18.4 整数指数幂第1课时 负整数指数幂 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

18.4 整数指数幂 R·八年级上册 第1课时 负整数指数幂 知识点1 负整数指数幂 你认为牛顿的这个设想合理吗？ 思 考 因为数学家将 aa，aaa，aaaa，···写成 a2，a3，a4，···，所以我将 ， ， ，···写成 a-1，a-2，a-3，···. 如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 探究新知 试说说当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意义？ 当 m 是正整数时，am 表示 m 个 a 相乘； 当 m 是 0 时，am 即为 a0，值为 1； 当 m 是负整数时，am 即为 a –m 的倒数. 归纳 如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 练习 6– 2 = ____； –2– 2 = ____；(– 2) – 3 = ____； =______； =______；b–4 =_____(b ≠ 0). 填空： 27 知识点2 整数指数幂及其运算 引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？ 思 考 ① am·an = am+n (m，n是正整数) ② (am)n = amn (m，n是正整数) ③ (ab)n = anbn (n是正整数) ④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是正整数，m＞n) ⑤ (n是正整数) 探 究 类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试. 例如： (a–3)2 = a–6 = a(–3)×2 (ab)–3 = a–3 · a–3 a–2÷a –4 = a2 = a(–2) – (–4) 即，整数指数幂有以下运算性质： ① am·an = am+n (m，n是整数) ② (am)n = amn (m，n是整数) ③ (ab)n = anbn (n是整数) ④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数) ⑤ (n是整数) 归纳 例1 计算：(1) a–2÷a5； (3) (a–1b2)3； (4) a–2b2·(a2b–2)–3. 解：(1) a–2÷a5 = a–2 – 5 = a–7 (3) (a–1b2)3 = a–3b6 (4) a–2b2·(a2b–2)–3 = a–2b2·a–6b6 = a–8b8 整式指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示. 由于负整数指数的出现，使得： 方法 am÷an = am·a–n = am–n 除法 乘法 转化 同底数幂的： 商的乘方 积的乘方 转化 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： (1) am·an = am+n (m，n是整数) (2) (am)n = amn (m，n是整数) (3) (ab)n = anbn (n是整数) 练习 计算： (1) (3x2y–2)–3； (3) (8a2bc–1)÷(–2a–5b2c–4)； (4) 3m–2n3·(4m–5n2)2. 解：(1)原式 = 3–3x–6y6 (2)原式 = (2p4)–3·(q–7)–3 = 2–3p–12·q21 (3)原式 = (8a2bc–1)·(–2a–5b2c–4)–1 = (8a2bc–1)·(–2)–1a5b–2c4 (4)原式 = 3m–2n3·16m–10n4 随堂练习 1. 填空： 【教材P161练习 第1题】 （1）30 = ____，3–2 = ____； （2）(– 3)0 = ____， (– 3)–2 = ____； （3）b0 = ____，b–2 = ____ . 1 1 1 2. 计算： 【教材P161练习 第2题】 (1) x2y–3·(x–1y)3； (2) (2ab2c–3)÷(a–2b)3. 解：(1)原式 = x2y–3·x–3y3 (2)原式 = (2ab2c–3)·(a–2b)–3 = 2ab2c–3·a6b–3 = x–1y0 = 2a7b–1c–3 3. 已知 a = 2–55，b = 3–44，c = 4–33，d = 5–22，则这四个数从小到大排列的顺序是___________. 解析：因为 a = 2–55 = (2–5)11 b = 3–44 = (3–4)11 c = 4–33 = (4–3)11 d = 5–22 = (5–2)11 而 b<c<a<d 4. 计算： 解：原式 = 1 – 4 + 1 – 25 = – 27 5. 已知 ，求 7–2x 的值. 解：由已知条件得： (2– 1)2x – 1 ·2x + 2 = 16. 所以 2–2x + 1 ·2x + 2 = 16. 所以 2–2x + 1 + x + 2 = 16. 即 2–x + 3 = 24. 所以 –x + 3 = 4，即 x = – 1. 所以 7–2x = 7–2×(– 1) = 72 = 49. a0 = ____(a ≠ 0)， a–n = ____(a ≠ 0，n 是正整数) 探究新知 在整数指数幂中： 1 0.1 = 0.01 = 0.001 = = ； 0.0001 = = . = 10 – 1 = 10 – 2 探究 10 – 3 10 – 4 根据前面的规律填空： 10 – 1 = ____；10 – 2 = ____； 10 – 3 = ______； 10 – 4 = ______；10 – 5 = _______； 10 – 6 = ________. 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 通过上面的探索，你发现指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 一般地，10的 – n 次幂，在 1 前面有____个 0. n 0.003 5 和 0.000 098 2 可以用科学记数法表示吗？ 0.000 098 2 = 9.82×0.000 01= 9.82×10 – 5 0.003 5 = 3.5×0.001 = 3.5×10 – 3 1  a < 10 n 为 a 相对于原数小数点向右移动的位数 a×10 – n 绝对值小于1的数可以用科学计数法表示为 a×10 – n 的形式，其中 1  |a| < 10，n 是正整数. 应用：便于比较数的大小和运算 归纳 例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10 – 6，纳对应10 – 9. 微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1 μm = 10 – 6 m，1 nm=10 – 9 m. 用科学记数法表示绝对值小于1的数： 确定 a：a 是大于或等于 1 且小于 10 的数 1 3 表示数：将原数用科学计数法表示为 a×10-n 的形式 2 确定 n： 方法 方法1：n 等于原数中左起第一个非 0 数字前 0 的个数（包括小数点前的那个0） 方法2：小数点向右移到第一个非 0 数字后，小数点移动了几位，n 就等于几 对于一个小于 1 的正小数，如果 小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0，用科学记数法表示这个数时，10 的指数是多少？ 思 考 小数点后 – 9 如果有 m 个 0 呢？ – m – 1 1. 用科学记数法表示下列各数： 练习 （1）0.0000006 = __________； （2）– 0.0000208 = __________. 2. 将下面用科学记数法表示的数还原： （1）2.01×10–5 = __________； （2）– 3.2 ×10–4 = __________；（3）8.2 ×10–7 = __________. 6×10–7 – 2.08×10–5 0.0000201 – 0.00032 0.00000082 例2 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性. 它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为 2~20 nm. 通常一根头发丝的直径约为 70 μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？ 纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料. 解：70 μm = __________m， 2 nm = __________m， 20 nm = __________m. 70×10– 6 2×10– 9 20×10– 9 (70×10– 6)÷(2×10– 9) = 3.5×104 (70×10– 6)÷(20×10– 9) = 3.5×103 因此，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的3.5×103 ~ 3.5×104 倍. 计算： 练习 （1）(3×10–8)×(4×103) ； （2）(8×10–7)2÷(2×10–3)3 . 1. 系数乘系数，幂乘幂 2. 先乘方，后除法 解：(1)原式 = 12×10–5 = 1.2×10–4 (2)原式 = (64×10–14)÷(8×10–9) = (64÷8)×(10–14÷10–9) = 8×10–5 随堂练习 1. 用科学记数法表示下列数： 【教材P162练习 第1题】 0.000 000 001 ， 0.001 2， 0.000 000 345， 0.000 000 010 8. 1×10–9 1.2×10–3 3.45×10–7 1.08×10–8 2. 计算： （1）(2×10–6)×(3.2×103) ； （2）(2×10–6)2÷(10–4)3 . 解：(1)原式 = 6.4×10–3 (2)原式 = (4×10–12)÷10–12 = (4÷1)×(10–12÷10–12) = 4 【教材P162练习 第2题】 3. 水珠不断地滴在一块石头上，经过40年，石头上形成了一个深为 3.6×10–2 m 的小洞，则平均每个月小洞的深度增加_________m. 解析：40年 = 480 个月= 4.8×102 个月 (3.6×10–2)÷(4.8×102) = 0.75×10–4 = 7.5×10–5 7.5×10–5 4. 标准条件下 1 cm3 空气的质量约为 1.293×10–3 g，则标准条件下 1 m3 空气的质量约是多少克？(用科学记数法表示) 解： 1 m3 = 100×100×100 cm3 = 106 cm3 106×1.293×10–3 = 1.293×103 (g) 因此，标准条件下 1 m3 空气的质量约是 1.293×103 克. 课堂小结 用科学记数法表示绝对值小于1的小数规律： 绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 a×10 – n 的形式，其中 1  |a| < 10，n 是正整数. 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$