专题13 电磁学计算（天津专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟物理真题分类汇编

专题13 电磁学计算 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 恒定电流 2022 从2021年到2025年天津高考物理卷来看，电磁学计算的命题注重对基础概念和定律的考查，如法拉第电磁感应定律、楞次定律等。题目常围绕感应电动势的计算展开，要求考生熟练掌握感应电流方向的判断和电动势的求解。试题题型多样，包括导体棒切割磁感线和磁场变化引起的感生电动势计算。命题强调与其他知识的综合，常与能量问题结合，涉及机械能与电能的转化，也可能与电路、力学相结合，考查欧姆定律、安培力、牛顿运动定律等知识。此外，还注重与图像结合，考查考生的图像分析能力。试题常常结合现代科技或生活实际，如风电项目、电磁弹射等，要求考生具备知识迁移能力和创新思维。2024年的试题还出现了与数列结合的情况，对考生的数学应用能力提出了更高要求。 考点2 电磁感应 2021、2023 考点3 磁场 2021、2022、2023、2024 考点4 交变电流 2021 考点01 恒定电流 1．（2022·天津·高考）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，可用图1所示的模型讨论其原理，图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平板与容器等宽，两板间距为，容器中装有导电液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，可在两板间加垂直于面的匀强磁场，磁感应强度的大小为，两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为、电阻率为，重力加速度为。 （1）试判断所加磁场的方向； （2）求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压； （3）假定平板与容器足够高，求电压满足什么条件时两板间液面能够持续上升。 考点02 电磁感应 2．（2023·天津·高考）如图所示，一不可伸长的轻绳上端固定，下端系在单匝匀质正方形金属框上边中点O处，框处于静止状态。一个三角形区域的顶点与O点重合，框的下边完全处在该区域中。三角形区域内加有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度大小B与时间t的关系为B = kt（k > 0的常数），磁场与框平面垂直，框的面积为框内磁场区域面积的2倍，金属框质量为m，电阻为R，边长为l，重力加速度g，求： （1）金属框中的感应电动势大小E； （2）金属框开始向上运动的时刻t0；    3．（2021·天津·高考）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨、间距，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角，N、Q两端接有的电阻。一金属棒垂直导轨放置，两端与导轨始终有良好接触，已知的质量，电阻，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度沿导轨向上开始运动，可达到最大速度。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度。 （1）求拉力的功率P； （2）开始运动后，经速度达到，此过程中克服安培力做功，求该过程中沿导轨的位移大小x。 考点03 磁场 4．（2024·天津·高考）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点以速度v沿方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t； (3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为，求粒子在磁场中运动的时间。 5．（2023·天津·高考）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴，磁感应强度的大小为B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。 （1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子，它们的初速度方向与y轴的正方向夹角均为，其中电子a、b的初速度分别处于xOy 、yOz平面的第一象限内，并都能运动到电极2。 （i）试判断磁场方向； （ii）分别求出a和b到达电极2所用的时间和； （2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设每个射入中间电极的电子在该电极上激发出个电子, ，U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收集电子而形成的电流I和U关系的图像,并说明理由 6．（2022·天津·高考）如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。 （1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U； （2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r； （3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。 7．（2021·天津·高考）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿方向。 （1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向； （2）若自由电子定向移动在沿方向上形成的电流为，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小； （3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为、，求时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。 考点04 交变电流 8．（2024·天津·高考）电动汽车制动过程中可以控制电机转为发电模式，在产生制动效果的同时，将汽车的部分机械能转换为电能，储存在储能装置中，实现能量回收、降低能耗。如图1所示，发电机可简化为处于匀强磁场中的单匝正方形线框ABCD，线框边长为L，电阻忽略不计，磁场磁感应强度大小为B，线框转轴OO′与磁场垂直，且与AB、CD距离相等。线框与储能装置连接。 (1)线框转动方向如图1所示，试判断图示位置AB中的电流方向； (2)若线框以角速度ω匀速转动，线框平面与中性面垂直瞬间开始计时，线框在t时刻位置如图2所示，求此时AB产生的感应电动势； (3)讨论电动汽车在某次制动储存电能时，为方便计算，做两点假定：①将储能装置替换为阻值为R的电阻，电阻消耗的电能等于储能装置储存的电能；②线框转动第一周的角速度为ω0，第二周的角速度为，第三周的角速度为，依次减半，直到线框停止转动。若该制动过程中汽车在水平路面上做匀减速直线运动，汽车质量为m，加速度大小为a，储存的电能为初动能的50%，求制动过程中汽车行驶的最大距离x。 1．（2025·天津实验中学·热身练）利用电磁感应现象，可以测量空间某处的磁场。 (1)如图甲所示，电阻为、长为的导体棒放置在光滑的水平导轨上，导轨左侧接一阻值为的定值电阻，导轨间距也为。导轨处在竖直向下的匀强磁场中，导体棒在外力作用下沿导轨水平向右做匀速直线运动，速度大小为，电流表的示数为。导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，求磁感应强度的大小； (2)已知北半球某处地磁场的磁感应强度没有东西方向的分量，磁感应强度方向与水平方向夹角为。在该处一水平面内放置一个长、宽分别为、的单匝矩形线框，线框总电阻为，其中沿南北方向、沿东西方向，如图乙所示。线框分别以、为轴向下转动到竖直平面内，两次通过线框导线某横截面的电荷量分别为、，线框所在处的磁场可视为匀强磁场。求该处磁感应强度大小和的正切值。 2．（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 3．（2025·天津九校联考·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙。在t=0时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于序号为0的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1间的狭缝电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1内做匀速直线运动。每次电子在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变电源电压的绝对值为，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力及其他因素的影响。 (1)求电子进入漂移管1时的速度v1的大小； (2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，求第n个漂移管的长度； (3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L的正方体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度和磁感应强度均为0时，电子恰好沿O'O射到目标平面中心O点处（O点和偏移器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间内穿过偏移器，打在目标平面上（）处，求偏移器中电场强度E和磁感应强度B的大小。（当α很小时，有） 4．（2025·天津河西·二模）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为：电场强度大小为、平行于纸面的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 (1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子___________（选填“做功”或“不做功”）。 (2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 (3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （i）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 5．（2025·天津滨海塘沽一中·三模）某粒子偏转器，主要由加速电场，偏转电场和偏转磁场三部分构成。如图甲所示为该粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产生质量为m、电荷量为、初速度忽略不计的带电粒子，经电压为U的加速电场加速后，带电粒子贴近上板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板长为，间距为d，板间加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、周期为，下极板右端正下方紧挨金属板竖直放置长度为d的探测板。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入平行板右侧的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)若带电粒子经过加速电场未进入偏转电场之前，形成了大小为I的稳恒电流，沿着电流方向长度为电流中，包含的粒子个数； (2)一个周期内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比； (3)从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B需要满足的条件。 6．（2025·天津南开·二模）利用超导体可以实现磁悬浮，图甲是超导磁悬浮的示意图。在水平桌面上有一个周长为L 的超导圆环，将一块永磁铁沿圆环中心轴线从圆环的正上方缓慢向下移动，由于超导圆环与永磁铁之间有排斥力，结果永磁铁能够悬浮在超导圆环的正上方h1高处，此时圆环所处位置的磁感应强度为B1、磁场方向与水平方向的夹角为θ1，永磁铁磁场方向如图甲中所示。 (1)从上向下看，判断超导圆环中的电流方向； (2)若永磁铁在 h1高处时超导圆环中的电流强度为I1，求此时超导圆环所受的安培力 F的大小和方向； (3)在接下来的几周时间内，发现永磁铁在缓慢下移。经过较长时间t0后，永磁铁的平衡位置变为离超导圆环h2高处。有一种观点认为超导体也有很微小的电阻率，只是现在一般仪器无法直接测得，超导圆环内电流的变化造成了永磁铁下移。若已知永磁铁在 h2高处时，圆环所处位置的磁感应强度大小为 ，磁场方向与水平方向的夹角为θ2，永磁铁的质量为m，重力加速度为g，永磁铁从h1处经时间t0缓慢下移到h2处过程中，超导圆环中电流强度的平方随时间变化的图像如图乙所示 和I2均为未知量)，超导圆环导线的横截面积为S。求永磁铁平衡位置变为 高处时，超导圆环中的电流强度I2和该超导圆环的电阻率ρ。 7．（2025·天津滨海新区大港一中·冲刺）如图甲，足够长水平固定的平行金属导轨MN、PQ，其宽度，导轨间接、的电阻，质量为、电阻为、长度为的金属杆ab静置在导轨上，整个装置处于竖直向下匀强磁场中。现用一垂直杆水平向右的恒力拉金属杆ab，使它由静止开始运动，金属杆与导轨接触良好并保持与导轨垂直，ab速度v随时间t的关系如图乙所示，导轨电阻不计，ab与导轨间的动摩擦因数，取（忽略ab杆运动过程中对原磁场的影响），求： (1)磁感应强度B的大小； (2)内通过金属杆ab的电荷量； (3)内ab产生的热量。 8．（2025·天津红桥·二模）在空间区域内有一个垂直于水平传送带向下、磁感应强度为的匀强磁场，边界与传送带运行方向垂直且。有一匝边长为的正方形绝缘闭合线圈，总质量为，总电阻为。线圈在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其底面与传送带间的动摩擦因数为，进入磁场前已和传送带共速，传送带的速度始终保持向右的。已知线圈在完全进入磁场前已经达到匀速，且在线圈右侧边到达cd时恰好与传送带再次共速。求： (1)线圈在完全进入磁场前一瞬间的速度v的大小； (2)在进入磁场的过程中，线圈中产生的焦耳热Q； (3)从线圈的右侧边刚要进入磁场到线圈的右侧边刚要穿出磁场的过程所经历的时间t。 9．（2025·天津红桥·二模）近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 10．（2025·天津九校联考·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 11．（2025·天津和平区·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 12．（2025·天津九校联考·二模）某种新型智能化汽车独立悬架系统的电磁减震器是利用电磁感应原理制造的，下图为其简化的原理图。该减震器由绝缘的橡胶滑动杆及多个相同的单匝矩形闭合线圈组成，线圈相互靠近、彼此绝缘，固定在绝缘杆上，线圈之间的间隔忽略不计。滑动杆及线圈的总质量为m，每个矩形线圈的电阻为R，ab边长为L，bc边长为。某次减震过程中，该减震器从距离磁场边缘高h处由静止自由下落，当线圈2恰好完全进入磁场时减震器的速度大小为。已知匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，不计空气阻力，该减震器始终保持竖直，重力加速度为g。 (1)求线圈1的ab边进入磁场瞬间，减震器的加速度大小a； (2)求减震器下落过程中，线圈1和2产生的热量之和； (3)求从减震器开始下落到线圈2恰好完全进入磁场所用的时间t。 13．（2025·天津部分·二模）MM50是新一代三维适形和精确调强的治癌设备，是公认最先进的放射治疗系统，其核心技术之一就是跑道式电子回旋加速器，其工作原理如图所示，左、右匀强磁场区域、的边界平行，相距为，磁场方向垂直纸面。下方及两条横向虚线之间的区域存在水平向左场强为的匀强电场（两条横向虚线之间的宽度忽略不计），方向与磁场边界垂直。质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经过多次电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口以速度向左射出磁场，已知之间的距离为，重力忽略不计。 (1)匀强磁场磁感应强度的大小和方向； (2)电子第4次通过电场的时间； (3)若磁感应强度为已知量，试推理说明：电子在上方无场区运动时，随速度的增加，相邻轨迹的间距是增大、减小还是不变？ 14．（2025·天津·二模）如图所示的竖直平面内，水平直线AB和GH之间有边界互相平行且宽度均为R的六个区域，交替分布着方向竖直向下、电场强度大小为 的匀强电场和方向垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场。圆心为O、半径为R 的四分之一圆形匀强磁场的边界与直线AB 相切于磁场最低点 P 点，磁感应强度也为B，方向垂直纸面向外。有一垂直于AB的长度为R 的线状粒子源MN （N在AB 上）源源不断沿平行于AB 向右的方向发射初速度相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q、质量为m。所有粒子都进入四分之一圆形磁场，其中从粒子源最上端M 点射出的粒子恰好从P 点进入电场，最后到达边界GH上的Q点，不计粒子重力及粒子间相互作用，求： (1)粒子穿过CD边界时的速率 v₁； (2)从粒子源下端N点射出的粒子经 P 点进入电场，求此粒子经过边界 CD的位置与P点水平距离x； (3)从M 点射出的粒子经过Q 点时的速度方向与边界GH 夹角θ的余弦值。 15．（2025·天津部分·一模）如图甲所示，质量、边长、电阻的正方形单匝金属线框，置于倾角的绝缘斜面上，边与斜面底端平行，线框的一半面积处在垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度随时间按图乙所示的规律周期性变化，已知线框在斜面上始终保持静止，取。求： (1)在时线框受到斜面摩擦力的大小； (2)线圈中感应电流的有效值。 16．（2025·天津南开·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为r的圆形边界，AB为其水平直径，圆形边界内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，过B点的竖直线BD与水平线BC间存在方向竖直向上、电场强度大小为 (未知量)的匀强电场，P点是匀强电场中的某点。现让电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)从A 点射入匀强磁场，然后从B 点离开匀强磁场，粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆的半径为2r，粒子经过一段时间t0从B 点运动到 P点时速度恰好水平向右。求： (1)粒子从A 点射入匀强磁场时速度 v0的大小和从A 点运动到B 点所用时间t； (2)匀强电场的电场强度的大小和BP两点间的电势差 。 17．（2025·天津滨海新区·三模）放射性同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用。如图甲所示，将少量古木样品碳化、电离后，产生出电荷量均为q的12C和14C离子，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的匀强电场中，其初速度可视为零。以离子刚射入磁场时的O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向。x轴下方有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，离子在磁场中行进半个圆周后被位于原点O右侧x轴上的收集器分别收集。一个核子的质量为m，不考虑离子重力及离子间的相互作用。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及衰变生成的两个核反应方程式； (2)求收集器收集到的12C和14C离子的位置坐标x12和x14； (3)由于加速电场的变化，可能会使两束离子到达收集器的区域发生交叠，导致两种离子无法完全分离。 ①若加速电压在区间范围内发生微小变化，为使两种离子完全分离，应小于多少？ ②若离子经过加速电压为U的特殊电场，从O点进入磁场时，与垂直x轴方向左右对称偏离，导致有一个散射角α，如图乙所示。为使两种离子完全分离，求最大散射角。 [已知，若，，则] 18．（2025·天津河西·二模）如图所示，平面直角坐标系内，在的区域存在沿轴正方向的匀强电场，在的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为、带电量为的粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经过坐标原点后进入磁场，然后又从轴上的点离开磁场。不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小和粒子经过坐标原点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小和粒子在匀强磁场中运动的时间。 19．（2025·天津和平·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点；②当离子的入射速度大小为（未知），方向与y轴夹角入射时，离子垂直通过界面，不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求的大小； (2)求的大小及②情况下离子到达界面时与x轴之间的距离； (3)现测得离子入射速度大小随变化的关系为，为回收离子，今在界面右侧加一宽度也为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面，求所加电场的电场强度至少为多大？ 20．（2025·天津河西·二模）“福建号”航母装备了最先进的电磁弹射装置，某兴趣小组设计制作了该电磁弹射装置的简易模型，其加速和减速过程如下所述。如图所示，两根足够长的平直轨道和固定在水平面上，轨道电阻忽略不计，其中左侧为光滑金属轨道，右侧为粗糙绝缘轨道，间接有定值电阻。沿轨道建立轴，坐标原点与点重合。左侧分布有垂直于轨道平面向下的匀强磁场，右侧分布有垂直于轨道平面向下、沿轴渐变的磁场。现将一质量为、长度为、电阻为的金属棒垂直放置在轨道上，放置位置位于的左侧。的右方还有质量为、各边长均为的形框，其电阻为，开始时形框恰好不与左侧的光滑金属轨道接触。棒在恒力作用下向右运动，到达前已匀速。当棒运动到处时撤去恒力，随后与形框发生碰撞，碰后连接成“”字形闭合线框，并一起运动，后续运动中受到与运动方向相反的阻力，阻力大小与速度大小满足。已知，，，，，。 (1)金属棒在左侧运动时，比较、两点的电势高低，___________（填写“>” “<”或“ =”）； (2)求金属棒与形框碰撞前速度的大小； (3)①求“”字形线框停止运动时，边的坐标； ②求形框在运动过程中产生的焦耳热。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 电磁学计算 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 恒定电流 2022 从2021年到2025年天津高考物理卷来看，电磁学计算的命题注重对基础概念和定律的考查，如法拉第电磁感应定律、楞次定律等。题目常围绕感应电动势的计算展开，要求考生熟练掌握感应电流方向的判断和电动势的求解。试题题型多样，包括导体棒切割磁感线和磁场变化引起的感生电动势计算。命题强调与其他知识的综合，常与能量问题结合，涉及机械能与电能的转化，也可能与电路、力学相结合，考查欧姆定律、安培力、牛顿运动定律等知识。此外，还注重与图像结合，考查考生的图像分析能力。试题常常结合现代科技或生活实际，如风电项目、电磁弹射等，要求考生具备知识迁移能力和创新思维。2024年的试题还出现了与数列结合的情况，对考生的数学应用能力提出了更高要求。 考点2 电磁感应 2021、2023 考点3 磁场 2021、2022、2023、2024 考点4 交变电流 2021 考点01 恒定电流 1．（2022·天津·高考）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，可用图1所示的模型讨论其原理，图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平板与容器等宽，两板间距为，容器中装有导电液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，可在两板间加垂直于面的匀强磁场，磁感应强度的大小为，两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为、电阻率为，重力加速度为。 （1）试判断所加磁场的方向； （2）求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压； （3）假定平板与容器足够高，求电压满足什么条件时两板间液面能够持续上升。 【答案】（1）沿轴负方向；（2）；（3） 【详解】（1）想实现两板间液面上升，导电液体需要受到向上的安培力，由图可知电流方向沿轴正方向，根据左手定则可知，所加磁场的方向沿轴负方向。 （2）设平板宽度为，两板间初始液面高度为，当液面稳定在高度时，两板间液体的电阻为，则有 当两板间所加电压为时，设流过导电液体的电流为，由欧姆定律可得 外加磁场磁感应强度大小为时，设液体所受安培力的大小为，则有 两板间液面稳定在高度时，设两板间高出板外液面的液体质量为，则有 两板间液体受到的安培力与两板间高出板外液面的液体重力平衡，则有 联立以上式子解得 （3）设两板间液面稳定时高度为nh，则两板间比容器中液面高出的部分液体的高度为(n－1)h，与（2）同理可得 整理上式，得 平板与容器足够高，若使两板间液面能够持续上升，则n趋近无穷大，即无限趋近于1，可得 考点02 电磁感应 2．（2023·天津·高考）如图所示，一不可伸长的轻绳上端固定，下端系在单匝匀质正方形金属框上边中点O处，框处于静止状态。一个三角形区域的顶点与O点重合，框的下边完全处在该区域中。三角形区域内加有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度大小B与时间t的关系为B = kt（k > 0的常数），磁场与框平面垂直，框的面积为框内磁场区域面积的2倍，金属框质量为m，电阻为R，边长为l，重力加速度g，求： （1）金属框中的感应电动势大小E； （2）金属框开始向上运动的时刻t0；    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有 （2）由图可知线框受到的安培力为 当线框开始向上运动时有mg = FA 解得 3．（2021·天津·高考）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨、间距，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角，N、Q两端接有的电阻。一金属棒垂直导轨放置，两端与导轨始终有良好接触，已知的质量，电阻，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度沿导轨向上开始运动，可达到最大速度。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度。 （1）求拉力的功率P； （2）开始运动后，经速度达到，此过程中克服安培力做功，求该过程中沿导轨的位移大小x。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在运动过程中，由于拉力功率恒定，做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为，有 设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有 设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有 受到的安培力 由功率表达式，有 联立上述各式，代入数据解得 （2）从速度到的过程中，由动能定理，有 代入数据解得 考点03 磁场 4．（2024·天津·高考）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点以速度v沿方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t； (3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，由于一带负电粒子能沿直线匀速穿过半圆区域，由平衡条件有 解得 （2）若仅有电场，带负电粒子受沿轴负方向的电场力，由牛顿第二定律有 又有 联立解得 （3）根据题意，设粒子入射速度为，则有 可得 画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得 解得 则轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间 5．（2023·天津·高考）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴，磁感应强度的大小为B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。 （1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子，它们的初速度方向与y轴的正方向夹角均为，其中电子a、b的初速度分别处于xOy 、yOz平面的第一象限内，并都能运动到电极2。 （i）试判断磁场方向； （ii）分别求出a和b到达电极2所用的时间和； （2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设每个射入中间电极的电子在该电极上激发出个电子, ，U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收集电子而形成的电流I和U关系的图像,并说明理由 【答案】（1）（ⅰ）沿z轴反方向；（ⅱ），（2）见解析 【详解】（1）（ⅰ）a电子，初速度方向在xoy平面内，与y轴正方向成θ角；若磁场方向沿z轴正方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z轴反方向，a电子在洛伦兹力作用下向x轴正方向偏转，符合题意；b电子，初速度方向在zoy平面内，与y轴正方向成θ角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可知，磁场方向沿z轴反方向。符合题意； 综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴反方向。 （ⅱ）a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图 由图可知电子运动到下一个极板的时间b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间 （2）设，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以激发δ个电子，经过n次激发阳极处接收电子数量 对应的电流 可得I-U图像如图 6．（2022·天津·高考）如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。 （1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U； （2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r； （3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。 【答案】（1）正电，；（2）；（3） 【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有解得 （3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为，如图 依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有 带电粒子在磁场中运动的时间 联立各式解得 7．（2021·天津·高考）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿方向。 （1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向； （2）若自由电子定向移动在沿方向上形成的电流为，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小； （3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为、，求时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。 【答案】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿方向；（2）；（3）见解析所示 【详解】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿方向； （2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有 设自由电子在x方向上定向移动速率为，可导出自由电子的电流微观表达式为 单个自由电子所受洛伦兹力大小为 霍尔电场力大小为 自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为 （3）设时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为、空穴数为，则 霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应 即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。 考点04 交变电流 8．（2024·天津·高考）电动汽车制动过程中可以控制电机转为发电模式，在产生制动效果的同时，将汽车的部分机械能转换为电能，储存在储能装置中，实现能量回收、降低能耗。如图1所示，发电机可简化为处于匀强磁场中的单匝正方形线框ABCD，线框边长为L，电阻忽略不计，磁场磁感应强度大小为B，线框转轴OO′与磁场垂直，且与AB、CD距离相等。线框与储能装置连接。 (1)线框转动方向如图1所示，试判断图示位置AB中的电流方向； (2)若线框以角速度ω匀速转动，线框平面与中性面垂直瞬间开始计时，线框在t时刻位置如图2所示，求此时AB产生的感应电动势； (3)讨论电动汽车在某次制动储存电能时，为方便计算，做两点假定：①将储能装置替换为阻值为R的电阻，电阻消耗的电能等于储能装置储存的电能；②线框转动第一周的角速度为ω0，第二周的角速度为，第三周的角速度为，依次减半，直到线框停止转动。若该制动过程中汽车在水平路面上做匀减速直线运动，汽车质量为m，加速度大小为a，储存的电能为初动能的50%，求制动过程中汽车行驶的最大距离x。 【答案】(1)电流方向从B到A (2) (3) 【详解】（1）由右手定则可知，图示位置AB中的电流方向从B到A。 （2）线框平面与中性面垂直瞬间开始计时，则经过时间t转过的角度为AB切割磁感线的速度为则感应电动势 解得此时AB产生的感应电动势 （3）线框转动过程中，AB、CD均能产生感应电动势，故线框转动产生的感应电动势为 线框转动第一周产生感应电动势最大值 储存电能为 同理线框转动第二周储存的电能 同理线框转动第三周储存的电能 线框转动第n周储存的电能 则直到停止时储存的电能为 储存的电能为初动能的50%，可知初动能 根据动能定理和牛顿第二定律可得 解得 1．（2025·天津实验中学·热身练）利用电磁感应现象，可以测量空间某处的磁场。 (1)如图甲所示，电阻为、长为的导体棒放置在光滑的水平导轨上，导轨左侧接一阻值为的定值电阻，导轨间距也为。导轨处在竖直向下的匀强磁场中，导体棒在外力作用下沿导轨水平向右做匀速直线运动，速度大小为，电流表的示数为。导体棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，求磁感应强度的大小； (2)已知北半球某处地磁场的磁感应强度没有东西方向的分量，磁感应强度方向与水平方向夹角为。在该处一水平面内放置一个长、宽分别为、的单匝矩形线框，线框总电阻为，其中沿南北方向、沿东西方向，如图乙所示。线框分别以、为轴向下转动到竖直平面内，两次通过线框导线某横截面的电荷量分别为、，线框所在处的磁场可视为匀强磁场。求该处磁感应强度大小和的正切值。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由法拉第电磁感应定律 由闭合电路欧姆定律有 联立解得 （2）设在时间内的平均电流为， 则 由法拉第电磁感应定律有 根据欧姆定律有 联立解得 以为轴转动，则 以为轴转动，则 联立解得， 2．（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画出）。一质量为，电荷量为的带正电粒子从电场中的点以大小为的速度平行于轴正方向射入电场，经原点射入第一象限时与轴正方向的夹角为，运动一段时间后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与轴正方向的夹角也为。已知点与轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小，不计粒子受到的重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间； (3)圆形匀强磁场区域的最小半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有，， 又 联立解得 （2）设粒子从点射入第一象限时的速度大小为，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于，则运动时间 又有， 联立解得 （3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径时，磁场区域半径最小，则有 又， 联立解得 3．（2025·天津九校联考·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙。在t=0时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于序号为0的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1间的狭缝电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1内做匀速直线运动。每次电子在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变电源电压的绝对值为，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力及其他因素的影响。 (1)求电子进入漂移管1时的速度v1的大小； (2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，求第n个漂移管的长度； (3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L的正方体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度和磁感应强度均为0时，电子恰好沿O'O射到目标平面中心O点处（O点和偏移器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间内穿过偏移器，打在目标平面上（）处，求偏移器中电场强度E和磁感应强度B的大小。（当α很小时，有） 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）电子在第n节漂移管内的运动时间为 设电子在第n节漂移管内的运动速度为，有 解得 故第n节漂移管长度为 （3）设电子进入偏移器时速度为v，则在偏移器内，由于电场引起的速度增量对y轴方向的运动不产生影响，y轴方向上相当于只考虑磁场存在，设电子进入磁场后做圆周运动半径为，如图 根据洛伦兹力提供向心力 解得 又有 经过磁场后，电子在y轴方向偏移距离 离开磁场后，电子在y轴方向偏移距离 则有 可得 又 解得 根据运动的分解，只考虑电场存在时 x轴方向加速度为 飞行时间为 又，解得 离开偏移器时x轴方向获得的速度为 经过电场后，电子在x轴方向偏移的距离和偏移角的正切为、 离开电场后，电子在x轴方向偏移的距离 则有 可得 又 得 4．（2025·天津河西·二模）利用电磁场使质量为、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为：电场强度大小为、平行于纸面的匀强电场绕着过点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 (1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子___________（选填“做功”或“不做功”）。 (2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 (3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力，式中为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 （i）若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小； （ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 【答案】(1)不做功 (2) (3)（i）；（ii） 【详解】（1）洛伦兹力的方向时刻与速度方向垂直，故电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子不做功； （2）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 解得 （3）（i）设电场力方向与速度方向的夹角为，沿圆轨迹的半径方向有 沿圆轨迹的切线方向有 解得 （ii）设电场力方向与速度方向的夹角为，旋转电场对电子做功的功率为 当时，电场对电子做功的功率最大 当时，有 解得， 则 5．（2025·天津滨海塘沽一中·三模）某粒子偏转器，主要由加速电场，偏转电场和偏转磁场三部分构成。如图甲所示为该粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产生质量为m、电荷量为、初速度忽略不计的带电粒子，经电压为U的加速电场加速后，带电粒子贴近上板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板长为，间距为d，板间加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、周期为，下极板右端正下方紧挨金属板竖直放置长度为d的探测板。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入平行板右侧的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)若带电粒子经过加速电场未进入偏转电场之前，形成了大小为I的稳恒电流，沿着电流方向长度为电流中，包含的粒子个数； (2)一个周期内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比； (3)从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B需要满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子进入偏转电场的初速度为，根据动能定理有 电流 则 联立可得 （2）带电粒子穿过偏转电场时，水平方向做匀速直线运动，则有 联立解得 即：带电粒子通过板间的时间等于周期T，且竖直方向上匀加速的时间必为，设前半个周期中，时刻飞入偏转电场的粒子恰好能到达下极板，则有 根据牛顿第二定律 联立解得 设后半个周期中，时刻飞入偏转电场的粒子恰好能到达下极板，则有 解得时间内飞入偏转电场的粒子可以飞出偏转电场，故偏转电场出射的粒子数占比 （3）设粒子飞入磁场时的速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有 设粒子飞入磁场时，其速度与水平方向的夹角为，则有 如图 设粒子进入磁场后，竖直方向偏移的位移为，由几何关系可知 解得 若偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板，需满足 解得 即 6．（2025·天津南开·二模）利用超导体可以实现磁悬浮，图甲是超导磁悬浮的示意图。在水平桌面上有一个周长为L 的超导圆环，将一块永磁铁沿圆环中心轴线从圆环的正上方缓慢向下移动，由于超导圆环与永磁铁之间有排斥力，结果永磁铁能够悬浮在超导圆环的正上方h1高处，此时圆环所处位置的磁感应强度为B1、磁场方向与水平方向的夹角为θ1，永磁铁磁场方向如图甲中所示。 (1)从上向下看，判断超导圆环中的电流方向； (2)若永磁铁在 h1高处时超导圆环中的电流强度为I1，求此时超导圆环所受的安培力 F的大小和方向； (3)在接下来的几周时间内，发现永磁铁在缓慢下移。经过较长时间t0后，永磁铁的平衡位置变为离超导圆环h2高处。有一种观点认为超导体也有很微小的电阻率，只是现在一般仪器无法直接测得，超导圆环内电流的变化造成了永磁铁下移。若已知永磁铁在 h2高处时，圆环所处位置的磁感应强度大小为 ，磁场方向与水平方向的夹角为θ2，永磁铁的质量为m，重力加速度为g，永磁铁从h1处经时间t0缓慢下移到h2处过程中，超导圆环中电流强度的平方随时间变化的图像如图乙所示 和I2均为未知量)，超导圆环导线的横截面积为S。求永磁铁平衡位置变为 高处时，超导圆环中的电流强度I2和该超导圆环的电阻率ρ。 【答案】(1)上往下看为逆时针方向 (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）根据楞次定律和右手螺旋定则可以判断感应电流方向从上往下看为逆时针方向。 （2）把环分成无数等长的微小电流元，每一小段导线长为，则每一小段导线所受安培力为 由对称性可知，所有小段导线所受的安培力水平分力抵消，所以竖直方向分力的合力即为整段导线所受安培力，设有段导线则 方向竖直向下。 （3）永磁铁在处处于平衡状态，则，， 磁铁下降前有， 解得 根据能量守恒有 根据焦耳定律有 根据电阻定律有 解得 7．（2025·天津滨海新区大港一中·冲刺）如图甲，足够长水平固定的平行金属导轨MN、PQ，其宽度，导轨间接、的电阻，质量为、电阻为、长度为的金属杆ab静置在导轨上，整个装置处于竖直向下匀强磁场中。现用一垂直杆水平向右的恒力拉金属杆ab，使它由静止开始运动，金属杆与导轨接触良好并保持与导轨垂直，ab速度v随时间t的关系如图乙所示，导轨电阻不计，ab与导轨间的动摩擦因数，取（忽略ab杆运动过程中对原磁场的影响），求： (1)磁感应强度B的大小； (2)内通过金属杆ab的电荷量； (3)内ab产生的热量。 【答案】(1)2T (2) (3)6.5J 【详解】（1）由图乙可知，2s后ab导体棒匀速运动，则有 又E=BLv，， 联立解得 （2）0~2s内，对金属杆ab，由动量定理有 又 联立解得 （3）0~2s内，对整个电路，由能量守恒定律有 又 联立解得 根据串并联电路中的电流和电压关系可知0~2s内金属杆ab上产生的热量 8．（2025·天津红桥·二模）在空间区域内有一个垂直于水平传送带向下、磁感应强度为的匀强磁场，边界与传送带运行方向垂直且。有一匝边长为的正方形绝缘闭合线圈，总质量为，总电阻为。线圈在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其底面与传送带间的动摩擦因数为，进入磁场前已和传送带共速，传送带的速度始终保持向右的。已知线圈在完全进入磁场前已经达到匀速，且在线圈右侧边到达cd时恰好与传送带再次共速。求： (1)线圈在完全进入磁场前一瞬间的速度v的大小； (2)在进入磁场的过程中，线圈中产生的焦耳热Q； (3)从线圈的右侧边刚要进入磁场到线圈的右侧边刚要穿出磁场的过程所经历的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线圈完全进入磁场前已经匀速，根据物体平衡有 根据闭合电路欧姆定律以及法拉第电磁感应定律（动生切割电动势）有 解得 （2）线圈的右边界刚要进磁场到线圈的右边界刚要出磁场的过程，根据动能定理有 又 解得 （3）线圈的右边界刚要进磁场到线圈的右边界刚要出磁场的过程，根据动量定理（设向右为正方向，为线圈有电流通过的时间）有 又   得 9．（2025·天津红桥·二模）近期以Deepseek为代表的我国自主知识产权的人工智能大模型正在迅猛发展，这些大模型在应用中都离不开能源的支撑。据统计我国每年的能源消耗是美国的两倍，是印度的六倍，现在我国67%的能源来源于火力发电。2025年3月可控核聚变实验装置“中国环流三号”又有新的技术突破，这标志着可控核聚变离并网发电又更近了一步，届时能源问题将彻底解决。利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求∶ (1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值； (2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度最大值； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图1所示 由题意可知当粒子从A点与内圆相切向上射入磁场，轨迹恰好与外圆相切，根据几何关系有 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）如图2所示 当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为，在中有OA2+AC2=OC2 即 解得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 （3）如图3所示 当粒子源在P点时，越大，轨迹半径越大 根据正弦定理有 又因为的最大值为1，故的最大值为0.5 粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为，根据几何关系可得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力 根据牛顿第二定律有 解得 10．（2025·天津九校联考·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 11．（2025·天津和平区·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 【答案】(1) (2) (3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有 解得 （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得 则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 12．（2025·天津九校联考·二模）某种新型智能化汽车独立悬架系统的电磁减震器是利用电磁感应原理制造的，下图为其简化的原理图。该减震器由绝缘的橡胶滑动杆及多个相同的单匝矩形闭合线圈组成，线圈相互靠近、彼此绝缘，固定在绝缘杆上，线圈之间的间隔忽略不计。滑动杆及线圈的总质量为m，每个矩形线圈的电阻为R，ab边长为L，bc边长为。某次减震过程中，该减震器从距离磁场边缘高h处由静止自由下落，当线圈2恰好完全进入磁场时减震器的速度大小为。已知匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，不计空气阻力，该减震器始终保持竖直，重力加速度为g。 (1)求线圈1的ab边进入磁场瞬间，减震器的加速度大小a； (2)求减震器下落过程中，线圈1和2产生的热量之和； (3)求从减震器开始下落到线圈2恰好完全进入磁场所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据机械能守恒 ab边进入磁场瞬间的速度为 根据E = BLv，F = BIL，F－mg = ma 解得 （2）从开始下落到第二个线圈完全进入磁场，由能量关系可知 解得 （3）在减震器在磁场运动过程中，设减震器下落的方向为正方向，根据动量定理 又、、 解得 减震器自由下落过程中 则从减震器开始下落到线圈2恰好完全进入磁场所用的时间 13．（2025·天津部分·二模）MM50是新一代三维适形和精确调强的治癌设备，是公认最先进的放射治疗系统，其核心技术之一就是跑道式电子回旋加速器，其工作原理如图所示，左、右匀强磁场区域、的边界平行，相距为，磁场方向垂直纸面。下方及两条横向虚线之间的区域存在水平向左场强为的匀强电场（两条横向虚线之间的宽度忽略不计），方向与磁场边界垂直。质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经过多次电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口以速度向左射出磁场，已知之间的距离为，重力忽略不计。 (1)匀强磁场磁感应强度的大小和方向； (2)电子第4次通过电场的时间； (3)若磁感应强度为已知量，试推理说明：电子在上方无场区运动时，随速度的增加，相邻轨迹的间距是增大、减小还是不变？ 【答案】(1)，方向垂直纸面向外 (2) (3)见解析 【详解】（1）电子在磁场中运动的最大半径 洛伦兹力提供向心力 得 由左手定则判断出磁场方向垂直纸面向外。 （2）电子在电场中一直做匀加速直线运动，加速度 前4次通过电场的过程 前3次通过电场的过程 第4次通过电场的时间 （3）第次加速后 在磁场中运动半径 同理，第次加速后 相邻轨迹的间距 可知相邻轨迹的间距减小。 14．（2025·天津·二模）如图所示的竖直平面内，水平直线AB和GH之间有边界互相平行且宽度均为R的六个区域，交替分布着方向竖直向下、电场强度大小为 的匀强电场和方向垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场。圆心为O、半径为R 的四分之一圆形匀强磁场的边界与直线AB 相切于磁场最低点 P 点，磁感应强度也为B，方向垂直纸面向外。有一垂直于AB的长度为R 的线状粒子源MN （N在AB 上）源源不断沿平行于AB 向右的方向发射初速度相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q、质量为m。所有粒子都进入四分之一圆形磁场，其中从粒子源最上端M 点射出的粒子恰好从P 点进入电场，最后到达边界GH上的Q点，不计粒子重力及粒子间相互作用，求： (1)粒子穿过CD边界时的速率 v₁； (2)从粒子源下端N点射出的粒子经 P 点进入电场，求此粒子经过边界 CD的位置与P点水平距离x； (3)从M 点射出的粒子经过Q 点时的速度方向与边界GH 夹角θ的余弦值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系知，根据牛顿第二定律得，根据动能定理得，解得 （2）根据牛顿第二定律得，由平抛运动规律得，，解得 （3）根据动能定理得，由动量定理得，根据竖直方向上的平均速度得，解得 15．（2025·天津部分·一模）如图甲所示，质量、边长、电阻的正方形单匝金属线框，置于倾角的绝缘斜面上，边与斜面底端平行，线框的一半面积处在垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度随时间按图乙所示的规律周期性变化，已知线框在斜面上始终保持静止，取。求： (1)在时线框受到斜面摩擦力的大小； (2)线圈中感应电流的有效值。 【答案】(1)0.054N (2) 【详解】（1）根据题意，由法拉第电磁感应定律有 又有 由图乙可知，内， 又有 联立解得 感应电流为 方向为顺时针，由图乙可知，时， 此时线框所受安培力为 方向沿斜面向下，由平衡条件有 （2）结合小问1和图乙可知，内，感应电流内，感应电流 内，感应电流 根据有效值的定义 解得 16．（2025·天津南开·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为r的圆形边界，AB为其水平直径，圆形边界内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，过B点的竖直线BD与水平线BC间存在方向竖直向上、电场强度大小为 (未知量)的匀强电场，P点是匀强电场中的某点。现让电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)从A 点射入匀强磁场，然后从B 点离开匀强磁场，粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆的半径为2r，粒子经过一段时间t0从B 点运动到 P点时速度恰好水平向右。求： (1)粒子从A 点射入匀强磁场时速度 v0的大小和从A 点运动到B 点所用时间t； (2)匀强电场的电场强度的大小和BP两点间的电势差 。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在磁场中运动，有 解得 如图所示 根据几何关系有 解得 粒子在磁场中运动周期 解得运动时间为 （2）粒子从点离开磁场时，速度方向与水平线夹角为。把点的速度沿水平方向和竖直方向分解，则有 由类平抛运动的规律可得， 解得 方法一：， 解得 方法二：， 解得 17．（2025·天津滨海新区·三模）放射性同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用。如图甲所示，将少量古木样品碳化、电离后，产生出电荷量均为q的12C和14C离子，从容器A下方的小孔S1进入加速电压为U的匀强电场中，其初速度可视为零。以离子刚射入磁场时的O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向。x轴下方有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，离子在磁场中行进半个圆周后被位于原点O右侧x轴上的收集器分别收集。一个核子的质量为m，不考虑离子重力及离子间的相互作用。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及衰变生成的两个核反应方程式； (2)求收集器收集到的12C和14C离子的位置坐标x12和x14； (3)由于加速电场的变化，可能会使两束离子到达收集器的区域发生交叠，导致两种离子无法完全分离。 ①若加速电压在区间范围内发生微小变化，为使两种离子完全分离，应小于多少？ ②若离子经过加速电压为U的特殊电场，从O点进入磁场时，与垂直x轴方向左右对称偏离，导致有一个散射角α，如图乙所示。为使两种离子完全分离，求最大散射角。 [已知，若，，则] 【答案】(1)； (2)； (3)①，② 【详解】（1）核反应方程； （2）由动能定理得， 由洛伦兹力提供向心力得， 联立得，直径 和离子的位置坐标分别为； （3）①加速电压越大，速度越大，则半径越大 12C离子的最大直径 14C离子的最小直径 为保证完全分离需满足 联立解得 ②对于同一离子以相同大小的速度但方向不同进入磁场后，垂直于x轴射入时偏转距离x最大，向左向右偏离垂直入射的方向入射，其偏转距离都将减小，如图所示。 12C离子离开O点的最大距离 14C离子离开O点的最小距离 为保证两种离子完全分离 联立解得 18．（2025·天津河西·二模）如图所示，平面直角坐标系内，在的区域存在沿轴正方向的匀强电场，在的区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为、带电量为的粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经过坐标原点后进入磁场，然后又从轴上的点离开磁场。不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小和粒子经过坐标原点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小和粒子在匀强磁场中运动的时间。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，轴方向有，，轴方向有 粒子经过点时的速度 解得， （2）粒子经过点时， 由几何关系可知 根据牛顿第二定律 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 解得， 19．（2025·天津和平·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，已知离子入射速度与y轴夹角最大值为60°，且速度大小与角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y轴正方向以大小为（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点；②当离子的入射速度大小为（未知），方向与y轴夹角入射时，离子垂直通过界面，不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求的大小； (2)求的大小及②情况下离子到达界面时与x轴之间的距离； (3)现测得离子入射速度大小随变化的关系为，为回收离子，今在界面右侧加一宽度也为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面，求所加电场的电场强度至少为多大？ 【答案】(1) (2)，， (3) 【详解】（1）当离子沿y轴正方向以大小为的速度入射时，离子恰好通过坐标为的P点，由几何关系可得 由牛顿第二定律有 联立解得 （2）若离子与y轴夹角向左上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 若离子与y轴夹角向右上入射时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由牛顿第二定律有 解得 离子到达界面时与x轴之间的距离 （3）离子入射速度大小随变化的关系为 由牛顿第二定律有 离子运动半径为 可知，圆心一定在界面上，即离子一定垂直通过界面，当时，通过界面的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面即可，此时速度 恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为，对该离子竖直方向运用动量定理有 两边求和可得 又由动能定理得 联立解得 20．（2025·天津河西·二模）“福建号”航母装备了最先进的电磁弹射装置，某兴趣小组设计制作了该电磁弹射装置的简易模型，其加速和减速过程如下所述。如图所示，两根足够长的平直轨道和固定在水平面上，轨道电阻忽略不计，其中左侧为光滑金属轨道，右侧为粗糙绝缘轨道，间接有定值电阻。沿轨道建立轴，坐标原点与点重合。左侧分布有垂直于轨道平面向下的匀强磁场，右侧分布有垂直于轨道平面向下、沿轴渐变的磁场。现将一质量为、长度为、电阻为的金属棒垂直放置在轨道上，放置位置位于的左侧。的右方还有质量为、各边长均为的形框，其电阻为，开始时形框恰好不与左侧的光滑金属轨道接触。棒在恒力作用下向右运动，到达前已匀速。当棒运动到处时撤去恒力，随后与形框发生碰撞，碰后连接成“”字形闭合线框，并一起运动，后续运动中受到与运动方向相反的阻力，阻力大小与速度大小满足。已知，，，，，。 (1)金属棒在左侧运动时，比较、两点的电势高低，___________（填写“>” “<”或“ =”）； (2)求金属棒与形框碰撞前速度的大小； (3)①求“”字形线框停止运动时，边的坐标； ②求形框在运动过程中产生的焦耳热。 【答案】(1)＞ (2)4m/s (3)①   ② 【详解】（1）由右手定则可判定金属棒产生的感应电流的方向为b到a，可知a端为电源正极，所以。 （2）金属棒做切割磁感线运动，由电磁感应定律得 回路中的电流，由欧姆定律得 金属棒受到的安培力与平衡，则 联立代入数据解得 （3）①金属棒与形框发生碰撞，由动量守恒得 此后任意时刻闭合线框的速度为，边处磁场为，边处磁场为，回路中的电流，由欧姆定律得 其中 “口”字形线框所受安培力的大小为 根据动量定理有 解得 ②根据功能关系得回路运动过程中产生的总热量 任意时刻安培力与摩擦力大小之比为，焦耳热与摩擦热之比也为，且U形框产生的焦耳热是整个回路产生焦耳热的，故得 / 学科网（北京）股份有限公司 $$