5.1 方程 讲义-2025-2026学年人教版七年级上册数学

5.1 方程 讲义-2025-2026学年人教版七年级上册数学 知识梳理 一、方程的基本概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。例如：，这里是未知数，整个式子是一个等式，所以它符合方程的定义。 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。比如在方程中，当时，方程左边，方程右边也是，左右两边相等，所以就是这个方程的解。 二、一元一次方程 1.定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。其一般形式是（，为常数，且）。例如：，是唯一的未知数，次数是，等号两边是整式，满足一元一次方程的定义。 2.解一元一次方程的步骤： 去分母：当方程中有分母时，依据等式的性质，给方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，从而去掉分母。例如对于方程，分母和的最小公倍数是，给方程两边同时乘以，得到，化简为。 去括号：若方程中有括号，根据去括号法则，把括号去掉。就像上面得到的，去括号后变为。 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，注意移项要变号。在中，把移到右边变为，得到。 合并同类项：将方程中同类项进行合并。上式中合并同类项后变为。 系数化为1：在方程中，依照等式的性质，两边同时除以未知数的系数，得到。 三、列方程解应用题的一般步骤 1.审题：认真仔细地阅读题目内容，充分理解题意，准确找出题目中的已知量、未知量以及它们之间存在的关系。 2.设未知数：通常选用字母（如、等）来表示题目中的一个未知量。 3.列方程：依据题目中的等量关系，运用含有未知数的式子表示出等量关系中的各个部分，进而列出方程。 4.解方程：按照解一元一次方程的步骤求出未知数的值。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，查看方程左右两边是否相等，同时还要检验所求得的解是否符合实际问题的意义。 6.作答：写出完整的答案，包括相应的单位等。 例如：一个数的倍加上等于这个数的倍减去，求这个数。 审题：已知一个数与它的倍、倍之间的关系，要求出这个数。 设未知数：设这个数为。 列方程：根据题意可列出方程。 解方程： 移项得：。 合并同类项得：。 系数化为1得：。 检验：把代入原方程，左边，右边，左右两边相等，且符合实际问题的意义。 作答：这个数是。 同步练习 一、选择题 1．下列运用等式的性质变形正确的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列变形正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．方程3x-5=4x+8经移项得3x-4x=8+5，这实际上是在方程两边都加上（　　） A．4x-5 B．4x+5 C．-4x-5 D．-4x+5 4．运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形不正确的是（　　） A．x+2＝y+2 B．3x＝3y C．5﹣x＝y﹣5 D． 6．如果，那么根据等式的基本性质，下列变形正确的是 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果 那么4x-3y=　 　. 8．已知等式 两边都乘以10得到的等式为　 　. 9．将等式3x-2y=7变形成用含 y的代数式来表示x，则x=　 　. 10．观察下表，写出关于x的方程的解是　 　． 11．蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为　 　． 三、解答题 12． 下列各式中，哪些是方程? 如果是方程，说出方程中的未知数。 （1）a+5=-8； （2）3x≠5； （3）x+y=8； （4）7+2=2+7； （5） 13．解方程： （1）3x-7(x-1)=5-2(x+ 3)； （2）x- =2- 14． 小颖碰到这样一道解方程的题：2x=5x，她在方程的两边都除以x， 竟然得到2=5。你能说出她错在哪里吗? 15．上海到北京的高铁的速度从 250 千米/时提高到 350 千米/时，运行时间可缩短 49 分钟，假设从上海到北京需要t小时，请列出一个含未知数t的方程。 16．根据下列条件，设未知数并列出方程。 （1）某数的3倍减去3，等于该数的 加5。 （2）某商店将进价为2500元的某品牌电视机按标价的八折销售，仍可获得220元的利润，求该品牌电视机的标价。 参考答案 1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．24 8．5s=2t 9． 10． 11． 12．（1）解：是等式且含有未知数， ∴是方程； 方程中的未知数为. （2）解：是不等式，不是等式， ∴不是方程. （3）解：是等式且含有未知数和， ∴是方程； 方程中的未知数为和. （4）解：是等式但不含未知数， ∴不是方程. （5）解：是等式且含有未知数和， ∴是方程. 13．（1）解：去括号得：3x-7x+7=5-2x-6， 移项合并得：-2x=-8， 解得：x=4； （2）解：去分母得：10x-5x+5=20- 2x-36， 移项合并得：7x=-21， 解得：x=-3 14．解：小颖的做法是错误的，因为根据等式的基本性质2，等式两边都除以一个不为0的数或整式时等式仍然成立.而“x”是个未知数，所以这样解是错误的. 正确的解法是： 化简得： 所以 15．解：设提高速度后的速度是 v （千米/小时），上海到北京的铁路长为1318千米， ∴. 16．（1）解：设这个数为，由题意列方程得：； （2）解：设该品牌电视机的标价为元。由题意得：. 学科网（北京）股份有限公司 $$