1.1 集合的概念（第一课时）同步检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念（第一课时）（同步检测） 一、选择题 1.(多选)以下元素能构成集合的是(　　) A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流 C.方程x2－1＝0的实数根 D.自然数 2.(多选)下列结论中，正确的是(　　) A.若a∈N，则∉N B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则∈R 3.如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.已知集合M由小于5的数构成，则有(　　) A.3∈M B.－3∉M C.0∉M D.7∈M 5.设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　) A.－5　　　B.－4 C.4 D.5 6.下列各组对象可以组成集合的是(　　) A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系中第一象限的一些点 D.所有小的正数 7.若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知x∈R，由x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有元素的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 9.满足x－1＜的x构成集合A，则下列各式正确的是(　　) A.3∈A且－3∉A B.3∈A且－3∈A C.3∉A且－3∉A D.3∉A且－3∈A 二、填空题 10.已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________ 11.已知集合M中有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________ 12.若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________ 13.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 025＝________ 三、解答题 14.已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R． (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 15.已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 参考答案及解析： 一、选择题 1.ACD　解析：A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合；C中，方程x2－1＝0的实数根为－1和1，能构成集合；D中，自然数具有确定性，能构成集合． 2.BC　解析：A不正确，如a＝1∈N，＝1∈N；D不正确，如a＝－1∈R，无意义；B，C都正确． 3.D　解析：根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D． 4.A　解析：∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A． 5.A 解析：因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5. 6.B 解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系中第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B． 7.C 解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有－1，2，3共3个元素．故选C． 8.A 解析：因为x，－x，|x|，＝|x|，－＝－x中，至多有2个不同的实数，所以组成的集合中最多含有元素的个数是2．故选A． 9.D 解析：因为3－1＝2＞，所以3∉A．又因为－3－1＝－4＜，所以－3∈A. 二、填空题 10.答案：a>－4　 解析：因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a>－4． 11.答案：3　 解析：因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1，所以4＝a＋1，所以a＝3． 12.答案：x≠0且x≠3　 解析：由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3． 13.答案：－1 解析：由题意，得＝0且a≠0，a≠1，所以b＝0，a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍去)，所以a2 024＋b2 025＝－1. 三、解答题 14.解:(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1． 若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1． (2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1． 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意． 综上，实数a的值为1． 15.解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b. 故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z. 当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立； 当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立． 故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$