专题03 绝对值与相反数重难点题型专训（6个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+8大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 求一个数的绝对值 题型四 绝对值的非负性 题型五 绝对值的几何意义 题型六 绝对值的其他应用 题型七 有理数的大小比较 题型八 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题 拓展训练四 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）一个数的前面加上一个“”号，就可以得到一个（    ） A．负数 B．非正数 C．正数或零 D．原数的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【详解】解：一个数前面加一个“”，就可以得到原数的相反数， 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）的相反数是 ． 【答案】π 【分析】此题考查了相反数，正确掌握定义是解题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 直接利用相反数的定义得出答案． 【详解】解：的相反数是π． 故答案为：π． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟知化简多重符号的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业） ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和多重符号化简，掌握相反数的定义是解答本题的关键．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可， 【详解】解：；；． 故答案为：；；． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值．根据负数的绝对值是它的相反数，得出的绝对值是3． 【详解】解：的绝对值是3． 故选：D． 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）有理数的绝对值等于 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义即可解答． 本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的性质和已知条件，去掉绝对值即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南保山·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的定义和计算，熟练掌握定义和计算法则是解题的关键．本题根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】C 【分析】直接根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故a+1一定是非负数， 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 2．（24-25七年级上·广东广州·开学考试）已知，则的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南昭通·期中）在羽毛球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的应用．根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：D． 2．（2025·云南·模拟预测）写出绝对值小于4的一个负数 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，以及绝对值的意义，是基础知识，非常简单．根据绝对值的概念：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，得出答案，答案不唯一． 【详解】解：， 绝对值小于4的一个负数是． 故答案为：． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 1．（24-25七年级上·河南濮阳·期末）如图，的相反数在数轴上对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数，先根据相反数的定义求出的相反数是，然后结合数轴即可求解，掌握相反数的定义，正确理解数轴上表示有理数是解题的关键． 【详解】解：∵的相反数是， ∴在数轴上对应的点是， 故选：． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的，根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是相反数”即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵有理数与互为相反数， ∴ 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）的相反数是______，的相反数是_______； （2）的相反数是______，的相反数是_____； （3）的相反数是_______． A． B． C． D． 【答案】（1），；（2），；（3）C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数列式整理即可得解． 【详解】解：（1）的相反数是，的相反数是； 故答案为：，； （2）的相反数是，的相反数是； 故答案为：，； （3）的相反数是． 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·课堂例题）如图，图中数轴的单位长度为1．    (1)如果点A，B表示的数互为相反数，请在图①中标出原点O的位置，并指出点C表示的数是多少； (2)如果点D，B表示的数互为相反数，请在图②中标出原点O的位置，并指出点C，D表示的数分别是多少． 【答案】(1)见解析，点表示的数是 (2)见解析，点C表示的数是0.5，点D表示的数是 【分析】（1）根据点A，B表示的数互为相反数，得出原点在线段的中点上，然后得出点C表示的数即可； （2）根据点D，B表示的数互为相反数，得出原点在线段的中点上，然后得出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）解：原点的位置如图①所示．点表示的数是．    （2）解：原点O的位置如图②所示．点C表示的数是0.5，点D表示的数是．    【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是数形结合，熟练掌握相反数的定义． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数等知识，化简多重符号，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 【详解】解：， 故选：B． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习） ， 【答案】 2 【分析】根据多重符号化简，即可解答； 【详解】；；． 故答案为：；；2． 【点睛】该题主要考查了多重符号化简，解题的关键是熟练掌握多重符号化简． 3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 4．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①；②，规律见详解 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【经典例题三 求一个数的绝对值】 【例3】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知，那么的最小值是（   ） A． B． C．0 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，正确得出是解题的关键； 根据绝对值的特点可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值是0； 故选：C． 1．（24-25七年级上·重庆江北·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，化简绝对值．理解题意，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 根据题意求①，然后判断即可；根据题意知，，计算求解，可判断②，根据，分情况求解，然后判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对1，，3进行“F运算”的结果是不是8；①错误，故不符合要求； 由题意知，， 解得，，②错误，故不符合要求； 由题意知，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能有6种不同的表达式，③正确，故符合要求； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如果，那么 ；如果 ，那么 ． 【答案】 3 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， ； ， ， ， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值 ； ② ； [知识应用] （2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝ ，y＝ ，若x＜y，则x﹣y＝ ． 【答案】（1）①相等；②互为相反数的两个数的平方相等；（2）±7，±3，或 【分析】（1）①根据绝对值的运算性质即可判断； ②根据运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）①相等； 理由：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是本身； ②互为相反数的两个数的平方相等； 理由：根据平方的非负性即可得出结论； 故答案为：相等，互为相反数的两个数的平方相等； （2）， 由（1）知：， ； ， 由（1）知：， ， 若， 当， ， 当， ， 故答案为：，，或． 【点睛】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示，点、点在数轴上，点表示，点表示，点表示． (1)点表示______，点表示______； (2)在数轴上表示出点，点，点； 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值，解决本题的关键是掌握以上知识． （1）根据数轴上的点表示的数即可得结果； （2）求出绝对值，化简多重符号，在数轴上表示出点表示的数即可； 【详解】（1）解：由数轴可得，点表示的数是，点表示的数是3； 故答案为：；3． （2），， 在数轴上表示出点、和点，如下图所示： 【经典例题四 绝对值的非负性】 【例4】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的代数意义或绝对值的非负性解题． 【详解】解：【方法1】 正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，由此可知，当时，，即．选B． 【方法2】 任何数的绝对值都是非负数，即． ∵， ∴，即． 故选B． 【点睛】绝对值的非负性是指在中，无论a是正数、负数或者0，都是非负数（正数或0）．这样的非负数我们在后面的学习中会陆续接触到．绝对值的非负性主要应用在解决“若几个非负数的和为零，则这几个非负数都是0”等问题上． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若，则的值是 ． 【答案】5 【分析】直接利用非负数的性质求得a，b的值，进而得到 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； ∴ 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，能够利用非负数的性质解决问题是关键 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据偶次方及绝对值的非负性，列方程即可求得、的值，又根据是最大的负整数知道的值是，再代入即可求得代数式的值． 【详解】∵，，， ∴，， 解得，， ∵是最大的负整数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了偶次方及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用偶次方及绝对值的非负性是解题的关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得，． 【经典例题五 绝对值的几何意义】 【例5】（24-25七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）若、为正整数，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程；根据题意得出，，结合、为正整数，即可求解． 【详解】解：∵表示数轴上表示数的点到和的距离的和，则， ∴表示数轴上表示数的点到和的距离的和，则， ∵，则或 ①当时，则， 当时，，解得：（舍去） 当时，不合题意， ②当时，则， 当时，，解得： 当时，，解得：（舍去） 由，当时，都成立，又∵为正整数，则， 综上所述，， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如果．那么 ，如果那么 ，如果那么 ． 【答案】 0 大于等于0 【分析】此题考查了绝对值意义．正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0，据此进行解答即可． 【详解】解：如果．那么， 如果那么， 如果那么大于等于0． 故答案为：，0，大于等于0 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)有最小值，最小值为4 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）将改写成规定形式：，再根据绝对值的几何意义求解； （2）将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴，分类讨论求解； （3）的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴分析求解即可． 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下： 就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现： 当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4， 所以有最小值，最小值为4． 【经典例题六 绝对值的其他应用】 【例6】（24-25七年级上·吉林长春·期中）若，则m的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义计算即可． 【详解】解：由题意得， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，熟知绝对值的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级·全国·阶段练习业）若x的相反数是2，|y|＝5，且x+y＜0，则x﹣y的值是（　　） A．3 B．3或﹣7 C．﹣3或﹣7 D．﹣7 【答案】A 【分析】根据题意，结合 x+y<0 ，求出x、y的值，然后求出答案． 【详解】解：∵﹣2的相反数是2， ∴x＝﹣2． ∵|y|＝5， ∴y＝±5． ∵x+y＜0， ∴x＝﹣2，y＝﹣5． ∴x﹣y＝﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了求代数式的值，绝对值的意义，以及相反数的定义，解题的关键是确定x、y的值． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则2x+y的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可得当时，有最小值3，当时，有最小值7，再结合已知，当，时有最小值． 【详解】解：表示数轴上表示的点与表示和的点的距离和， 当时，有最小值3， 表示数轴上表示的点与表示和的点的距离和， 当时，有最小值7， ∵， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题可得绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·北京·期中）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝ ． 【答案】-4 【分析】利用有理数的性质，由abc＞0，a+b+c=0可判断a、b、c中有两个负数，一个正数，由于，则当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，然后利用绝对值的意义计算出x、y即可． 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c=0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0； 当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4， ∴x+y=0+（-4）=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 【经典例题七 有理数的大小比较】 【例7】（24-25七年级上·重庆·期中）下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较解答此题的关键． 根据有理数的大小比较方法比较各数的大小，确定最小值，即可得到答案． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：B． 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（   ） 气体 氦（） 氢气（） 氮气（） 氧气（） 液化温（） A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦 【答案】A 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最高的液体是氧气， 故选：． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）比较大小： 0（选填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据0大于一切负数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）比较大小： （1） 0； （2） （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的比较大小，根据正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2），， ∵， ∴， 故答案为：； （3），， ∵， ∴， 故答案为：； （4），， ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）探索研究： (1)比较下列各式的大小；（用“”“”或“”） ①________； ②________； ③________； ④________． (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系；（直接写出结论即可） (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是________；若，，求的值． 【答案】(1)①，②，③，④ (2) (3)； 【分析】本题考查了绝对值的知识，有理数的加减运算； （1）先分别计算再比较大小即可； （2）根据提供的关系式得到规律即可； （3）①根据提供的关系式得到规律即可； ②根据（1）中的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案． 【详解】（1）解：①，； 故答案为：． ②，； 故答案为：． ③，； 故答案为：． ④，． 故答案为：． （2）当与同号或、中至少有一个为，则． 当与异号，则． （3）， ． 与同号或． ． 故答案为：． ， 异号， ∴当，时，， 当，时，，即 综上所述， 【经典例题八 有理数大小比较的实际应用 【例8】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的大小比较．由五日气温为，，，，得到，则这5天中最低气温的日期是星期二． 【详解】解：由五日气温为，，，，， ， ∴这5天中最低气温的日期是星期二． 故选：B． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下表列出了北京与国外几个城市的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为（    ） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差时 A．纽约 B．巴黎 C．东京 D．芝加哥 【答案】D 【分析】本题考查正负数的概念，由正负数的概念即可求解． 【详解】解：芝加哥比北京晚的时间最长， 最迟出现日出的城市为芝加哥， 故答案为：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）甲地海拔为米，乙地海拔为米，丙地海拔为米．甲、乙、丙三地中最高处为 地，最低处为 地． 【答案】 甲 丙 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较出各数的大小即可求解，掌握正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最高处为甲地，最低处为丙地， 故答案为：甲，丙． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【详解】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）在学习完有理数的加减后，婷婷和晓晨玩抽卡片游戏，她们规定：每人抽5张卡片，抽到白色卡片就加上卡片上的数，抽到灰色卡片就减去卡片上的数，将各自抽到的卡片分别计算后，结果大的为胜者．下面是她俩分别抽到的卡片，算一算，谁获胜了？ 【答案】晓晨获胜 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数比较大小，根据题意可得婷婷的计算式子为，晓晨的计算式子为，据此根据有理数的加减计算法则求出两人计算的结果，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：婷婷的计算结果为， 晓晨的计算结果为， ∵， ∴晓晨获胜． 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列结论： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，则的值为2或．   其中，正确的结论是（     ） A．①② B．③④⑤ C．①⑤ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，原结论正确；     ②若，则，原结论错误； ③若，则，原结论错误； ④若，则，原结论错误； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．原结论正确； 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列结论：①若，则；②若，则，③若，则，④若，则；⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或．其中，错误的结论是 （填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查看有理数与数轴，根据数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， 故正确，②错误； ∵， ∴， 即，故④正确； 综上，正确的个数有个， 故选：． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，数轴上两点的距离，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 【拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P． 故选：C． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离；弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或， 故答案为：，或； （2），表示点到和的距离相等，即点为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等， 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得：， 的值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【拓展训练四 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）检测四个足球，把超过标准重量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的球是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】检测质量时，与标准质量偏差越小，合格的程度就越高．比较与标准质量的差的绝对值即可． 【详解】解：∵|+0.8|＜|+0.9|＜|-2.4|＜|-2.6|， ∴C球与标准质量偏差最小．故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值表示的意义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．则AB=|a－b|．所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= ； （2）式子|x－3|+|x+2|的最小值为 ； （3）若|x－3|+|x+2|=7，则x= ．    【答案】（1）2；（2）5；（3）4或-3． 【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x-5|是数轴上表示数x的点与表示数5的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数-1的点之间的距离，若|x-5|=|x+1|，则此点必在-1与5之间，故x-5＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可． （2）求|x-3|+|x+2|的最小值，由线段的性质，两点之间线段最短，可知当-2≤x≤3时，|x-3|+|x+2|有最小值． （3）由于x-3及x+2的符号不能确定，故应分x＞3，-2≤x≤3，x＜-2三种情况解答． 【详解】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在-1与5之间， 故x-5＜0，x+1＞0， ∴原式可化为5-x=x+1， ∴x=2， 故答案为：2． （2）根据题意，可知当-2≤x≤3时，|x-3|+|x+2|有最小值, ∴|x-3|=3-x，|x+2|=x+2， ∴|x-3|+|x+2|=3-x+x+2=5； 故|x-3|+|x+2|最小值是5； 故答案为：5． （3）根据题意，可知： 当x＞3时，x-3+x+2=7，解得x=4， 当-2≤x≤3时，3-x+x+2=7，无解， 当x＜-2时，3-x-x-2=7，解得x=-3， 故答案为：4或-3． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期中）下列计算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了求一个数的绝对值．直接利用绝对值的性质以及去括号法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项不合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【分析】先根据“绝对运算”的定义列出关于的表达式，再分情况讨论的取值范围，求出每种情况下表达式的值，最后比较得出最小值．本题主要考查了绝对值的性质和分类讨论思想的应用，熟练掌握绝对值的性质并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解： 当时， ∵ ∴ ∴ 当时， 当时， ∵ ∴ ∴ 综上，的最小值为 故选：C． 5．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，相反数的含义，根据，再进一步分析可得答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 故答案为：，，， 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 9．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确结论的序号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数，平方的性质，解题的关键是掌握特殊数（如）在相关概念中的特性． 依次分析每个说法，结合相反数，绝对值，倒数，平方的定义判断对错． 【详解】①当为负数时，是正数；当时，，不是负数，故①错误； ②当时，不是正数，故②错误； ③倒数等于它本身的数是，③正确； ④绝对值等于本身的数是非负数（0和正数），不只是1，故④错误； ⑤平方等于它本身的数是1或者0，不只是1，故⑤错误， 综上，正确结论的序号是③． 故答案为：③． 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差（单位：g）如下表．若检验时通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负，则最接近标准质量的球是 号． 号码 1 2 3 4 5 误差/g -0.02 0.1 -0.23 -0.3 0.2 【答案】1 【分析】将五个球的误差绝对值按从小到大的顺序排列，找出误差绝对值最小的球即是所求． 【详解】∵|-0.02|＜0.1＜0.2＜|-0.23|＜|-0.3|， ∴1号球为最接近标准质量的球． 故选A． 【点睛】本题考查了正数和负数以及绝对值，找出误差绝对值最小的球是解题的关键． 12．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）在数轴上表示下面各数，并从小到大用“”连接起来． ，，，，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数大小、相反数和绝对值，解题的关键是熟练掌握用数轴表示有理数，熟记数轴上右边的数大于左边的数． 先化简格式，再在数轴上表示出各数，用“”将这些数从小到大连接起来． 【详解】解：，， 各数在数轴上表示如下： 所以，， 13．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，数轴上的点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足． (1)______，______，______． (2)点为数轴上一动点，表示的数为，则的最小值为______，此时点表示的数为______． (3)若点，，开始在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在使，若存在求出的值，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)，，5 (2)8； (3)存在， 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，一元一次方程的应用等知识，解题的关键： （1）最大的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，即可解题； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，据此求解即可； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式计算出、，然后代入得出关于t的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解∶∵是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为∶，，5； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为，，， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点），有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：8；； （3）解：存在， 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得． 14．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）综合题：阅读理解： (1)如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，线段的中点表示的数是0.5，即；之间的距离为，在数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是． ①在数轴有A、B、C三点，若点A对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为中点，则AB中点C所对应的数是 ． ②当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． 当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． (2)已知，当时，左边，右边，所以， 求以下代数式的值： ①， ②. 【答案】(1)①或；②， (2)①3125；②1563 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，求代数式的值，中点的理解， 对于（1）①，先确定点B对应点的数，再根据中点的求法得出答案； ②先确定代数式表示在数轴上到1和3两点的距离和，即可得出答案； 确定表示数x分别到，，2的距离之和，可得答案； 对于（2）①，先求出时，左边和右边的值，可得答案； ②将已知的两式相加可得答案． 【详解】（1）①因为点A对应的数是，且A，B之间的距离是6， 所以点B对应点的数是或2. 因为C是的中点， 所以中点所对应的数是或. 故答案为：或； ②代数式表示在数轴上x到1和x到3的距离和. 当x在3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是2. 所以当时，代数式取得最小值，最小值是2； 表示数x分别到，，2的距离之和， 当时，代数式取最小值，最小值是7. 故答案为：；； （2）①当时，左边， 右边， 所以； ②因为，， 将两式相加，得， 所以． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：5； （2）解：由题意知，或， 故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵， ∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ； 故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ， 由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数与绝对值重难点题型专训 （6个知识点+8大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 相反数的定义 题型二 化简多重符号 题型三 求一个数的绝对值 题型四 绝对值的非负性 题型五 绝对值的几何意义 题型六 绝对值的其他应用 题型七 有理数的大小比较 题型八 有理数大小比较的实际应用 拓展训练一 相反数的结论综合 拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题 拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题 拓展训练四 绝对值的其他应用综合 知识点一：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）一个数的前面加上一个“”号，就可以得到一个（    ） A．负数 B．非正数 C．正数或零 D．原数的相反数 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）的相反数是 ． 知识点二：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级上·全国·课后作业） ； ； ． 知识点三：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．3 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）有理数的绝对值等于 ． 知识点四：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南保山·期末）化简： ． 知识点五：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 【即时训练】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 2．（24-25七年级上·广东广州·开学考试）已知，则的相反数为 ． 知识点六：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南昭通·期中）在羽毛球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）写出绝对值小于4的一个负数 ． 【经典例题一 相反数的定义】 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河南濮阳·期末）如图，的相反数在数轴上对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数与互为相反数，则 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）的相反数是______，的相反数是_______； （2）的相反数是______，的相反数是_____； （3）的相反数是_______． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课堂例题）如图，图中数轴的单位长度为1．    (1)如果点A，B表示的数互为相反数，请在图①中标出原点O的位置，并指出点C表示的数是多少； (2)如果点D，B表示的数互为相反数，请在图②中标出原点O的位置，并指出点C，D表示的数分别是多少． 【经典例题二 化简多重符号】 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）计算：（ ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习） ， 3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 4．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【经典例题三 求一个数的绝对值】 【例3】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知，那么的最小值是（   ） A． B． C．0 D．2025 1．（24-25七年级上·重庆江北·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题，比如表示在数轴上数对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“F运算”，得．下列说法： ①对1，，3进行“F运算”的结果是8； ②若，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式． 其中正确的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如果，那么 ；如果 ，那么 ． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值 ； ② ； [知识应用] （2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝ ，y＝ ，若x＜y，则x﹣y＝ ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示，点、点在数轴上，点表示，点表示，点表示． (1)点表示______，点表示______； (2)在数轴上表示出点，点，点； 【经典例题四 绝对值的非负性】 【例4】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）若，则的值是 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，是最大的负整数，则的值为 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【经典例题五 绝对值的几何意义】 【例5】（24-25七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）若、为正整数，且，则 ， ． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如果．那么 ，如果那么 ，如果那么 ． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【经典例题六 绝对值的其他应用】 【例6】（24-25七年级上·吉林长春·期中）若，则m的值是（    ） A． B．5 C． D． 1．（24-25七年级·全国·阶段练习业）若x的相反数是2，|y|＝5，且x+y＜0，则x﹣y的值是（　　） A．3 B．3或﹣7 C．﹣3或﹣7 D．﹣7 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则2x+y的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝ ． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【经典例题七 有理数的大小比较】 【例7】（24-25七年级上·重庆·期中）下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（   ） 气体 氦（） 氢气（） 氮气（） 氧气（） 液化温（） A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）比较大小： 0（选填“”或“”）． 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）比较大小： （1） 0； （2） （3） ； （4） ． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）探索研究： (1)比较下列各式的大小；（用“”“”或“”） ①________； ②________； ③________； ④________． (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系；（直接写出结论即可） (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是________；若，，求的值． 【经典例题八 有理数大小比较的实际应用 【例8】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（    ） A． 星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下表列出了北京与国外几个城市的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为（    ） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差时 A．纽约 B．巴黎 C．东京 D．芝加哥 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）甲地海拔为米，乙地海拔为米，丙地海拔为米．甲、乙、丙三地中最高处为 地，最低处为 地． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）在学习完有理数的加减后，婷婷和晓晨玩抽卡片游戏，她们规定：每人抽5张卡片，抽到白色卡片就加上卡片上的数，抽到灰色卡片就减去卡片上的数，将各自抽到的卡片分别计算后，结果大的为胜者．下面是她俩分别抽到的卡片，算一算，谁获胜了？ 【拓展训练一 相反数的结论综合】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列结论： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，则的值为2或．   其中，正确的结论是（     ） A．①② B．③④⑤ C．①⑤ D．④⑤ 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列结论：①若，则；②若，则，③若，则，④若，则；⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或．其中，错误的结论是 （填写序号） 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【拓展训练二 带有字母的绝对值化简问题】 1．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【拓展训练三 绝对值的几何意义最值问题】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025七年级上·全国·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【拓展训练四 绝对值的其他应用综合】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）检测四个足球，把超过标准重量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的球是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．则AB=|a－b|．所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若|x – 5|=|x+1|，则x= ； （2）式子|x－3|+|x+2|的最小值为 ； （3）若|x－3|+|x+2|=7，则x= ．    3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期中）下列计算结果不为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．对x，，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 5．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： ．（填“”或“”或“=”） 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 9．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确结论的序号是 ． 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差（单位：g）如下表．若检验时通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负，则最接近标准质量的球是 号． 号码 1 2 3 4 5 误差/g -0.02 0.1 -0.23 -0.3 0.2 12．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）在数轴上表示下面各数，并从小到大用“”连接起来． ，，，，，． 13．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，数轴上的点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且，满足． (1)______，______，______． (2)点为数轴上一动点，表示的数为，则的最小值为______，此时点表示的数为______． (3)若点，，开始在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在使，若存在求出的值，若不存在，请说明理由？ 14．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）综合题：阅读理解： (1)如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，线段的中点表示的数是0.5，即；之间的距离为，在数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是． ①在数轴有A、B、C三点，若点A对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为中点，则AB中点C所对应的数是 ． ②当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． 当取最小值时，相应的x的值或取值范围是 ． (2)已知，当时，左边，右边，所以， 求以下代数式的值： ①， ②. 15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$