上点到和6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， ，，6的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，不可能； 当，，，； ，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③不正确， 综上，故只有1个正确的． 故选：C． 1．（24-25七年级上·重庆·期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②错误，③正确． 【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 有，故①正确． ， ， 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误； ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③错误； 综上分析可知：正确的有1个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知有理数在数轴上的对应点如图所示，化简： ．    【答案】 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数以及大小关系、绝对值，整式的加减，熟练掌握数轴上点表示的数以及大小关系、绝对值的定义是解决本题的关键．根据数轴上点表示的数以及大小关系、绝对值的定义解决此题． 【详解】解：由数轴可知：， ， 原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和意义， 根据各个代数式中x的系数，通过添加“+”或“﹣”号，使合并后x项的系数为0，即可解答． 【详解】解：因为操作后化简的结果是常数，即x的系数为0， 则|或. 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是．动点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为，化简：（写出化简过程）． (4)若动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若M、N同时出发，问点M运动多少秒时，M、N相距1个单位长度？ 【答案】(1)4，7； (2)①2；②；③或6； (3) (4)点M运动1或2秒时，M、N相距1个单位长度． 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． （1）直接在数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据阅读材料中关于绝对值的阐述进行解答即可；②直接运用数轴上两点间的距离公式解答即可；③根据绝对值的意义求解即可； （3）根据绝对值的意义化简即可； （4）先分别表示出M、N表示的数，然后运用绝对值的意义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③∵表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， ∴或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． （4）解：设点M运动t秒时，M、N相距1个单位长度， 由题意可得：点M表示的数为，点N表示的数为t， ∴，解得：或2， ∴点M运动1或2秒时，M、N相距1个单位长度． 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）对于有理数a，b，定义一种新运算””，规定ab＝．计算：2（﹣3）的值； （2）若＝1，b＝3，求a+b的值． 【答案】（1）6；（2）a+b的值为4或2 【分析】（1）根据题意所定义的新运算，将原式转换为，根据有理数加减法运算法则以及绝对值的意义进行计算即可； （2）分和两种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：2（﹣3） ＝ ＝1+5 ＝6； （2）若a＝1，则a+b＝1+3＝4； 若a＝﹣1，则a+b＝﹣1+3＝2； 综上，a+b的值为4或2． 【点睛】本题考查了定义新运算，涉及到绝对值以及有理数的加减法，读懂题意理解题目中的新定义、熟练掌握绝对值的意义以及有理数加减法是解本题的关键． 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1)9 (2) (3)32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． （1）根据，进行有理数的加减运算，即可求解； （2）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （3）根据非负数的性质，求出，再代入第（2）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， 把，代入得，． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空：______；______． (2)若，求x的值 (3)a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)5；4 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的新定义运算及绝对值的化简，解题的关键是根据新运算的定义进行计算和化简． （1）根据新运算“※”与“◎”的定义，分别代入相应数值进行计算； （1）根据新运算“※”与“◎”的定义，分别代入相应数值，再通过移项等方法求解未知数； （3）在化简含有绝对值的式子时，根据数轴判断绝对值内式子的正负，再根据新运算的定义，去掉绝对值符号化简． 【详解】（1）解：根据，可得， 根据，可得， 故答案为：5，4； （2）解：， 则， 移项可得， 解得：； （3）由数轴可知， ，， 根据， 可得， 原式=， ． 3．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期末）（1）基础回顾：数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是_______；表示有理数和5两点之间的距离是_______． （2）新定义：一般的，在数轴上有一个点A，另一个点B到这个点的距离叫做栋梁距离，则点B叫做点A在该栋梁距离时的求知点，点B对应的数叫做求知数．例如．数轴上表示2的点，在栋梁距离为3时对应的求知数为和5，在栋梁距离为1时对应的求知数为1和3，在栋梁距离为0时对应的求知数是2． 请根据定义回答下列问题： ①数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是_______． ②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是_______； 学以致用： ③在数轴上，点A是点C在栋梁距离为m时的求知点，有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由． ④若将③中的语句改成：在数轴上，点A与点C的距离为m，点B与有理数m对应的点的距离为6，是否存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件？若存在，求出点B对应的数；若不存在，请说明理由．请问，③的结论___________（填一定成立或不一定成立或一定不成立） 【答案】（1）4；8；（2）①2或4；②；③是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6；④是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6 【分析】本题主要考查了新定义，数轴上两点间的距离： （1）根据数轴上两点间的距离，即可求解； （2）①根据新定义，即可求解；②根据新定义，即可求解；③设点C表示的数为x，则点A表示的数为或，设点B表示的数为y，根据新定义，可得或，从而得到点A表示的数为或或或，然后根据对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，可得点A表示的数的4种情况中，有2个相同，然后分类讨论，即可求解；④设点C表示的数为a，则点A表示的数为或，设点B表示的数为b，根据数轴上两点间的距离，可得点B与有理数m对应的点的距离为6，从而得到或，进而得到点A表示的数为或或或，再由对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，可得点A表示的数的4种情况中，有2个相同，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是； 表示有理数和5两点之间的距离是； 故答案为：4；8 （2）①∵到数轴上表示有理数3的点的距离为1的点表示的数为2或4， ∴数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是2或4； 故答案为：2或4 ②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是； 故答案为： ③设点C表示的数为x，则点A表示的数为或， 设点B表示的数为y， ∵有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点， ∴或， 即或， ∴或， 或， 即点A表示的数为或或或， ∵对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件， ∴点A表示的数的4种情况中，有2个相同， ∵与不相等，与不相等， 当时，； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6； ④设点C表示的数为a，则点A表示的数为或， 设点B表示的数为b， ∵点B与有理数m对应的点的距离为6， ∴或， 即或， ∴或， 或， 即点A表示的数为或或或， ∵对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件， ∴点A表示的数的4种情况中，有2个相同， ∵与不相等，与不相等， 当时，； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时不符合题意，舍去； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，是存在唯一的点B，使得对于数轴上每一个确定的点C，数轴上有且只有三个点A满足条件，此时点B对应的数为6． 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】（24-25七年级上·吉林·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值的性质、有理数的乘法．先利用数形结合思想可以直观的比较有理数的大小，再利用绝对值的性质即可巧妙的化简含有绝对值的式子．正确去掉绝对值是解本题的关键所在． （1）由数轴知，，从而得出； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得：， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，其对应的数分别为、、．已知． (1)求、、的值； (2)一动点在数轴上且在、两点间运动（点不与点、重合），点对应的数为，请化简； (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动，同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动．点为的中点，点为的中点，设运动时间为，求为何值时． 【答案】(1)；2；4 (2)16 (3) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值及方程、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长， （1）由绝对值非负性可得答案； （2）首先确定x的范围，再化简绝对值即可; （3）用含t的代数式表示表示的数，再根据列方程可得答案； 【详解】（1）解：∵ ∴，， ，，； （2）解：由题意得：， ∴，， ∴ ； （3）运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为 ∵ 点为的中点，点为的中点 ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴， ∵， ∴，即或， 解得：或（不合题意，舍去） 答：当时，. 3．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【答案】（1）x，4；（2）6；（3）或5；（4） 【分析】（1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （3）结合（2）中的讨论过程，且，即可作答 （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）结合（2）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即即 所以，则或5； （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，， 那么． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级上·四川达州·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A，B两点之间的距离表示为│AB│.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a−b|； 当A、B两点都不在原点时， ①如图2,点A、B都在原点的右边,|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=b−a=|a−b|； ②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=−b−(−a)=a−b=│a-b│； ③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=-b+a=|a−b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a−b|. （1）回答下列问题： ①数轴上表示3和9的两点之间的距离是______，数轴上表示−5和−9的两点之间的距离是______，数轴上表示10和−3的两点之间的距离是______； ②数轴上表示x和−4的两点A和B之间的距离为______，如果|AB|=6，那么x为______； ③当代数式|x+2|+|x−3|取最小值______时，相应的x的取值范围是______. （2）a、b在数轴上位置如图所示，请化简式子│a+1│-│2b-2│-│a+b│ 【答案】（1）①6，4，13；②，2或-10；③5，-2≤x≤3；（2）3b-3. 【分析】（1）①根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a−b|即可得答案；②根据数轴上两点间的距离公式解答即可；③|x+2|+|x−3|可表示某点到表示-2和3的点的距离的和，可得这一点表示的数在-2和3之间时，|x+2|+|x−3|取最小值，根据绝对值的性质化简即可得答案；（2）由数轴可得a<-1，0<b<1，即可判断a+1、2b-2、a+b的符号，根据绝对值的性质化简即可得答案. 【详解】（1）①数轴上表示3和9的两点之间的距离是=6， 数轴上表示−5和−9的两点之间的距离是=4， 数轴上表示10和−3的两点之间的距离是=13， 故答案为6，4，13 ②数轴上表示x和−4的两点A和B之间的距离为=， ∵=6， ∴x+4=6或x+4=-6， ∴x=2或x=-10， 故答案为，2或-10 ③∵代数式|x+2|+|x-3|可看作数轴上某点到表示-2和3的点的距离之和， ∴当该点表示的数在-2和3之间时，|x+1|+|x+2|取最小值． ∴-2≤x≤3． ∴x+2≥0，x-3≤0， ∴|x+2|+|x-3|=x+2-(x-3)=x+2-x+3=5 ∴当代数式|x+2|+|x−3|取最小值5时，相应的x的取值范围是-2≤x≤3． 故答案为5，-2≤x≤3 （2）由数轴可知a<-1，0<b<1， ∴a+1<0，b-1<0，a+b<0， ∴│a+1│-│2b-2│-│a+b│ =-(a+1)+(2b-2)+(a+b) =3b-3. 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式及绝对值的性质，充分利用数形结合的思想并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键. 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，同时考查了绝对值的几何意义．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 根据数轴左边的数小于右边的数以及绝对值的几何意义即可解答． 【详解】解：根据实数、、在数轴上的位置可以得知：， 根据实数、在数轴上与原点的距离大小可知：． 则A、B、C错误，D正确， 故选：D． 2．（2025·北京·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值和相反数．有理数的乘法和加法，掌握相关知识点是解题关键．由数轴可知，，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，，，， ， A、B、C选项错误， 故选：D． 3．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 5．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 【答案】B 【分析】本题考查绝对值方程，代数式求值；根据绝对值的性质计算可得x的值，可对A选项进行判断；根据绝对值的性质去绝对值计算可对B选项进行判断；根据绝对值的几何意义可对C选项进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出x，y的值，可对D选项进行判断；综上即可得答案． 【详解】解：A、若，则， ∴或，故本选项错误； B、， 当时，，故本选项正确； C、， ∵当时，由最小值， ∴取得最小值时，y的取值范围是，故本选项错误； D、若，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故本选项错误． 故选：B 6．（24-25七年级上·北京海淀·阶段练习）a和b互为相反数，并且它们的绝对值最小，则 ， ． 【答案】 0 0 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义．根据相反数和绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵a和b互为相反数， ∴， ∵它们的绝对值最小，, ∴， ∴，， 故答案为：0，0． 7．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了化简绝对值，绝对值的意义，结合绝对值的性质判断①④；根据绝对值的意义判断②，运用分类讨论思想逐个分析化简绝对值，即可判断③，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，故①正确； ∵数轴上到原点距离相等的两个点； ∴这两个点对应的数的绝对值相等， ∴数轴上到某点距离相等的两个点对应的数不一定相等；故②错误； ③∵， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴当时，则； 则或，故③正确； ∵， ∴数到数的距离等于数到数的距离， 则当时，．故④错误； 故答案为：①③． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【分析】（1）根据，，，得解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 9．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想． 根据两点之间的距离和绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，， 的最小值为7， 故答案为：7． 10．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点A、C分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，．    ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点C表示的数是 ． 【答案】 三 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意． ①分别求出每次滚动后点A离原点的距离，然后再进行判断即可； ②根据滚动情况求出三角形结束滚动时，点C表示的数即可． 【详解】解：①第一次滚动后，点A表示的数为：， 第二次滚动后，点A表示的数为：， 第三次滚动后，点A表示的数为：， 第四次滚动后，点A表示的数为：， 第五次滚动后，点A表示的数为：， ∴第三次滚动后，点A离原点最远； 故答案为：三； ②第一次滚动后，点C表示的数为：， 第二次滚动后，点A表示的数为：， 第三次滚动后，点A表示的数为：， 第四次滚动后，点A表示的数为：， 第五次滚动后，点A表示的数为：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2)3或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 12．（24-25七年级上·全国·阶段练习）2024年6月15 日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O，完成下表： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 距点O的距离 提示∶向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定∶向东为正，向西为负 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的乘法，以及绝对值的意义，根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：法国球星姆巴佩以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 13．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 如图2．已知数轴上两点，表示的数分别为，6． (1)两点间的距离为________； (2)表示的是到________的距离； (3)①当时，代数式取得最小值为________； ②当________时，代数式的最小值为2； ③代数式的最小值为________； (4)点表示的数是4，点以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动．点同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，但点到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动．设点运动的时间为，在此过程中存在使得点到点的距离等于2，请求出的值． 【答案】(1)8 (2) (3)①8；②或；11 (4)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据两点之间距离的定义求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）分情况讨论，当时或当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：表示的是到的距离， 故答案为：； （3）解：①当时，有最小值，即， 故答案为：8； ②表示到的距离和到6的距离的和， 当代数式的最小值为2时，即到6的距离为2， 可得 解得或， 故答案为：或； ③表示到的距离，到6的距离，到9的距离的和， 则当时，有最小值，即， 故答案为：11； （4）解：点表示的数为，， 当时，即点还未返回时，点表示的数为， ， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， 当时，即点返回后，点表示的数为， ， 解得或． 综上，或． 15．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）某数学兴趣小组的同学类比绝对值的几何意义的学习，对数轴上两点之间的距离展开了进一步的探究学习． 【特例感知】 （1）结合数轴和绝对值的知识将下表补充完整． 在数轴上点表示的数 2 4 4 … 在数轴上点表示的数 0 0 1 5 … ，两点之间的距离 ① ② … ①________________，②________________； 【总结归纳】 （2）观察上表：在数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离可以表示为________； 【拓展应用】 （3）利用你发现的结论，结合数轴和绝对值的知识解决下列问题： ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离； ②根据等式的几何意义，求的值； ③式子表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7，请直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）①4；或；③或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）根据数轴知识和绝对值的定义解答； （2）根据数轴知识和绝对值的定义解答； （3）利用（1）（2）得出的规律以及数轴知识，绝对值的定义解答． 【详解】解：[特例感知]①；②； 故答案为：①；②； [总结归纳] 在数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离可以表示为； 故答案为：； [拓展应用] ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数4的点之间的距离； 故答案为：4； ②的意义是表示数的点到表示数的点的距离是5， ∴或， ∴的值是3或； ③∵表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7， ∴数轴上表示数的点在表示数3的点的右边或在表示数的点左边， ∴，解得； 或， ，解得； ∴符合条件的x的值是4或． 学科网（北京）股份有限公司 $$专题05 绝对值的几何意义(最值问题)与化简专训(8大题型+15道拓展培优题) 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简的新定义问题 题型八 绝对值化简问题综合 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 目的是在数轴上找一点x,使x到a和b的距离和的最小值: 分类情况(的取值范围) 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值,即为 当 无法确定 结论:式子在时,取得最小值为. 【例1】(25-26七年级上 全国 课后作业)所有绝对值小于20的整数的和为( ) A.190 B.95 C.1 D.0 1.(24-25七年级上 湖北十堰 期中)已知,那么的最大值与最小值的和等于( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 全国 课后作业)若,则的最大值为 . 3.(24-25七年级上 福建泉州 期中)设是八个不同的正整数,取值于.记,则S的最大值为 4.(24-25七年级上 河北唐山 阶段练习)数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础,我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离,即,也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离. 阅读下面材料: 点A、B在数轴上分别表示数a、b,A、B两点之间的距离表示为. 当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,; 当A、B两点都不在原点时, ①如图2,点A、B都在原点的右边,; ②如图3,点A、B都在原点的左边,; ③如图4,点A、B在原点的两边,. 综上,数轴上A、B两点之间的距离 (1)回答下列问题: ①数轴上表示3和的两点之间的距离是 , 数轴上表示和的两点之间的距离是 , 数轴上表示2和的两点之间的距离是 ; ②数轴上表示x和的两点之间的距离4,那么x的值是 ; (2)深入探究: ①请你在草稿纸上画出数轴,当表示数x的点在与之间移动时,的值总是一个固定的值为 . ②若|有最小值,则最小值是 . 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 目的是在数轴上找一点x,使x到a和b的距离差的最大值和最小值: 分类情况(的取值范围) 图示 取值情况 当时 的值为定值,即为— 当时 当 的值为定值,即为 结论:式子在时,取得最小值为;在时,取得最大值. 【例2】(24-25七年级上 江苏扬州 期中)设,则的最大值是( ) A. B. C. D. 1.(24-25七年级上 内蒙古巴彦淖尔 阶段练习)如果x为有理数,式子存在最大值,那么这个最大值是( ) A.2024 B.4048 C.20 D.0 2.(24-25七年级上 四川成都 期中)若的最小值记为,的最大值记为,则 . 3.(24-25七年级上 广东深圳 期中)在解决数学实际问题时,常常用到数形结合思想,比如:的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离,的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离,那么的最大值是 . 4.(24-25七年级上 江苏宿迁 阶段练习)数学实验室:点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,A、B两点之间的距离表示为,在数轴上A、B两点之间的距离. 利用数形结合思想回答下列问题: (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 . (2)若,则 . (3)若x表示一个有理数,则的最小值 . (4)若x表示一个有理数,当x为 ,式子有最小值为 . (5)最大值为 ,最小值为 . 【经典例题三 多个绝对值的和的最值】 最小值规律: ①当有两个绝对值相加: 若已知,的最小值为,且数的点在数,的点的中间; ②当有三个绝对值相加: 若已知,的最小值为,且数的点与数的点重合; ③当有(奇数)个绝对值相加: ,且,则取中间数,即当时,取得最小值为; ④当有(偶数)个绝对值相加: ,且,则取中间段, 即当时,取得最小值为. 【例3】(24-25七年级上 重庆渝中 期末)已知,,若,则x的最大值与最小值的乘积为( ) A. B. C.6 D.24 1.(24-25七年级上 广东广州 期中)设个有理数满足,且,则的最小值是( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 浙江嘉兴 阶段练习)如图,四个相邻的整数对应数轴上的点,数对应数轴上的点,则的最小值为 . 3.(24-25七年级上 湖北恩施 阶段练习)若代数式,则的最小值是 . 4.(24-25七年级上 安徽安庆 阶段练习)观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离:4与,3与5,与,与3,回答问题: (1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是 ; (2)若数轴上的点A表示的数为,点B表示的数为,则A与B两点间的距离可以表示为 ; (3)结合数轴可得的最小值为 ; (4)若关于的方程无解,则的取值范围是 . 【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】 【例4】(24-25七年级上 江苏南通 阶段练习)阅读:表示5与之差的绝对值,也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索: (1)数轴上表示5与两点之间的距离是_. (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为_. (3)请你找出所有符合条件的整数x,使得,这样的整数是_. (4)由以上探索猜想的最小值是_,此时x的值为_. (5)借助继续探索的最大值为_. 1.(24-25七年级上 湖南邵阳 期末)如图1数轴上A、B两点表示的有理数分别为a,b则A、B两点间的距离. 研讨1:某高铁线路上有A、B两站,现要在AB段上选址物流中心M,使最短,M选在哪? 甲的探究:由绝对值的几何意义,M应选在A、B之间时,才最短. 研讨2:如图2高铁线路上有A、B、C三站,如何选址物流中心M.使最短? 乙的探究:物流中心M应选在C站,才最短. 研讨3:如图3高铁线路上有A、B、C、D四站,M选在哪,才使得最短? 丙的探究:M应选在C、D之间,最短. 根据以上探究结论求的最小值. 2.(24-25七年级上 安徽蚌埠 期中)定义:把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作.可以理解为. 【运用】 (1)若,则_; 【拓展】根据的几何意义,式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离;式子,所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离. (2)式子的几何意义为_; (3)求的最小值. 3.(24-25七年级上 湖北武汉 阶段练习)已知数轴上A、B两点表示的数分别为a,b,且a,b满足. (1)_,_,点A,点B之间的距离长为_;(直接写出来) (2)若点M以每秒3个单位的速度从点A出发向正方向运动,同时点N以每秒1个单位的速度从点B出发向正方向运动,经过多少秒,点M,点N之间的距离为2个单位? (3)【问题背景】:已知可理解为数轴上表示数a、b的点之间的距离,可以理解为数轴上表示数a的点到表示数b,c的点的距离之和. 【解决问题】:①若点P在数轴上表示的数为x.则的最小值是_; 【问题拓展】:②若,则的最大值为_. 4.(24-25七年级上 广东广州 期中)阅读理解:数轴上表示有理数的点到原点O的距离,叫做这个有理数的绝对值.例如:,它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离;另外观察数轴,容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度,所以(如图1).同样的,数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示.例如:数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示;观察数轴,容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度,从而得到:(如图2). 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法.请你根据以上学到的方法完成下列任务解答: (1)填空:数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为_; (2)若,求所表示的有理数. (3)设点在数轴上表示的有理数是,借助数轴解答下列问题: ①代数式有最小值吗?有最大值吗?若有,请求出相应的最值. ②若,求的值. 【经典例题五 已知范围的绝对值化简】 已知范围的绝对值化简步骤: ①判断绝对值符号里式子的正负; 两数相减:大的数-小的数>0,转化到数轴上:右-左>0;小的数-大的数<0,转化到数轴上:左-右<0. 两数相加:正数+正数>0,转化到数轴上:原点右侧两数相加>0; 负数+负数<,转化到数轴上:原点左侧两数相加<0; 正数+负数:取绝对值较大数的符号,转化到数轴上:原点两侧两数相加,取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号: 若正数,绝对值前的正负号不变(即本身);若负数,绝对值前的正负号改变(即相反数). ③去括号:括号前是“+”,去括号,括号内不变;括号前是“-”,去括号,括号内各项要变号. ④化简. 【例5】(24-25七年级上 陕西咸阳 期中)如图所示,已知有理数,,在数轴上位置如图所示,化简式子的值为( ) A. B. C. D. 1.(2025 重庆 模拟预测)对于整式:、、、、,在每个式子前添加“”或“”号,先求和再求和的绝对值,称这种操作为“全绝对”操作,并将绝对值化简的结果记为.例如:,当时,;当时,,所以或.下列相关说法①至少存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数;②若一种“全绝对”操作的化简结果为(为常数),则;③所有可能的“全绝对”操作后的式子化简后有32种不同的结果.正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(24-25七年级上 四川泸州 期末)若,则化简的结果为 . 3.(24-25七年级上 北京 期中)填空(直接写出答案) (1) ; (2) ; (3) ;(n为正整数) (4)若a、b都是非零的有理数,那么的值是 ; (5)若a、b都是有理数,,化简 . 4.(2025七年级上 浙江 专题练习)点、在数轴上分别表示实数、、、两点之间的距离表示为,在数轴上、两点之间的距离.利用数轴,根据数形结合思想,回答下列问题: (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ,数轴上表示1和的两点之间的距离为 ; (2)数轴上表示和1两点之间的距离为 ,数轴上表示和两点之间的距离为 (3)若表示一个实数,且,化简; (4)的最小值为 , 【经典例题六 未知范围的绝对值化简】 绝对值的性质:①正数的绝对值是它本身,即; ②0的绝对值是0,即;③负数的绝对值是它的相反数,即;④绝对值具有非负性,即. 【例6】(24-25七年级上 重庆长寿 期中)对于若干个数,先将每两个数作差,再将这些差的绝对值进行求和,这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”,例如,对于1,2,3进行“差绝对值运算”,得到:. ①对2,,5,9进行“差绝对值运算”的结果是39; ②,,6的“差绝对值运算”的最小值是9; ③,,的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种; 以上说法中正确的个数为( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 1.(24-25七年级上 重庆 期末)在整式,,前添加“”或“”,先求和,再求和的绝对值的操作,称为“优绝对值”操作,将操作后的化简结果记为M.例如: ,则,当时,M的化简求值结果为:.下列说法正确的个数为( ) ①至少存在一种“优绝对值”操作,使得操作后的化简结果为常数; ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简,共有8种不同的结果; ③在所有可能的“优绝对值”操作中,若操作后的化简求值的结果为17,则满足条件的a有且只有一个,此时. A.0 B.1 C.2 D.3 2.(24-25七年级上 重庆忠县 阶段练习)已知有理数在数轴上的对应点如图所示,化简: . 3.(24-25七年级上 辽宁沈阳 期末)对于整式:,在每个式子前添加“+”或“﹣”号;先求和再求和的绝对值,称这种操作为“全绝对”操作,并将绝对值化简的结果记为M.例如,若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数,则此常数= . 4.(24-25七年级上 广东深圳 阶段练习)【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”,它们在一定条件下可以相互转化,这样的联系称为数形结合.数形结合是一种重要的数学思想方法,有着广泛的应用,在中学数学阶段,数形结合应用大致分为两种情形:借助数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系. 我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是:表示在数轴上数a到原点的距离.借助绝对值的形的解释,我们就可以得到.又比如从数的角度来解释:表示7与3差的绝对值;从形的角度来解释:7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离. 【分析应用】如图1,A、B是数轴上两点(A在B的左侧),A表示的数是.动点M从点A出发,以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动. (1)B点表示的数是 ,A和B两点之间的距离为 ; (2)①从形的角度来解释:5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离; ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为 ; ③当a为 时,. (3)若动点M在A和B两点之间运动,其对应数的为,化简:(写出化简过程). (4)若动点N从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若M、N同时出发,问点M运动多少秒时,M、N相距1个单位长度? 【经典例题七 绝对值化简的新定义问题】 【例7】(24-25七年级上 江苏连云港 阶段练习)(1)对于有理数a,b,定义一种新运算””,规定ab=.计算:2(﹣3)的值; (2)若=1,b=3,求a+b的值. 1.(24-25七年级上 甘肃张掖 期中)定义新运算:满足. (1)计算的值; (2)当,,化简. (3)若,求第(2)问中的值. 2.(24-25七年级上 湖南湘潭 期末)对于有理数a,b,定义两种新运算“※”与“ ”,规定:,,例如,,. (1)填空:_;_. (2)若,求x的值 (3)a,b在数轴上的位置如图所示,化简. 3.(24-25七年级上 辽宁葫芦岛 期中)在学习完“有理数的加法”后,小米同学对运算产生了浓厚的兴趣.借助有理数运算的学习经验,自主探究新定义运算. 小米设计一种新运算“”,即对任意有理数a,b,满足如下规律:,称此种运算为“绝佳”运算. 例如,;(2). 【探究一:两个数“绝佳”运算】 (1)填空:①_;②_; ③_;④_; 通过上面的计算结果,请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律?若不满足,请举出反例(举一个反例即可); (2)①若,则_;②若,则_; 【探究二:三个数“绝佳”运算】 (3)小米同学想类比有理数的加法结合律,判断“绝佳”运算是否满足结合律. 请你帮助她验证等式是否成立,并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律. 4.(24-25七年级上 陕西西安 期末)(1)基础回顾:数轴上表示有理数1和5的两点之间的距离是_;表示有理数和5两点之间的距离是_. (2)新定义:一般的,在数轴上有一个点A,另一个点B到这个点的距离叫做栋梁距离,则点B叫做点A在该栋梁距离时的求知点,点B对应的数叫做求知数.例如.数轴上表示2的点,在栋梁距离为3时对应的求知数为和5,在栋梁距离为1时对应的求知数为1和3,在栋梁距离为0时对应的求知数是2. 请根据定义回答下列问题: ①数轴上表示有理数3的点在栋梁距离为1时对应的求知数是_. ②数轴上表示有理数的点在栋梁距离为0时对应的求知数是_; 学以致用: ③在数轴上,点A是点C在栋梁距离为m时的求知点,有理数m对应的点是点B在栋梁距离为6时的求知点,是否存在唯一的点B,使得对于数轴上每一个确定的点C,数轴上有且只有三个点A满足条件?若存在,求出点B对应的数;若不存在,请说明理由. ④若将③中的语句改成:在数轴上,点A与点C的距离为m,点B与有理数m对应的点的距离为6,是否存在唯一的点B,使得对于数轴上每一个确定的点C,数轴上有且只有三个点A满足条件?若存在,求出点B对应的数;若不存在,请说明理由.请问,③的结论_(填一定成立或不一定成立或一定不成立) 【经典例题八 绝对值化简问题综合】 【例8】(24-25七年级上 吉林 期末)有理数a、b、c在数轴上的位置如图. (1)判断正负,用“”或“”填空: 0, 0, 0, 0. (2)化简下面的代数式. 1.(24-25七年级上 四川成都 期中)请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题: (1)有理数、、在数轴上的位置如图,化简:. (2)请你找出所有符合条件的整数,使得. (3)若、为非负整数,且,求、的值. 2.(24-25七年级上 重庆 期中)如图,已知点、、是数轴上三点,其对应的数分别为、、.已知. (1)求、、的值; (2)一动点在数轴上且在、两点间运动(点不与点、重合),点对应的数为,请化简; (3)若点以每秒1个单位长度的速度在数轴上从点出发向右运动,同时点以每秒2个单位长度的速度在数轴上从点出发也向右运动.点为的中点,点为的中点,设运动时间为,求为何值时. 3.(24-25七年级上 云南昆明 阶段练习)阅读与理解: 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换,充分发挥各自优势解决问题,同学们都知道,表示x与2的差的绝对值,可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;同理,可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和. 【举一反三】 (1)可理解为_与_在数轴上所对应的两点之间的距离; 【问题解决】 (2)请你结合数轴探究:的最小值是_; (3)若,则_; 【拓展应用】 (4)已知a,b两个数在数轴上的位置如图所示,化简:_. 4.(24-25七年级上 四川达州 期中)阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A,B两点之间的距离表示为 AB .当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a−b|; 当A、B两点都不在原点时, ①如图2,点A、B都在原点的右边,|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=b−a=|a−b|; ②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|−|OA|=|b|−|a|=−b−(−a)=a−b= a-b ; ③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=-b+a=|a−b|;综上,数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a−b|. (1)回答下列问题: ①数轴上表示3和9的两点之间的距离是_,数轴上表示−5和−9的两点之间的距离是_,数轴上表示10和−3的两点之间的距离是_; ②数轴上表示x和−4的两点A和B之间的距离为_,如果|AB|=6,那么x为_; ③当代数式|x+2|+|x−3|取最小值_时,相应的x的取值范围是_. (2)a、b在数轴上位置如图所示,请化简式子 a+1 - 2b-2 - a+b 1.(24-25七年级上 辽宁抚顺 阶段练习)实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 2.(2025 北京 模拟预测)实数在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( ) A. B. C. D. 3.(24-25七年级上 北京 期中)若,且,,,……,,这个数中有个正数,则的值为( ) A. B. C. D. 4.(2025七年级上 全国 专题练习)我们知道,的几何意义是:数轴上表示数的点到原点的距离,可以理解为,进一步地,数轴上,表示数的点到表示数的点的距离可以用表示,例如:表示和的两点之间的距离是.根据绝对值的几何意义,当取最小值时,求出所有满足条件的整数有( )个 A. B. C. D. 5.(24-25七年级上 贵州遵义 期末)规定:,如,下列结论中正确的是 ( ) A.若则的值为8或2 B.若则 C.若取得最小值时,则的取值范围为 D.若则 6.(24-25七年级上 北京海淀 阶段练习)a和b互为相反数,并且它们的绝对值最小,则 , . 7.(24-25七年级上 贵州贵阳 期中)下列说法:①,则;②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等;③,则;④,则.正确的有 (填序号). 8.(24-25七年级上 安徽合肥 阶段练习)是双重绝对值运算,运算顺序是先求的差的绝对值,再求与差的绝对值的差的绝对值.求: (1)若,,,的最小值为 . (2)若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算,如果最大值为18,则最小值为 9.(24-25七年级上 河南洛阳 期末)数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,数形结合是解决数学问题的重要思想方法,例如:代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离;因为,所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离.请结合数轴探究,当表示数x的点在数轴上移动时,代数式的最小值为 . 10.(24-25七年级上 广东广州 期中)已知等边三角形在数轴上的位置如图所示,顶点A、C分别对应的数为0、.将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动(滚动一圈指线段再次落在数轴上),向右滚动的圈数记为正数,向左滚动的圈数记为负数,每次滚动情况依次记录如下:,,,,. ①第 次滚动后,点A离原点最远; ②当三角形结束滚动时,点C表示的数是 . 11.(24-25七年级上 广东惠州 阶段练习)若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值为2. (1)直接写出的值; (2)求的值. 12.(24-25七年级上 全国 阶段练习)2024年6月15 日将在德国举行第17届欧洲杯,法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯,沿一条东西方向的跑道,以每秒钟9米的速度向东跑.记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O,完成下表: 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 距点O的距离 提示∶向东和向西行进的速度都是具有方向的量,如果我们规定∶向东为正,向西为负 13.(24-25七年级上 广东广州 期中)数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形进行完美地结合,研究数轴我们发现了很多重要的规律,如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、,那么、两点之间的距离表示为.例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为. (1)已知数轴上点表示的数为,点表示数为,则线段的长度是_. (2)表示任意一个有理数,利用数轴回答下列: 若,求的值;的最小值是多少,这时候的取值范围. 14.(24-25七年级上 广东深圳 期中)数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 材料分析:如图1,已知数轴上两点,.则两点距离为两数差的绝对值,即 如:1到3的距离为两数差的绝对值,即;到3的距离为两数差的绝对值,即. 根据以上思想,完成下题 如图2.已知数轴上两点,表示的数分别为,6. (1)两点间的距离为_; (2)表示的是到_的距离; (3)①当时,代数式取得最小值为_; ②当_时,代数式的最小值为2; ③代数式的最小值为_; (4) 点表示的数是4,点以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动.点同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动,但点到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动.设点运动的时间为,在此过程中存在使得点到点的距离等于2,请求出的值. 15.(24-25七年级上 河南洛阳 期中)某数学兴趣小组的同学类比绝对值的几何意义的学习,对数轴上两点之间的距离展开了进一步的探究学习. 【特例感知】 (1)结合数轴和绝对值的知识将下表补充完整. 在数轴上点表示的数 2 4 4 … 在数轴上点表示的数 0 0 1 5 … ,两点之间的距离 ① ② … ①_,②_; 【总结归纳】 (2)观察上表:在数轴上点,表示的数分别为,,则,两点之间的距离可以表示为_; 【拓展应用】 (3)利用你发现的结论,结合数轴和绝对值的知识解决下列问题: ①式子的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与表示数_的点之间的距离; ②根据等式的几何意义,求的值; ③式子表示数轴上表示数的点与表示数3的点和表示数的点距离之和为7,请直接写出符合条件的的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$