2024--2025学年人教版九年级数学上册 教案 （简版）

**教育集团教案 （2024-2025 学年第一学期） 九年级数学学科上册 学 校 教师姓名 主教学科 2024 年 8 月 9 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 第二十一章《一元二次方程》单元教学设计 一、单元教学目标 1. 知识与技能目标 . 理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式。 . 熟练掌握一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程的特点选择合适的解法。 . 理解一元二次方程根的判别式，会用判别式判断方程根的情况。 . 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能运用其解决相关问题。 . 能运用一元二次方程解决简单的实际问题，包括列方程解应用题，培养学生的数学建模能力和分析问题、解决问题的能力。 2. 过程与方法目标 . 通过对 一元二次方程 概念的学习和理解，培养学生的抽象思维和归纳概括能力。 . 在探究一元二次方程解法的过程中，让学生经历观察、比较、分析、归纳等数学活动，体会化归、降次等数学思想方法。 . 通过实际问题的解决，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，以及运用方程思想解决问题的能力。 3. 情感态度与价值观目标 . 在学习过程中，培养学生积极思考、勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣和求知欲。 . 通过小组合作学习，培养学生的合作交流意识和团队协作精神。 . 让学生体会数学知识在实际生活中的广泛应用，感受数学的价值，培养学生的应用意识和实践能力。 二、单元教学重难点 1. 教学重点 . 一元二次方程的概念、一般形式及解法。 . 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。 . 列一元二次方程解应用题。 2. 教学难点 . 灵活运用各种解法解一元二次方程，尤其是配方法和公式法的理解与掌握。 . 对一元二次方程根的判别式的理解和应用。 . 如何从实际问题中准确地找出等量关系，建立一元二次方程模型。 三、单元教学方法 1. 讲授法：讲解一元二次方程的基本概念、定理、公式等知识。 2. 探究法：引导学生通过探究活动，自主发现一元二次方程的解法和性质。 3. 练习法：通过大量的练习题，巩固学生对知识的掌握和应用。 4. 讨论法：组织学生进行小组讨论，交流解题思路和方法，培养学生的合作能力和思维能力。 5. 多媒体辅助教学法：利用多媒体展示图片、动画、视频等，帮助学生更好地理解抽象的数学知识。 四、单元教学过程 1. 第一课时：一元二次方程的概念 . 创设情境，通过实际问题（如面积问题、增长率问题等）引出一元二次方程，让学生感受一元二次方程在实际生活中的应用。 . 引导学生观察、分析所列出的方程，总结一元二次方程的概念和一般形式，强调二次项系数不为 0 的条件。 . 举例巩固，让学生判断哪些是一元二次方程，哪些不是，并说明理由。 . 布置作业，让学生自己编写一个一元二次方程的实际问题并求解。 2. 第二课时：一元二次方程的解法（直接开平方法） . 复习平方根的概念和性质，为直接开平方法解一元二次方程做铺垫。 . 通过具体例子，讲解直接开平方法的解题步骤，如对于方程，直接得出。 . 给出一些类似的方程，让学生练习用直接开平方法求解。 . 引导学生思考，什么样的一元二次方程适合用直接开平方法解。 . 布置作业，让学生完成一些用直接开平方法解一元二次方程的练习题。 3. 第三课时：一元二次方程的解法（配方法） . 提出问题，如何将方程转化为可以直接开平方的形式。 . 讲解配方法的原理和步骤，即通过在方程两边加上相同的数，使左边配成完全平方式。 . 以具体例子详细演示配方法的过程，如将转化为，再求解。 . 让学生练习用配方法解一些一元二次方程。 . 总结配方法的适用范围和注意事项。 . 布置作业，让学生用配方法解给定的一元二次方程。 4. 第四课时：一元二次方程的解法（公式法） . 引导学生回顾用配方法解一元二次方程的过程，推导一元二次方程的求根公式。 . 详细讲解求根公式的使用方法，强调判别式的作用。 . 给出不同类型的一元二次方程，让学生用公式法求解。 . 组织学生讨论，在什么情况下使用公式法比较简便。 . 布置作业，让学生用公式法解一些复杂的一元二次方程。 5. 第五课时：一元二次方程的解法（因式分解法） . 复习因式分解的方法，如提公因式法、公式法等。 . 通过实例，讲解如何用因式分解法解一元二次方程，如对于方程，分解为，从而得到或。 . 让学生练习用因式分解法解一些一元二次方程。 . 引导学生比较因式分解法与其他解法的优缺点。 . 布置作业，让学生用因式分解法解给定的一元二次方程。 6. 第六课时：一元二次方程根的判别式 . 引导学生思考，对于一元二次方程，方程的根的情况与哪些因素有关。 . 讲解根的判别式的定义和作用，即，根据的值判断方程根的情况。 . 举例说明如何用判别式判断方程根的情况，如当时，方程有两个不 相等 的实数根。 . 让学生练习用判别式判断给定方程根的情况。 . 布置作业，让学生根据判别式确定方程中参数的取值范围。 7. 第七课时：一元二次方程根与系数的关系 . 提出问题，已知一元二次方程的两个根，能否求出方程中的系数。 . 讲解韦达定理的内容，即对于方程（），若其两根为，，则有，。 . 通过例子，让学生验证韦达定理的正确性。 . 给出一些已知根求系数或已知系数求根的问题，让学生练习运用韦达定理。 . 布置作业，让学生用韦达定理解决相关问题。 8. 第八课时：一元二次方程的应用（一） . 展示一些实际问题，如利润问题、增长率问题等，引导学生分析问题中的数量关系，建立一元二次方程模型。 . 以利润问题为例，讲解如何设未知数、列方程、解方程并检验答案的合理性。 . 让学生分组讨论其他实际问题，尝试建立方程模型并求解。 . 各小组展示成果，交流解题思路和方法。 . 布置作业，让学生完成一些实际问题的应用题。 9. 第九课时：一元二次方程的应用（二） . 复习上节课的内容，回顾建立一元二次方程模型解决实际问题的步骤。 . 给出一些更复杂的实际问题，如几何图形问题、行程问题等，引导学生深入分析，找出等量关系。 . 讲解如何将实际问题转化为数学问题，建立合适的一元二次方程并求解。 . 让学生独立思考并解决一些类似的问题。 . 总结解决实际问题的关键和注意事项。 . 布置作业，让学生完成一些综合性的实际问题应用题。 10. 第十课时：单元复习与总结 . 引导学生回顾本单元所学的知识点，包括一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系以及应用等。 . 组织学生进行小组讨论，交流本单元学习的收获和遇到的问题。 . 教师针对学生的问题进行答疑解惑，强调重点和难点。 . 进行课堂小测验，检查学生对本单元知识的掌握情况。 . 布置课后作业，让学生完成本单元的综合练习题，巩固所学知识。 五、教学评价 1. 课堂提问：通过课堂提问，了解学生对一元二次方程概念、解法等知识的掌握程度，及时给予反馈和指导。 2. 作业批改：认真批改学生的作业，发现学生存在的问题，及时进行个别辅导或集体讲评。 3. 小测验：定期进行小测验，检查学生对本单元知识的阶段性掌握情况，以便调整教学进度和方法。 4. 课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括参与度、思维活跃程度、小组合作能力等，对学生的学习态度和学习能力进行评价。 5. 单元测试：在单元结束后进行一次全面的测试，考查学生对本单元知识的综合掌握情况，评估教学效果。 六、教学资源 1. 人教版九年级数学上册教材。 2. 相关的教学辅导资料和练习题集。 3. 多媒体课件，用于展示图片、动画、视频等教学资源。 4. 网络资源，如数学教学网站、在线课程平台等，为学生提供更多的学习资源和拓展学习的机会。 10 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 21.1 一元二次方程 课型 新授课 教学目标 1.了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念。 2.通过设置问题，建立数学模型， 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。 3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 教学重点 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决 问题。 教学难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到 一元二次方程的概念。 教学准备 教师 课件 教案 学生 课本 练习本 课堂教学过程 二次备课 21．1 一元二次方程 一、引入 学生活动：列方程. 问题（1）古算趣题： “执竿进屋 ” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿 对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算 出我佩服。 如果假设门的高为 x 尺， 那么， 这个门的宽为 尺，长为 尺， 根据题意， 得 ． 整理、化简，得： . 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题. （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ (2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ (3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评： (1）都只含一个未知数 x； (2）它们的最高次数都是 2 次的； (3）都有等号，是方程. 11 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（ 一元），并且 未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下 形式 ax²+bx+c=0（a≠0）．这 种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二 次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 例 1．将方程 3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数、一次项系 数及常数项. 分析：一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0（a≠0）．因此，方程 3x（x-1）=5(x+2)必须运用整 式运算进行整理，包括去括号、移项等. 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的 符号. 例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程 （x+1）²+（x-2）（x+2）= 1 化成一元二次方程 的一般形式，并写出 其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项. 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）²+（x-2）（x+2）=1 化 成 ax²+bx+c=0（a≠0）的形式. 三、巩固练习 教材 练习 1、2 补充练习 :判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2- 5x =0 (4) x2-4= (x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 四、应用拓展 例 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值， 该方程都是一元二次方程. 分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m²-8m+17 ≠0 即可. 证明：m²-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论 m 取何值，该方程都是一元 二次方程. 练习 : 1.方程（2a—4）x²—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次 12 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 方程？ 在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当 m 为何值时,方程(m +1)x4m2 -4 + 27mx + 5 = 0 是关于 x 的一元二 次方程 五、归纳小结 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念； 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 和二次项、二次项 系数， 一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 选 做 三、综合应用 四、拓展延伸 板书 设计 21．1 一元二次方程 1、一元二次方程的概念：只有一个未知数，并且未知数 的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般式： ax2+bx+c=0（a≠0） 3 、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的 未知数的值叫做一元二次方程的根。 教学 反思 13 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 21.2.1 配方法 课型 新授课 教学目标 1.理解通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题. 2.通过复习可直接化成 x²=p（p ≥0）或（mx+n）²=p（p ≥0）的一元二次方程的解 法， 引 入不能直接化成上面两种形式的解题步骤. 3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 教学重点 解形如 x2=p (p ≥0)的方程. 用配方法解一元二次方程. 教学难点 把一个方程化成 x2=p (p ≥0)的形式. 用配方法解一元二次方程的方法和技巧 教学准备 教师 教案 课件 学生 课本 练习本 课堂教学过程 二次备课 21.2.1 配方法 一、复习引入 1．（学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2 -9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 老师点评：前三个方程都能化成 x2=p 或（mx+n）2=p（p ≥0）的形式， 那么可得 x= ± p 或 mx+n= ± p （p ≥0）. 2．填空： (1)x2－8x＋__16__＝ (x－__)2； (2)9x2＋12x＋ 4 ＝ (3x＋ )2； (3)x2 ＋px＋ ＝ (x＋ )2. 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把 4x2+16x=-7 化成（2x+4）2=9 吗? 二、探索新知 问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m ( 2) ，场地 的长和宽分别是多少米？设场地的宽为 xm，则长为__ (x＋6)__m，根据 矩形面积为 16 m ( 2) ，得到方程 ，整理得到 . 探究：怎样解方程 x2＋6x－16＝0? 14 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 对比这个方程与前面讨论过的方程 x2＋6x＋9＝4，可以发现方程 x2＋6x +9＝4 的左边是含有 x 的 完全平方形式，右边是非负数，可以直接降 次解方程；而方程 x2＋6x－16＝0 不具有上述形式，直接降 次有困难， 能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 解：移项，得 x2＋6x＝16， 两边都加上 即 ，使左边配成 x2＋bx＋(b2)的形式，得 __x2__＋6 x ＋9＝16＋ 9 ， 左边写成平方形式，得 __ (x＋3)2= 25 ， 开平方，得 __x＋3= ±5__， (降次) 即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__， 解一次方程，得 x1＝ 2 ，x2＝__－8__. 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法； 配方的目的是为了降次， 把一元二次方程转化为两个一元一次方程. 问题 2：解下列方程： (1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0； (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数 a； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二 次方程化为两个一元一次 方程来解. 三、学习检测 1．填空： (1)x² +6x＋ 9 ＝ (x＋ 3 )2； (2)x² -x＋1/4__＝ (x－ )2； 2．解下列方程： (1)x² +6x＋5＝0; (2)2x² +6x＋2＝0； 解： (1)移项，得 配方得 x² +6x＋ ＝ －5， (x＋3)2 ＝4， 由此可得 x＋3= ±2，即 x1＝－1，x2＝－5. 15 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 (2)移项，得 二次项系数化为 1，得 配方得 x2＋3x＋(32)= , 由此可得 ， 即 x1＝ ， x2= 四、课堂小结 学生总结本堂课的收获与困惑. 1．用配方法解一元二次方程的步骤. 2．用配方法解一元二次方程的注意事项. 本节课应掌握：左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边 是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数， 可以直接降次解方程的方程. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 选 做 三、综合应用 四、拓展延伸 板书 设计 21．2.1 配方法 用配方法解一元二次方程的步骤： 1 、化二次项系数为 1。 2 、把常数项移到方程的右边。 3、配方，方程两边加上一次项系数的一半的平方。 4 、写成（x+n)2=p(p≥0)的形式（直接开平方法） 5 、直接开平方法求解。 教学 反思 16 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 21.2.2 公式法 课型 新授课 教学目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法 解一元二次方程. 2. 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax²+bx+c=0（a≠0） 的 求根公式的推导公式， 并应用公式法解一元二次方程. 3.师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦。 教学重点 求根公式的推导和公式法的应用 教学难点 一元二次方程求根公式法的推导. 教学准备 教师 课件 教案 学生 课本 练习本 课堂教学过程 二次备课 21.2.2 公式法 一、复习引入 1. 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法 ”，比如， 方程（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问 1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问 2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数 ”的 特殊二次方程有效，不能实施 于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？ （使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方 ”的形 式。） 用配方法解方程 x2+3=7x 总结：用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）. (1) 现将已知方程化为一般形式； （2）化二次项系数为 1； （3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平 方式； （5）变形为(x + p)ʹ=q 的形式，如果 q≥0 ，方程的根是 x=-p±√q；如 果 q＜0,则方程无实根. 17 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 二、探索新知 思考：如果这个一元二次方程是一般形式 ax² +bx＋c ＝0(a≠0) ，你能否 用上面配方法的步骤求出 它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a 、b 、c 也当成 一个具体数字，根据上面 的解题步骤就可以一直推下去. 问题 1. 已知 ax² +bx＋c ＝0(a≠0) ， 配方得： 推导得它的两个根 x1 ＝ ，x2 = 探究：一元二次方程 ax² +bx＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数 a ，b ，c 而 定，因此： (1) 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax² +bx＋c ＝0， 当 b² -4ac≥0 时，将 a ，b ，c 代入式子 x= 就得到方程的根，当 b² -4ac＜0 时，方程没有实数根. (2)x ＝ 叫做一元二次方程 ax² +bx＋c ＝0(a≠0)的求根公式. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__ 个实数根，也可能有 个 实根或者没有__实根. (5)一般地，式子 b² -4ac 叫做方程 ax² +bx＋c ＝0(a≠0)的根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示， 即Δ =b² -4ac. 问题 2. 例 1 ．用公式法解下列方程. （1）2x²-x- 1=0 （2）x²+1.5=-3x （3）4x²-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入 公式即可. 三、巩固练习 1.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ (1)2x²-3x ＝0； (2)3x²-23x＋1 ＝0； (3)4x²+x＋1 ＝0. 解： (1)x1＝0，x2＝__；有两个不相等的实数根； (2) x1＝x2＝__ (3) 有两个相等的实数根； (4)无实数根. 点拨精讲： Δ >0 时，有两个不相等的实数根； Δ = 0 时，有两个相等 的实数根； Δ＜0 时，没有 实数根. 18 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 2. 方程 x² -4x＋4＝0 的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 3．当 m 为何值时，方程(m＋1)x² -(2m－3)x＋m＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 四、课堂小结 学生总结本堂课的收获与困惑 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 21.2.2 公式法 用公式法解一元二次方程的步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a,b,c 的值（注意符号） 2 、求出 Δ 的值： Δ=b2－4ac 3 、若 Δ ≥0 ，代入求根公式：x ≖ —b土 2a (b2) —4ac 若 Δ＜0，无需代求根公式，直接写此方程无解。 教学 反思 19 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师：**老师 课题 21.2.3 因式分解法——解一元二次方程 课型 新授课 教学目标 1.掌握用因式分解法解一元二次方程。 2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因 式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。 3.了解由二次向一次的“转化 ”思想在解方程中的应用，培养学生的学习兴趣，提 高学习效率。 教学重点 会用因式分解法解一些一元二次方程. 教学难点 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。 教学准备 教师 多媒体 教材 学生 教材 练习本 课堂教学过程 二次备课 21.2.3 因式分解法——解一元二次方程 一、旧知回顾 问题 1：我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？解一元二次方程的 基本思路是什么？ 答：①直接开平方法，②配方法，③求根公式法. 问题 2： 什么叫分解因式？（提问学生） 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解 因式或因式分解。 问题 3： 分解因式的方法有哪些? （1）提取公因式法 : ma+mb+cm=m(a+b+c). （2）公式法 : a2-b2= (a+b)(a-b), a2 ±2ab+b2= (a±b)2. （3）十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 二、探究新知 1、问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度 竖直上抛，那么经过 xs 物体离地面的高度（单位：m）为 10x-4.9x2 ， 根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s） 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即 20 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 10x-4.9x2=0 分别用配方法和公式法解 2、探究：有更简单的解法吗？ 10x-4.9x2=0 x（10-4.9x）=0 x=0 或 10-4.9x=0 x1=0，x2=2.04 3、讨论：以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方程降为一 次的？ 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这 两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做 因式分解法。 学生把用这个方法得到的方程的与前面用公式法、配方法所得的答 案比，得出结论：结果一样，方法比较简便。 三、例题精析，知识领悟 例： 用因式分解法解方程 x-2=x(x-2) 解：移项，得 x-2-x(x-2)=0 (将方程的右边化为 0) 因式分解，得 (1-x) (x-2)=0 (将方程的左边分解因式) 得 1-x=0 或 x-2=0 (转化为两个一元一次方程) ∴ x1=1 ，x2=2 (两个一元一次方程的解就是原方程的解) 因式分解法解一元二次方程的步骤： 简记：右化零， 左分解，两因式， 各求解。 四、达标检测，知识巩固 1、解下列方程： 2、把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍， 求小圆形场地的半径。 21 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 五、归纳小结 分解因式法解一元二次方程的步骤是 : 1. 将方程左边因式分解，右边等于 0； 2. 根据“至少有一个因式为零 ”,转化为两个一元一次方程； 3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根。 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 21.2.3 因式分解法——解一元二次方程 1、定义：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式, 再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次.这种解法叫 做因式分解法. 2 、因式分解法解一元二次方程的步骤： 简记：右化零， 左分解，两因式， 各求解。 教学 反思 22 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 21.3.2 实际问题与一元二次方程——平均变化率 问题 课型 新授课 教学目标 1．通过平均变化率问题，学会将实际应用问题转化为数学问题. 2．根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理. 教学重点 建立一元二次方程解决平均增长率问题. 教学难点 探究增长率问题中的等量关系. 教学准备 教师 多媒体 教材 学生 教材 练习本 课堂教学过程 二次备课 21.3.2 实际问题与一元二次方程——平均变化率问题 一、复习导入 1.某种玉米去年的亩产量是 600 千克 ，今年的亩产量增长了 20％，今年 的玉米的亩产量是多少? 2.去年光明小学的学生人数是 3000 人，今年的人数下降了 15％，今年光 明小学的学生人数是多少？ 3.石泉县 2013 年的房价每平方米是 2500 元，2014 年比 2013 年增长了 10％,2015 年比 2014 年增长了 10％,2015 年的房价每平方米是多少元？ 二、分析问题 ，建立模型 探究 2：两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药 品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的 成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本 的年平均下降率较大？ 分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5000 -3000)÷2＝1000（元）； 乙种药品成本的年平均下降额为(6000- 3600)÷2＝1 200（元）. 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元） 不等同于年平均下降率 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为 5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1－x)2 元，于是有 5 000(1－x)2 ＝3 000. 29 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 解方程，得 x1 ≈0.225，x2 ≈1.775. 根据药品的实际意义， 甲种药品成本的年平均下降率约为 22. 5%. 答： 甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%. 算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品 成本的年平均下降率. 解：设乙种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后乙种药品成本 为 6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为 6 000(1－x)2 元，于是有 6 000(1－x)2 ＝3 600. 解方程，得 x1 ≈0.225，x2 ≈1.775. 同理，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5%. 甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同， 均约为 22.5%. 三、方法总结，知识内化 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它 的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？ 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大， 应比较降前及降后的价格. 小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或 降低）百分率为 x ，增长（或降低）前的是 a ，增长（或降低）n 次后的 量是 b，则它们的数量关系可表示为 a (1±x)n ＝b（增长取＋，降低取-) . 四、巩固新知 1.某厂今年一月的总产量为 500 吨,三月的总产量为 720 吨,平均每月增长 率是 x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2. 受全球金融危机的影响，2015 年某家电商城的销售额由第二季度的 800 万元下降到第四季度的 648 万元，则该商城第三、四季度的销售额 平均下降的百分率为( ) A. 10% B.20% C. 19% D.. 25% 3.商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个 月前下降了 36％， 问平均每月降价百分之几？ 4. 某新华书店计划第一季度共发行图书 122 万册，其中一月份发行图书 32 万册，二、三月份平均每月的增长率相同.求二、三月份各应发多少万 册？ 30 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 五、师生互动，课堂小结 类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式，若 平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后 的则它们的数量关系可表示为: a (1±x)n ＝b 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合运用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 21.3.2 实际问题与一元二次方程——平均变化率 问题 若平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后的则 它们的数量关系可表示为: a (1±x)n ＝b 教学 反思 31 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 21.3.3 实际问题与一元二次方程——面积问题 课型 新授课 教学目标 1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中 的等量关系，建立一元二次方程， 体会数学模型在解决现实生活问题中的作用. 2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性. 教学重点 列一元二次方程解决实际应用问题. 教学难点 寻找问题中的等量关系. 教学准备 教师 多媒体 教材 学生 教材 练习本 课堂教学过程 二次备课 21.3.3 实际问题与一元二次方程——面积问题 一、复习导入 1．通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ 2．上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题 ”，现在，我们要 学习解决“面积问题 ”. （1）直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么 呢？ （2）正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？ （3）梯形的面积公式是什么？ （4）菱形的面积公式是什么？ （5）平行四边形的面积公式是什么？ 二、分析问题，建立模型 探究 3： 如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是 一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面 积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 ，应如何 设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 32 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 思考：（1）本题中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个 封面长宽比例相同的 矩形如何理解？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出 方程？ 分析：依据题意可知，封面的长宽之比是 27∶21＝9∶7 ，中央的矩 形的长宽之比也应是 9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是 9acm 和 7acm， 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 (27－9a) ∶ (21－7a) =9(3－a)∶7(3－a) =9∶7. 设上、下边衬的宽均为 9x cm，则左、右边衬的宽均为 7x cm，则中 央矩形的长为(27－18x) cm，宽为(21－14x) cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形 的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程 (27－18x)(21－14x)= 3 4 ×27×21. 整理，得 16－48x＋9＝0 解方程，得 x＝ ， 三、方法总结，知识内化 思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 请你试一试. 探究 4、如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上， 修筑同样宽的两 条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地， 要使得耕地的面积为 500m2 ，道路的宽为多少？ 解法一：设 道路的宽为 x，我们利用“ 图形经过移动，它的面积大小不 会改变 ”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（ 目的是 求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路） 则可列方程 (20－x)(32－2x)＝500， 整理，得 x ( 2)－36x＋70＝0. 解法二：20×32－2×20x－32x＋2x ( 2) ＝50 四、巩固新知 33 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 如图， 是长方形鸡场平面示意图，一边靠 墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总 长为 35m，所围的面积为 150m2，则此长方 形鸡场的长、宽分别为 . 五、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，谈谈你对列一元二 次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合运用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 21.3.3 实际问题与一元二次方程——面积问题 解一元二次方程的一般步骤： 1 、审: 2 、设 : 3 、列 4 、解 : 5 、验 6 、答: 教学 反思 34 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 第二十二章《二次函数》单元教学设计 一、单元教学目标 1. 知识与技能目标 . 理解二次函数的概念、图象和性质。 . 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。 . 会用待定系数法求二次函数的解析式。 . 能利用二次函数的图象与性质解决实际问题。 2. 过程与方法目标 . 经历探索 二次函数 图象和性质的过程，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力。 . 通过解决实际问题，提高学生的数学建模能力和应用意识。 3. 情感态度与价值观目标 . 让学生在探索和解决问题的过程中，体验数学的价值和乐趣。 . 培养学生的合作精神和创新意识。 二、单元教学重难点 1. 重点 . 二次函数的概念、图象和性质。 . 用待定系数法求二次函数的解析式。 . 利用二次函数的图象与性质解决实际问题。 2. 难点 . 理解二次函数图象与系数的关系。 . 建立二次函数模型解决实际问题。 三、单元教学方法 1. 讲授法：讲解二次函数的概念、性质和解题方法。 2. 讨论法：组织学生讨论二次函数的图象和实际问题的解决方案。 3. 探究法：引导学生自主探究二次函数的性质和应用。 四、单元教学过程 1. 第一阶段：二次函数的概念 . 通过实际问题引入二次函数的概念，如 抛物线 型的拱桥、喷泉等。 . 分析二次函数的一般式²（）中、、的作用。 . 举例巩固二次函数的概念。 2. 第二阶段：二次函数的图象 . 介绍用描点法画二次函数图象的步骤。 . 画出不同类型二次函数的图象，如²、²、²等，观察图象的特点。 . 总结二次函数图象的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标等。 3. 第三阶段：二次函数的性质 . 分析二次函数的增减性、最值等性质。 . 探讨二次函数图象与系数、、的关系。 . 通过例题和练习巩固二次函数的性质。 4. 第四阶段：求二次函数的解析式 . 介绍用待定系数法求二次函数解析式的方法。 . 分别讲解已知三点坐标、顶点坐标和对称轴等条件下求解析式的方法。 . 进行相应的练习。 5. 第五阶段：二次函数的应用 . 结合实际问题，建立二次函数模型。 . 利用二次函数的性质解决实际问题，如利润最大、面积最大等问题。 . 组织学生进行小组讨论和交流，分享解决问题的思路和方法。 五、单元教学评价 1. 课堂表现评价：观察学生的课堂参与度、发言情况、小组合作能力等。 2. 作业评价：检查学生的作业完成情况、正确率和书写规范。 3. 测验评价：定期进行单元测验，考查学生对二次函数知识的掌握程度。 4. 项目评价：对学生在实际问题解决中的表现进行评价，包括问题分析、模型建立、结果合理性等方面。 35 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师：**老师 课题 22.1.1 二次函数的定义 课型 新授课 教学目标 1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点 能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 重视二次函数 y=ax2+bx+c 中 a≠0 这一隐含条件. 教学准备 教师 多媒体 教材 学生 教材 练习本 课堂教学过程 二次备课 22.1.1 二次函数的定义 一、旧知回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样 的？ 二、探究新知 教材第 28～29 页 “思考 ”以上内容. 提出问题： （1）正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 之间有什么关系呢？ （2）问题 1 中，每个队要与其他多少个球队各比赛一场？整个比赛 场次数应为多少？这里 m 是 n 的函数吗？ （3）问题 2 中，这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是多少 t？ 再经过一年后的产量是多少 t？即两年后的产量是多少？ （4）这三个函数解析式具有哪些共同特征？ 三、知识归纳 （一）、一般地，形如 y= （a，b，c 是常数，且 a≠0）的函数， 叫做二次函数. 36 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 其中 ，x 是 ，a ，b ， c 分别是函数解析式的 、 和 . （二）、练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x+2 （2）y=-x²+2x (3) y=(2x- 1)2+2 (4) y=3- x ² (5)y= -x ² (6) y=(x+3) ²-x ² 四、典例赏析及练习 例 1 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽 为（x+1）cm 的小矩形，剩余部分的面积为 y cm2.写出 y 与 x 之间的关 系式，并指出 y 是 x 的什么函数？ 例 2 判断函数 y=（x-2）（3-x）是否为二次函数，若是，写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由. 变式一：已知两个变量 x，y 之间的关系式为 y=（m-2） xm2 -2 +x-1， 若 x，y 之间是二次函数关系，求 m 的值. 变式二： 已知两个变量 x，y 之间的关系式为 y=（a-2）x2+（b+2） x-3. （1）当 时，x，y 之间是二次函数关系； （2）当 时，x，y 之间是一次函数关系. 五、课堂小结 1.请叙述二次函数的定义. 2.二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）： ①解析式为整式； ②自变量的最高次数为 2； ③二次项的系数不为 0. 3. 自变量 x 的取值范围为：全体实数. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合运用 选 做 四、拓展延伸 37 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 板书 设计 22.1.1 二次函数的定义 一般地，形如 y=ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0 ) 的函数，叫做二次函数. 其中，x 是自变量，a，b，c，分别是函数解析式的 二次项系数、一次项系数和常数项. 教学 反思 38 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师：**老师 课题 22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质 课型 新授课 教学目标 1．能够用描点法画函数 y=ax2 的图象，并能根据图象认识和理解其性质. 2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数与形结合与转化. 教学重点 1.理解并掌握二次函数 y=ax2 的性质. 2.掌握二次项系数 a 的作用. 教学难点 理解并掌握二次函数 y=ax2 的性质. 教学准备 教师 课件、三角尺 学生 三角尺、铅笔 课堂教学过程 二次备课 ( 0 x )22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质 一、创设情景，引出课题 ) 复习回顾：1.画函数图象的方法和步骤？ 方法：描点法； 步骤：列表——描点——连线； 列表：注意自变量的取值范围； 描点：先建系，根据表格确定点的坐标； 连线：用光滑的曲线连接. 探究 1、二次函数 y = x2 的图象和性质 用描点法画二次函数 y = x2 的图象 y=x2 解 : (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... 4 1 0 1 4 ... 观察二次函数 y=x2 的图象，回答下面问题： (1) 二次函数y=x2 的图象是抛物线； (2) 开口向上； (3) 轴对称图形，对称轴为y 轴 (4) 抛物线与对称轴的交点叫顶点，y =x2 的顶点为(0，0)，顶点是最低点； (5) 有最小函数值，当 x =0 时，y 最小=0 39 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 (6) 在对称轴y 轴的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴y 轴的左侧， y 随 x 的增大而增大. 二、 提炼概念 归纳总结： a>0，开口向上，对称轴为y 轴；顶点(0、0)；函数值有最小值；增减性： 在对称轴y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 随 x 的增大而 增大. a<0，开口向下，对称轴为y 轴；顶点(0、0)；函数值有最大值；增减性： 在对称轴y 轴左侧，y 随 x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随 x 的增大而 减小. |a |越大，抛物线的开口越小. a>0 图象 a<0 图象 ( O ) y x y O x 三、典例精讲 例 1 在同一直角坐标系中画出函数 y = 解:(1) 列表 1 2 x 2 和y=2x2 的图象 x ... -2 -1 0 1 2 ... 1 2 y=2x ... 2 0.5 0 0.5 2 ... y =2x2 ... 8 2 0 2 8 ... (2) 描点 (3) 连线 观察上面的图象，类比 y=x2 的图象和性质，说一说y=x2 和 y=2x2 的图象和性质？ y=x2 和y=2x2 的图象都是抛物线 性质：（1）开口向上；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是（0 ，0）；（4）顶 点是抛物线的最低点；（5）当 x =0 时，抛物线有最小函数值y=0；（6） 在对称轴y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴y 轴右侧，y 随 x 的 40 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 增大而增大 思考： y =x2 ，y=x2 和y=2x2 的图象和性质有什么相同点和不同点? 相同点：图象都是抛物线，开口方向、对称轴、顶点、最小值、增减性、 对称性都相同； 不同点：解析式中的 a 值不同，图象的开口大小不同. 小结：a>0 ，a 越大，抛物线的开口越小. 小结：a>0 时，二次函数y=ax2 的图象和性质： 图象都是抛物线， 探究 2 、画出 y= -x2 ，y=-x2 和 y= -2x2 的图象， 并说出它们的性质. 图象都是抛物线， 性质：（1）开口向下；（2）对称轴为 y 轴；（3） 顶点(0 、0)；（4）函数值有最大值；（5）增减性：在对称轴y 轴左侧，y 随 x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随 x 的增大而减小. 不同点：解析式中的 a 值不同，图象的开口大小不同. 小结：a<0 ，|a |越大，抛物线的开口越小. 四、巩固训练 1. 关于二次函数 y ＝3x2 的图象，下列说法错误的是( ) A ．它是一条抛物线 B ．它的开口向上，且关于 y 轴对称 C ．它的顶点是抛物线的最高点 D ．它与 y ＝－3x2 的图象关于 x 轴对称 2.若抛物线 y=ax2 （a ≠ 0），过点（ - 1 ，2）. （1）则 a 的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 .（3）顶点坐标 是 ，顶点是抛物线上的最 值. 抛物线在 x 轴的 方（除顶点 外）.(4) 若 A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且 x1<x2<0,则 y1 y2. 3.已知函数 y=(m- 1)xm2-2m+2 是二次函数， 且开口向上. (1)求 m 的值； (2)求出二次函数的解析式？ (3)写出此函数的增减性？ 五、课堂小结 41 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.1.2 二次函数 y=a的图象和性质 探究 1 探究 2 小结 小结 教学 反思 42 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师：**老师 课题 22.1.3.1 二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 课型 新授课 教学目标 1.理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2.会用描点法画出二次函数y=ax2 +c(a≠0)的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、 顶点、开口方向等概念； 3.掌握二次函数y=ax2 +c(a≠0)的图象的性质，掌握二次函数y=ax2(a≠0)与 y =ax2 +c(a≠0)之间的关系；（上加下减）. 教学重点 1.理解并掌握二次函数y=ax2 +c 的性质. 2.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2 +c(a≠0)之间的关系. 教学难点 理解并掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2 +c(a≠0)之间的关系 教学准备 教师 课件、三角尺 学生 三角尺、铅笔 课堂教学过程 二次备课 22.1.3.1 二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 一、创设情景 问题 1 在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线， 二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？ 问题 2 你能画出二次函数 y=x2 的图象吗？ 二、探究新知 问题 1 你能说说二次函数 y=x2 的图象有哪些特征吗？不妨试试看， 并与同伴交流. 问题 2 请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈 它们的特征及其差异. y= x2 与 y=2x2. 1 问题 3（1）在同一直面坐标系中，画出函数 y=-x2,y=- 2 x2,y=-2x2 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？ （2）当 a<0 时，二次函数 y=ax2 的图象有什么特点？ 43 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 归纳结论： 1.二次函数 y=ax2 的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫做抛物线 y=ax2+bx+c. 2.二次函数 y=ax2 的图象及其性质，如下表所示： 3.二次函数 y=ax2 的开口大小与 a 的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小， 开口越大.|a|值相同，开口形状相同. 三、巩固训练 1.若抛物线 y=ax2 与 y=4x2 的形状及开口方向均相同，则 a= . 2.下列关于二次函数 y=ax2(a ≠0)的说法中，错误的是( ) A.它的图象的顶点是原点 B. 当 a<0 ，在 x=0 时，y 取得最大值 C.a 越大，图象开口越小;a越小，图象开口越大 D. 当 a>0 ，在 x>0 时，y 随 x 的增大而增大 3.请在同一坐标系中画出函数 y1=x 和 y2=-x2 的图象，结合图象，指出当 x 取何值时，y1>y2 ；当 x 取何值时，y1<y2. 4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是 y 轴，且经过点（- 1， ）. （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象指出，当 x>0 时，若 x 增大，y 怎样变化？当x<0 时，若 x 增大，y 怎样变化？ 44 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 （4）当 x 取何值时，y 有最大（或最小）值，其值为多少？ 四、归纳小结 1.画二次函数 y=ax2 的图象时，有哪些地方是你需关注的？ 2.你是如何理解并熟记抛物线 y=ax2 的性质的？ 3.本节课你还存在哪些疑问？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.1.3.1 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 探究 1 探究 2 小结 小结 教学 反思 45 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师：**老师 课题 22.1.3.2 二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质 课型 新授课 教学目标 1.利用描点法画出二次函数 y=a（x-h）2 的图象。 2.理解抛物线 y=a（x-h）2 与抛物线 y=ax2 的相互关系。 3.培养学生主动探究知识、 自主学习和合作交流的意识。 教学重点 通过图象，观察抛物线 y=a（x-h）2 的图象和性质。 教学难点 通过图象，观察抛物线 y=a（x-h）2 与抛物线 y=ax2 的平移规律。 教学准备 教师 课件、三角尺 学生 三角尺、铅笔 课堂教学过程 二次备课 22.1.3.2 二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质 一、创设情景，引出课题 我们知道，二次函数 y=ax2-2 的图象可以由函数 y=ax2 的图象向下平 移得到，那么函数 y= (x-2)2 的图象是否可以由函数 y= x2 的图象经过 平移而得到呢？ 二、教授新课 问题在同一坐标系中画出二次函数 y=- (x+1)2,y=- (x- 1)2 的图象， 指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线 y=- x2, y=- (x+1)2, y=- (x- 1)2 的关系. 归纳结论： 函数 y=ax2 与 y=a(x-h)2 的图象及其性质如下表： 46 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 三、巩固训练 1．将抛物线 y＝x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A．y＝ (x＋2)2 B．y＝x2＋2 C．y＝ (x－2)2 D．y＝x2－2 2．抛物线 y＝－3(x＋1)2 不经过的象限是( ) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限 3．已知二次函数 y＝a(x－h)2 的图象是由抛物线 y＝－2x2 向左平移 3 个 单位长度得到的，则 a ＝ ，h＝ . 4 ．抛物线 y ＝ (x－2)2 可以看作是抛物线 y ＝ x2 向 平移 个单位得到的. 5．抛物线 y＝.－3(x＋m)2 ，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m＝ ，此时，二次函数图象的顶点 坐标为 ，当 x＝ 时，y 取最 值，为 . 四、归纳小结 1.抛物线 y=ax2 与 y=ax2+c 和抛物线 y=ax2 与 y=a(x-h)2 有哪些共同点，又 有哪些不同点？同伴间可相互交流. 2.将抛物线 y=ax2 上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区 别？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.1.3.2 二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质 探究 小结 教学 反思 47 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 22.1.3.3 二次函数y = a (x -h)2 + k 的图象和性质 课型 新授课 教学目标 1.会用描点法画出二次函数 y = a (x -h)2 + k 的图象；掌握抛物线 y = ax2 与 y = a (x -h)2 + k 之间的平移规律； 2.通过“活动探究——观察思考——运用迁移 ”等三个环节来获取新知识，掌握新 技能，解决新问题，是构建数学抽象思维、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学 运算的学科素养的核心板块。 3.进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想 方法，了解从特殊到一般的辩证关系。 教学重点 二次函数 y = a (x -h)2 + k 的图象及其性质 教学难点 1.二次函数 y = a (x -h)2 + k 与 y = ax2 的图象之间的平移关系； 2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质. 教学准备 教师 教案、课件 学生 课本、笔记本 课堂教学过程 二次备课 22.1.3.3 二次函数y = a (x -h)2 + k 的图象和性质 一、情境导入，初步认识 1.函数 y = - x2 +1 的图象与函数 y = - x2 的图象有什么关系? 2.函数 y = - x + 1)2 的图象与函数 y = - x2 的图象有什么关系? 问题：将抛物线 y = - x2 向下平移 1 个单位，所得到的抛物线表达式是 什么？若再将它向左平移 1 个单位呢？ 二、思考探究，获取新知 问题 1 画出二次函数 y= - 称轴及顶点坐标. 问题 2 请在问题 1 中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线 y = - x2 ，及抛物线 y = - x + 1)2 ， y = - x2 +1 ,观察所得到的四 个抛物线，你能发现什么？ 问题 3 请依据问题 2 中你的发现，说说抛物线 y = a (x -h)2 + k 是 由抛物线 y = ax2 (a≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称 48 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 轴和顶点坐标. 归纳结论： 1.一般地，抛物线 y = a (x -h)2 + k 与抛物线 y = ax2 的形状相同（因 为 a 值相同），而位置不同.将抛物线 y = ax2 上下平移，可得到抛物线 y = ax2 + k (k＞0 时，向上平移 k 个单位；k＜0 时 ，向下平移 k 个 单位)，再将抛物线 y = ax2 + k 左右平移后，可得到抛物线 y = a (x -h)2 + k（h＞0 时，向右平移 h 个单位；h＜0 时，向左平移 h 个单位）. 2.抛物线 y = a (x -h)2 + k 的性质： （1）a＞0 时，开口向上；a＜0 时，开口向下； （2）对称轴是直线 x=h； （3）顶点坐标是（h，k）. 三、典例 例 4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的 顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 3m，水管应多长？ 解：如图以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立直角坐标系， 点（1，3）是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）. 由这段抛物线经过点（3，0）可得 0=a(3-1)2+3, 解得 a=- . 所以函数解析式为 y=- -1)2+3 （0≤x≤3）.当 x=0 时，y=2.25， 也就是说，水管应长 2.25m. 四、练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点 ⑴ y = 2 (x + 3)2 + 5 ⑵ y = -3 (x - 1)2 - 2 ⑶ y = 4 (x - 3)2 + 7 ⑷ y = -5 (x + 2)2 - 6 五、课堂小结 1.抛物线 y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？ 2.它与其它三种表达式哪一种更容易确定顶点坐标和对称轴 49 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.1.3.3 二次函数 y = a (x -h)2 + k 的图象和性质 教学 反思 50 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 课型 新授课 教学目标 1.能通过配方法把二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）化成y=a(x-h)2 +k 的形式， 以便确 定它的对称轴和顶点坐标；会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数 y =ax2 +bx+c(a≠0)的平移规律；会用公式确定二次函数y=ax2 +bx+c（a≠0）的对称轴 和顶点. 2.通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.感悟二次 函数y=ax2 +bx+c 与y=ax2 的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法， 感受数学的对称美. 教学重点 用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2 +bx+c 的图象，通过配方确定抛物线的对称轴 和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数 y =ax2 +bx+c 的平移变换. 教学难点 用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标. 教学准备 教师 教案、课件 学生 课本、练习本 课堂教学过程 二次备课 22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 一、情境导入，初步认识 问题 1 请说出抛物线y=ax2 +k，y =a(x-h)2，y =a(x-h)2 +k 的开口方向、 对称轴和顶点坐标. 问题 2 你知道二次函数 y x2-6x+21 的图象的开口方向，对称轴和 顶点坐标吗？ 我们已经知道y=a(x-h)2 +k 的图像和性质，能否利用这些知识来讨论 y x2-6x+21 的图像和性质？ 二、探究新知 问题 1 你能把二次函数 y 并指出它的图案的对称轴和顶点坐标. y 问题2 在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y x2-6x+21 与 x2 的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系. 问题 3 请结合问题 2 的图象，指出当 x 取何值时，函数值 y 的最小 51 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 值是多少？当 x 取何值时，函数 y 随 x 的增大而减小？当 x 取何值 时，y 随 x 的增大而增大？ 归纳总结： 1.二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）通过配方可化为 y = a (|（x + 2 + 的形式（配方法） 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象及其性质: 三、典例 例 已知将二次函数 y=x2+bx+c 的图象先向左平移 3 个单位，再向上平 移 2 个单位得二次函数 y=x2-2x+1 的图象，求 b 和 c. 解：∵y=x2-2x+1=(x- 1)2, ∴抛物线 y=x2-2x+1 的顶点为（1,0）.根据题意， 此抛物线向下平移 2 个单位，向右平移 3 个单位，可得 y=x2+bx+c,此时， （1，0）平移到（4，-2），即抛物线 y=x2+bx+c 的顶点是（4，-2）， ∴ y=x2+bx+c=(x-4)2-2=x2-8x+14, ∴b=-8,c= 14. 四、练习 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点 ⑴ y = 3x2 + 2x ⑵ y = -x2 - 2x ⑶ y = -2x2 + 8x - 8 ⑷ y = x2 - 4x + 3 五、课堂小结 1.形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定： （1）当二次函数 y=ax2+bx+c 容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐 标及对称轴方程； 52 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 （2）当 a、b、c 比较复杂时，可直接用公式来确定： 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x = - 2a (b) ，顶点坐标为(|（4a4a (c -)b2 . 2.解决二次函数 y=ax2+bx+c 的平移问题时，应先将它化为 y=a(x-h)2+k 形式后，进行研究为好. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 教学 反思 53 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 课型 新授课 教学目标 1.利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.通过介绍二次函数的三点 式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法. 2.经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与 交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性. 教学重点 待定系数法求二次函数的解析式. 教学难点 选择恰当的解析式求法. 教学准备 教师 教案、课件 学生 课本、练习本 课堂教学过程 二次备课 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 一、情境导入，初步认识 问题 1 已知直线经过（1，2），（-2，0）求该直线的解析式？ 问题 2 我们知道， 已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待 定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要 几个独立的条件呢？ 二、思考探究，获取新知 在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个 条件.事实上，求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式，关键是求出待定系数 a、 b、c 的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于 a、 b、c 的方程组，并求出 a、b、c,就可以写出二次函数表达式. 回顾前面学过的知识，已知学过 y=ax2， y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k 等几种形式的二次函数， 所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种 情况： （1）顶点在原点，可设为 y=ax2 ; （2）对称轴是 y 轴（或顶点在 y 轴上），可设为 y=ax2+k ; 54 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 （3）顶点在 x 轴上，可设为 y=a(x-h)2 ; （4）抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx ; （5） 已知顶点（h,k）时，可设顶点式为 y=a(x-h)2+k ; （6）已知抛物线上三点时，可设三点式为 y=ax2+bx+c ; （7）已知抛物线与 x 轴两交点坐标为（x1,0）, (x2,0)时，可设交点 式为 y=a(x-x1)(x-x2). 三、典例 例 （1）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）； （2）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）. 解：（1）设所求的二次函数解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0)，由 题意，有： ( a -b + c = 10， 〈| a + b + c = 4， |l4a + 2b + c = 7， ( 解得 〈 | b = - 3 ， | l c = 5. )( a = 2， 故所求二次函数解析式为 y=2x2-3x+5； （2）设所求的二次函数表达式为 y=a（x-h）2+k(a≠0)，由题意, 有 :h=-1，k=3，即 y=a（x+1）2+3. 把（2，5）代入，得 5=a×9+3. ∴a= . 故所求二次函数解析式为 y= 四、练习 1 1.一个二次函数，当自变量 x=0 时，函数值 y=-2 与 2 时，y=0.求这个二 次函数的解析式. 2.一个二次函数的图像经过(0,0), (-1,-1), (1,9)三点，求这个函数的解 析式. 五、师生互动，课堂小结 求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，师生一起回忆 设二次函数解析式的几种情况. 55 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 教学 反思 56 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 22.2 二次函数与一元二次方程 课型 新授课 教学目标 了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与 x 轴的位置关 系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图象法确定一元二次方 程的近似解的方法. 通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会 用函数的观点看一元二次方程的思想方法. 教学重点 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程 ax2+bx+c=0 之间的联系，利用二 次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学难点 一元二次方程根的情况与二次函数图象与 x 轴位置关系的联系. 教学准备 教师 尺规、课件 学生 课本、草稿纸 课堂教学过程 二次备课 22.2 二次函数与一元二次方程 一、情境导入，初步认识 问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 °角的方向击出时， 小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h （m）与飞行时间 t（s）之间具有关系：h=20t-5t2. 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要飞行多长时间？ （2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要飞行多长时间？ （3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 二、思考探究，获取新知 通过对上述问题的思考，可以看出二次函数与一元二次方程之间存在着 57 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 密切联系.例如，已知二次函数 y=-x2+4x 的值为 3，求自变量 x 的值， 可以看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程 x2-4x+3=0 又可以看 作已知二次函数 y=x2-4x+3 的值为 0，求自变量 x 的值. 问题 1 画出函数 y=x2-4x+3 的图象，根据图象回答下列问题： （1）图象与 x 轴交点的坐标是什么？ （2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程 x2-4x+3=0 有什么关系？ （3）你能从中得到什么启示？ 问题 2 下列函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是 多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ 由此，你能得出相 应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1. 问题 3 一般地，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的横坐标与一元 二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系？ 【试一试】1.若抛物线 y=x2-mx+1 与 x 轴没有公共点，则 m 的取值范围 是 . 2.求证：抛物线 y=x2+ax+a-2 与 x 轴总有两个交点. 三、运用新知，深化理解 1.画出函数 y=x2-2x-3 的图象，利用图象回答： （1）方程 x2-2x-3=0 的解是什么？ （2）x 取什么值时，函数值大于 0？ （3）x 取什么值时，函数值小于 0？ 2.利用函数图象求方程 x2-2x-2=0 的实数解. 四、师生互动，课堂小结 1.抛物线 y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 有何关联？你能不画 出抛物线y=ax2+bx+c 而了解此抛物线与x 轴的交点情况吗？你是怎样做 的？ 2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体 会？ 58 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.2 二次函数与一元二次方程 一、提出问题 问题 1，问题 2，问题 3 二、探究二次函数与一元二次方程之间的联系 三、练习 四、小结 教学 反思 59 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 22.3.2 实际问题与二次函数 课型 新授课 教学目标 1.能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题 2.再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培 养学生解决实际问题的能力. 教学重点 用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想. 教学难点 根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型 教学准备 教师 尺规、课件 学生 课本、草稿纸 课堂教学过程 二次备课 22.3.2 实际问题与二次函数 一、情境导入，初步认识 问题 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售 单价不低于成本价，且每件获利不得高于 45%.经试销发现，销售量 y（件） 与销售单价 x（元）符合一次函数 y=kx+b,且 x=65 时，y=55；x=75 时， y=45. （1）试求出一次函数的表达式； （2）若该商场所试销服装的获利为 w 元，试写出 w 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利 润是多少？ (3)若所获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围. 【设计与教学说明】设计上述问题既是对上节课的回顾，又是本节 教学的一个重点，承上启下，创设熟知情境，激发学习兴趣.教学时，教 师可让学生自主探究，合作交流，探寻结论.教师在巡视过程中，可适时 设置如下问题： ①若设销售单价为 x 元，则 x 的取值范围是什么？题目中是否有这 方面的要求； ②单从 w 与 x 的关系式上看，x 为何值时，w 取得最大值？而此时的 63 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 x 值是否适合题设要求？如果不满足题设要求，根据 x 的取值范围及 w 与 x 的函数性质，你能确定 x 取何值时，w 取得最大值吗？ ③这里获得 w 的最大值与根据顶点坐标确定的最大值有什么不同？ 为什么会出现这种情况，谈谈你的看法；你能从中得到哪些启示？最后 教师可挑选一名优秀作品展示，与全班同学共同分享，并做必要评析. 二、思考探究，获取新知 探究某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调 查反映：若调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.已知该商品的进价为每件 40 元，如何定价才 能使每星期的利润最大？ 三、运用新知，深化理解 1.某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品 的日销量 y（件）之间的关系如下表： x/元 15 20 30 ... y/件 25 20 10 ... 且日销量 y（件）是销售价 x(元)的一次函数. （1）求日销量 y（件）与 x(元)的一次函数. （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时最大销售利润是多少？ 四、师生互动，课堂小结 1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2.对于由二次函数的性质求最大利润问题，你认为有哪些需要注意的？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 64 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.3.2 实际问题与二次函数 一、例题讲解 二、巩固练习 三、小结 教学 反思 65 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 22.3.3 实际问题与二次函数——拱桥问题 课型 新授课 教学目标 1.能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题。 2.再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培 养学生解决实际问题的能力。 3.进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发 学习数学的兴趣。 教学重点 用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想 教学难点 根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型 教学准备 教师 多媒体课件 学生 课本，练习册，练习本， 三角尺，铅笔 课堂教学过程 二次备课 22.3.3 实际问题与二次函数——拱桥问题 一、情境导入，初步认识 问题 1： 如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越 来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定 高度，超过高度的车辆无法通 过，因此，在隧道入口处常常 会设有提醒司机的限高标志. 同学们，这个隧道的外形轮廓 是不是很像我们学过的二次函 数图形？如果已知一辆车的高 度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？ 66 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 问题 2：如图所示，我想班上很多同学都喜欢篮球这项运动，都希 望有天能像林书豪和姚明那样在 NBA 的赛场上驰骋吧？其实篮球运动中 很多问题也涉及到了我们现在所学的二次函数。 二、思考探究，获取新知 问题（教材第 51 页探究 3）如图是抛物线形 拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下 降 1m，水面宽度增加多少？ （1）对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线表达式就好了.你能 确定这条抛物线的表达式吗？ （2）你能先在图中建立一个恰 当的平面直角坐标系，使抛物线形拱 桥转化为坐标系中的抛物线吗？不 妨试试看，并尝试着求出此时抛物线 的表达式。 三、运用新知，深化理解 1.一 自动喷灌设备的喷流情况如右 图所示，设水管 AB 在高出地面 1.5 米的 B 处有一 自动旋转的喷水头，其喷出的 水流成抛物线形.喷头B 与水流最高点 C 的连线与水管 AB 之间夹角为 135 °（即 ∠ABC=135 ° ) , 且水流最高点 C 比喷头 B 高 2 米.试求水流落点D 与A 点的距离. （精确到 0.1 米） 2.如图，一位篮球运动员在离篮筐 水平距离 4m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为 1.8m. 当球运行的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内. 已知篮筐中心离地面的距离为 3.05m,你能求出球所能达到的最大高度 约是多少吗？（精确到 0.01m） 【答案】1.解：如图所示，以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x 轴， 67 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.连 BC,则∠ABC=135 ° , 过 C 点 作 CE⊥x 轴，垂足为 E，又过 B 点作 BF⊥CE，垂足为 F.由题意易证四边 形 AEFB 为矩形， ∴∠ABF=90 ° , ∴∠CBF=135 ° -90 °=45 ° , ∴∠BCF=45 ° , Rt△ CBF 为等腰直角三角形，又由题意易 知 AB=1.5 米，CF=2 米， ∴BF=CF=2 米,而 CE=CF+EF=CF+AB=3.5 米，则 B （0，1.5），C（2，3.5）.设该图象解析式为 y=a(x-h)2+k,则 y=a(x-2)2+3.5,将 B（0，1.5）代入可求得 a=- . ∴y=- (x-2)2+3.5.设 D（m,0）代入，得 m= +2≈4.6.（负值已舍去） 即 DA=4.6 米. 2.解：如图所示，以篮框所在直线为 y 轴，地面所在直线为 x 轴， 其交点为坐标原点 O. 建立平面直角坐标系，设篮框中心点为 A 点，运动员出手点为 B 点，顶 点为 C 点，依题意可得 A(0,3.05),B(-4,1.8),设 C(-1.5,m），设抛物线 的解析式为 y=ax2+bx+c,将 A、B 代 入可求得 1.8=16a-4b+3.05① 又由图象可知 - =-1.5,b=3a,将其代入①中，可 求得 a=-0.3125,则 b=-0.9375. ∴y=-0.3125x2-0.9375x+3.05. 则 m= ≈3.75（m）. 即球所能达到的最大高度约是 3.75m. 四、师生互动，课堂小结 68 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 1.构建二次函数模型解决实际应用问题时，应关注自变量的取值范 围并结合二次函数性质进行探讨； 2.对具有抛物线形状的实际问题，应能根据图形的特征建立恰当的 平面直角坐标系，这样能更快捷的解决问题，应注意体会. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 22.3.3 实际问题与二次函数——拱桥问题 用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的平面直角坐标系； (2) 写出抛物线上关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 教学 反思 69 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 第二十三章《旋转》单元教学设计 教学内容分析 主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质： 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、 后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、 对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所 连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图 形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的 坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点 P（x，y）关于原点的对 称点为 P ′（-x，-y）．课题学习．图案设计. 本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初 步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画 图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学， 尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用. 教学重点 （1）图形旋转的基本性质. （2）中心对称的基本性质. （3）两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系. 教学难点 （1）图形旋转的基本性质的归纳与运用. （2）中心对称的基本性质的归纳与运用. 教学关键 （1）利用几何直观，经历观察，产生概念； （2）利用几何操作，通过观察、探究， 用不完全归纳法归纳出图形的旋转和 中心对称的基本性质. 2．单元整体目标分析 （1）了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质；了解中心对称的概念并理 解它的基本性质；了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用； 再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。 （2）让学生感受生活中的几何，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念， 并用这些概念来解决一些问题，通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋 转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全 等 ”等重要性质，并运用它解决一些实际问题；经历复习图形的旋转的有关概念和性质， 分析不同的旋转中心， 不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类；复习 对称轴和轴对称图形的有关概念，通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内 容，并附加练习巩固这个内容；通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附 加例题进一步巩固；复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生 70 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 观察、 思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、 练习来巩固这个内容；复习平面直角坐标系的有关概念， 通过实例归纳出两个点关于 原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题；通过复习平移、轴对 称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计. （3）让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性 质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通 过独立思考， 自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功， 享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激 发学习热情。 3．各教学内容的教学形式安排 教学内容 教学形式及课时安排 任务设计 教学环境 1．图形的旋转 3 课时 图形的旋转及其有关概念。图形旋 转的有关性质。对应点到旋转中心 的距离相等，对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角，旋转 前、后的图形全等。 多媒体教室 2 ．中心对称 4 课时 中心对称及其有关概念；关于中心 对称的两个图形 。 中心对称的性 质；关于中心对称的两个图形是全 等图形。中心对称图形的概念及性 质。 多媒体教室 3 ．课题学习； 图案设计 1 课时 通过不同形式的旋转，设计精美的 图案 多媒体教室 4. 教学活动、 习题课、小结 1 课时 回顾总结 多媒体教室 71 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 23.1.1 旋转的概念及性质 课型 新授课 教学目标 1.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质。 2.在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识 到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力。 3.学生在实验探究、知识应用等数学活动中，能体验数学的具体、生动、灵活， 增强数学应用意识，调动学生学习数学的主动性。 教学重点 归纳图形的旋转特征 教学难点 旋转概念的形成过程及性质的探究过程 教学准备 教师 多媒体课件，三角尺 学生 课本，练习册，练习本， 三角尺，量角器，铅笔 课堂教学过程 二次备课 23.1.1 旋转的概念及性质 一、情境导入，初步认识 问题 1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换，它们有哪些特征 呢？想想看，并与同伴交流. 问题 2 请观察下列图形的变化（教师展示实物或图片或用课件展 示）： （1）时钟针面上时针的转动（顺时针方向旋转和逆时针方向转动）； （2）风车的转动； （3） 电扇上扇叶的转动； （4）小朋友荡秋千； （5）汽车雨刷的转动； 以上图形的转动有什么共同特点呢？你还能举出这样类似的生活中 的情境吗？ 二、思考探究，获取新知 72 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 探究 1 如图，用一根细线一端拴住小球，另一端固定在支架上（教 师事先准备好实物），当小球绕点 O 由 A 摆动至 B，由 B 摆动至 A 的过程 中，试问：小球绕着哪个点转动？它们转动方向如何？ 转动的角度是哪个角？ 探究 2 如图，用一根较长细线系住木棒 AB 的两 端，再将细线固定于支架上的点 O（教师事先准备好实 物），再将木棒提取使之自然摆动至 A ′B ′位置.试问：在转动过程中， 木棒AB 绕着哪一点在转动？木棒AB 的长度发生了变化吗？A 和A ′到点 O 的距离发生了变化吗？B 和 B ′点呢？ 由此你能发现哪些重要结论？ 师生共同总结. 旋转：把一个平面图形绕着平面 内某一个点（如点 O）旋转一个角度， 就叫做图形的旋转.点 O 称为旋转中 心，转动的角度称为旋转角.（注意突 出旋转的三个要素：旋转中心、旋转 角和旋转方向） 对应点：如果图形上的点 P 经过旋转变为 P ′ ，则这两个点叫做这 个旋转的对应点. 对应线段：如果图形上的线段 AB 经过旋转变为线段 A ′B ′ ，则这 两条线段称为对应线段，同样地，如果图形上的一个角∠A 经过旋转后 变为∠A ′ ，则∠A 和∠A ′称为对应角. 对应点和旋转中心之间的夹角称为旋转角. 探究 3 如图，在硬纸片上，挖一个三角形 ABC，再挖一个小洞 O 作 为旋转中心，硬纸板下面再放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角 形(△ABC），然后围绕旋转 中心 O 转动硬纸板，再描出 这 个 挖 掉 的 三 角 形 (△ DEF），移开硬纸板. 试问： 在旋转的过程 73 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 中，线段 OA 与线段 OD 的大小关系如何？ ∠AOD 与∠BOE 及∠COF 有什么 关系？旋转前后三角形的形状和大小发生了改变吗？ 【归纳结论】 旋转的性质： 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们是全等的. 三、运用新知，深化理解 1.将图形绕点 O 旋转，且图形上点 P、Q 旋转后的对应点分别为 P ′、 Q ′ ，若∠POP ′=80 ° , 则∠QOQ ′= ，若 OQ=2.5cm，则 OQ ′= 。 2.从 3 点到 5 点，钟表上时针转过的角度为 。 3.如图，将四边形 AOBC 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 °至 DOEF 位置， 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？ （2）经过旋转，点 A、B、C 分别移动到什么 位置？ （3）AO 与 DO，BO 与 EO 的大小关系如何？ （4）若∠C=30 ° , 则图中哪个角的度数也是 30 °? （5） ∠AOD 与∠BOE 的度数分别是多少？你能说明理由吗？ 4.如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点， 以 A 为中心，把△ ADE 顺时针旋转 90 ° , 画出旋转后的图形. 四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 74 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 23.1.1 旋转的概念及性质 1. 旋转的概念： 2. 旋转的三要素： 3. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. （3）旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们 是全等的. 教学 反思 75 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 23.1.2 旋转作图 课型 新授课 教学目标 1.进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设 计。 2.经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生 活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系。 3.进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感，体会生活的旋转美，发 展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力。 教学重点 利用旋转的性质设计简单的图案 教学难点 利用旋转性质进行旋转作图 教学准备 教师 多媒体课件，三角尺 学生 课本，三角尺，练习本 课堂教学过程 二次备课 23.1.2 旋转作图 一、情境导入，初步认识 问题 1 旋转图形具有哪些性质？还记得吗？说说看. 问题 2 你能利用旋转的性质作出一个图形绕着某一点按一定方向旋 转一个角度后的旋转图形吗？不妨试试看：如 图，△AOB 绕点 O 旋转后，G 点是 B 点的对应点， 作出△AOB 旋转后的三角形. 二、观察思考，感受新知 出示课件，展示教材 P61 中图 23.1-9：开始出现一片月芽形图案， 教师手动鼠标，慢慢出现两片、三片，…… ，形成图 23.1-9 中图案，让 学生通过观察，感受图案的形成过程，然后教师出示问题，让学生进行 思考探究. 76 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 问题：（1）你能说出上述图案是怎样得到的吗？ （2）如果仅给你一片月芽形图案，你能设法得到图中的图案吗？ （3）谈谈你对这些图案形成过程的认识，与同伴交流. 利用课件进一步展示“月芽 ”的旋转效果. （1）手动鼠标，保持旋转中心不变而改变旋转角，会出现形如教材 P61 中图 23.1-7，让学生感受不同的旋转效果； （2）手动鼠标，保持旋转角不变而改变旋转中心，出现形如教材 P61 中图 23.1-8，进一步体验不同的旋转效果. 思考（1）在旋转过程中，产生了形如图 23.1-7，图 23.1-8 的不同 旋转效果，这是什么原因造成的呢？ （2）你能仿照上述图示方法进行图案设计吗？与同伴交流. 三、典例精析，掌握新知 例图（1） 中的图形是某设计师设计 图案的一部分，请你运用旋转变换的方 法，在方格纸中将图（1） 中图形绕点 P 顺时针依次旋转 90 ° , 180 ° , 270 ° , 依 次画出旋转后得到的图形，你会得到一个 美丽的图案，涂阴影的不要涂错位置，否 则不能出现理想的效果，你来试一试吧！（注：方格纸中小正方形的边长 为 1 个单位长度） 分析：运用“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的 连线所成的角相等 ”等旋转的特征，很容易得到旋转后的图案. 解：得到的图案如图（2） 四、活动操作，深化理解 问题：把一个三角形旋转： （1）选择某一固定点为旋转中心，旋转 角分别为 45 ° , 90 °和 135 ° , 请画出旋转 后的图形，并观察旋转效果； （2）选取两个不同点为旋转中心，旋转 77 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 角均为 30 ° , 请画出旋转后的图形，观察旋转效果. （3）改变三角形的形状，看看旋转的效果. 五、图案设计，巩固提高 请以下列图形为基本图形，利用旋转进行图案设计，并与同伴交流 效果. 六、师生互动，课堂小结： 通过这节课的学习你有哪些收获？ 作 业 设 计 必 做 1.从教材“ 习题 23.1 ”中选取 2.同步练习册本节练习基础巩固部分 选 做 同步练习册综合运用部分 板书 设计 23.1.2 旋转作图 旋转的性质： 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 3.旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们是全 等的. 教学 反思 78 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 23.2.1 中心对称 课型 新课 教 学 目 标 1、了解中心对称，对称中心，关于中心的对称点等概念及掌握这些概念， 解决一些问题。 2、通过具体实例认识两个图形关于某一点中心对称的本质就是一个图形绕 一点旋转 180 度而成 3、理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且 被对称中心所平分，理解关于中心对称的两个图形是全等图形，掌握这两个性 质的运用 教学重点 1、利用中心对称，对称中心关于中心对称点的概念，解决一些问题 2、中心对称的两个基本性质及其运用 教学难点 中心对称的性质及利用以上性质进行作图 教学准备 教 师 多媒体课件 学生 课本、练习本、三角尺、量角 尺、铅笔 课堂教学过程 二次备课 23.2.1 中心对称 一、情境导入，初步认识 问题 1 如图，将△ABC 绕点 O 旋转，使点 A 旋转到 D 处，你能画出 旋转后的图形吗？说说你的理由. 问题 2 如图，将△ABC 绕点 O 旋转 180 ° , 你能画 出旋转后的图形吗？说说你的做法，并指出这两个图形之间有什么关 系？从中你有何发现？ 79 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 二、思考探究，获取新知 探究 1 （1）如图（1），把其中一个图案绕点 O 旋转 180 ° , 你有什 么发现？ 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180 ° , 如果它能够与另 一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点 称为对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. （2）关于旋转中心旋转 180 ° ; （3）互相重合.加深学生对定义的 理解. 探究 2 旋转三角尺，画关于点 O 对称的两个三角形. 第一步：画出△ABC 如图(1） 第二步： 以三角尺的一个顶点 O 为中心，把三角尺旋转 180 ° , 画 出△A ′B ′C ′如图(2)； 第三步：移开三角尺如图(3). 这样，画出的△ABC 与△A ′B ′C ′关于点 O 对称.试问： （1）在图(3)中，点 O 在线段 AA ′上吗？如果在，在什么位置？对 于线段 BB ′ 、CC ′呢？ （2） △ABC 与△A ′B ′C ′有什么关系？ （2）关于中心对称的两个图形全等. 三、典例精析，掌握新知 例（1）选择点 O 为对称中心，画出点 A 关于点 O 的对称点 A ′ ，如 图(1)； 80 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 （2）选择点 O 为对称中心，画出与△ABC 关于点 O 对称的△A ′B ′ C ′ ，如图（2）. 四、师生互动，课堂小结 教师让学生围绕以下问题展开： （1）本节知识要点归纳回顾； （2）中心对称的性质及其应用； （3）中心对称和轴对称的区别和联系； （4）相互交流本节课的学习体会和收获，谈谈学习中有哪些困惑. 作业 设计 必做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选做 四、拓展延伸 板书 设计 23.2.1 中心对称 1、情境导入，初步认识 2、思考探究，获取新知 3、典例精析，掌握新知 教学 反思 81 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 23.2.2 中心对称图形 课型 新课 教 学 目 标 1.了解中心对称图形的定义及其特征，体会中心对称和中心对称图形之间的 联系和区别. 2.经历观察、思考、探究、发现的过程，感受中心对称图形的特征，培养学 生的观察能力和动手操作能力. 教学重点 中心对称图形的有关概念及其性质. 教学难点 中心对称图形和中心对称的区别和联系 教学准备 教 师 多媒体课件 学生 课本、练习本、三角尺、量角 尺、铅笔 课堂教学过程 二次备课 23.2.2 中心对称图形 一、情境导入，初步认识 问题 1 问题 2 看法. 关于中心对称的两个图形有哪些特征？说说看. 观察如图所示的三个图形，你能发现什么？与同伴交流你的 二、思考探究，获取新知 探究 1 如图，将线段 AB 绕它的中点旋转 180 ° , 你有什么发现？ 探究 2 如图，将 ABCD 绕它的两条对角线的交点 O 旋转 180 ° , 你 有什么发现？ 82 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 把一个图形绕着某一个点旋转 180 ° , 如果旋转后的图形能够与原 来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称 中心. 三、合作交流，掌握新知 问题 1 除上面所讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，请你 举例说出一个图形，使它是中心对称图形？与同伴交流. 问题 2 说说中心对称图形具有哪些特点？它与中心对称有什么区别 和联系？谈谈你的看法，并与同伴交流. 【归纳结论】 1.中心对称图形上的每一对对应点所连线段必经过对称中心，且被 对称中心平分； 2.中心对称图形是指一个图形本身是中心对称的，它反映了一个图 形的本质性质特征，而中心对称是指两个图形关于某一点对称，揭示的 是两个全等图形之间的一种位置关系. 3.中心对称图形的形状美观，具有几何美. 问题 3 判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它的对称中心. （1）线段；（2）等腰三角形；（3）矩形；（4）菱形；（5）等腰梯形； （6）圆；（7）正多边形 四、运用新知，深化理解 1.按要求画一个图形，所画图形中应有一个正方形和圆，并且这个 图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.你能行吗？与同伴交流. 2.如图，请在图中画出一条直线，使之将图中图形的面积 分成相等的两部分，试试看，与同伴交流. 五、师生互动，课堂小结 （1）中心对称图形的有关概念； （2）中心对称图形的性质特点； （3）中心对称图形与中心对称的区别与联系； （4）中心对称图形的识别方法. 83 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 作业 设计 必做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选做 四、拓展延伸 板书 设计 23.2.2 中心对称图形 一、情境导入，初步认识 二、思考探究，获取新知 三、合作交流，掌握新知 四、运用新知，深化理解 教学 反思 84 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 课型 新课 教 学 目 标 1.理解点 P 与 P ′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系； 2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题. 教学重点 关于原点对称的点的坐标关系及其应用. 教学难点 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质. 教学准备 教 师 多媒体课件 学生 课本、练习本、三角尺、 量角尺、铅笔 课堂教学过程 二次备课 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 一、情境导入，初步认识 问题 1 以前我们学习过关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标问题，你 能说说关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标的关系吗？ 问题 2 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（-3，2），则点 A 关 于原点 O 的对称点 A ′ 的坐标是什么呢？ 你能说说吗？ 二、思考探究，获取新知 探究 如图，在直角坐标系中，作 出下列已 知点关于原点 O 的对称点，并写出 它们的坐标. A（4，0） B（0，-3） C（2，1） D（-1，2） E（-4，-3） 思考通过你的作图，你能说出这些点和它们 关于原点 O 的对称点的坐标之间有什么关系吗？ 【归纳结论】 两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点 P （x，y）关于原点 O 的对称点 P ′ 的坐标为（-x，-y）. 三、典例精析，掌握新知 85 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 例 1 图 1，利用关于原点对称的点的坐标的特点， 作出与△ABC 关于原点对称的图形. 图 1 图 2 例 2 如图 2，平行四边形的中心在坐标原点， AD∥BC，D(3，2)，C(1，-2)，求 A、B 两点的坐标. 四、运用新知，深化理解 1.点 M（-2，3）关于原点的对称点 M ′ 的坐标为( ) A.（-2，-3） B.（2，-3） C.（3，-2） D.（2，3） 2.下列各点中哪两个点关于原点 O 对称？ A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0）， E（0，5），F（-2，1），G（-2，-1） 五、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看. 作业 设计 必做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选做 四、拓展延伸 板书 设计 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 一、情境导入，初步认识 二、思考探究，获取新知 三、典例精析，掌握新知 四、运用新知，深化理解 五、师生互动，课堂小结 教学 反思 86 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 第二十四章 《圆》 单元教学设计 一、单元教学目标： 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线 与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特 征； 2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一 条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作 圆； 4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧 长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能 力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用 学过的知识解决问题的能力. 二、单元教学重点： 复习与圆有关的知识，建立本章知识结构。 三、单元教学难点： 1.选用适当的方法简洁有效地解出方程； 2.分析实际问题中的数量关系，建立方程模型。 四、单元教学过程： 圆是继三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内容，在生活中有着广泛的应 用．圆是平面几何中最基本的图形之一，在几何中有着重要的地位. 在本章内容的学习过程中，需要学生通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等 方法发现图形的性质．同时，还要注意体会通过“推理 ”获得数学结论的方法，培养言 之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力. 本单元的主要内容： （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角。 （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 圆和圆的位置 关系。 （3）正多边形和圆。 （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积。 五、单元课时安排： 91 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 24.1.1 圆……………………………………………………………………………1课时 24.1.2 垂直于弦的直径 …………………………………………………………1 课时 24.1.3 弧、弦、圆心角 …………………………………………………………1 课时 24.1.4 圆周角 ……………………………………………………………………1 课时 24.2.1 点和圆的位置关系…………………………………………………………1课时 24.2.2直线和圆的位置关系………………………………………………………1课时 24.3 正多边形和圆………………………………………………………………1 课时 24.4 弧长和扇形面积公式………………………………………………………1 课时 92 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.1.1 圆 课型 新授课 教学目标 1. 经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等 弧的概念。 2. 经历探索和发现有关圆的结论的过程，发展学生的数学思考能力。 3.体会圆在生产生活中的广泛运用，感受数学的价值，体会圆的匀称美、培养审美 意识。 教学重点 经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念。 教学难点 理解圆的概念的形成过程和圆的集合定义。 教学准备 教师 教学课件、圆规 学生 圆规、练习本 课堂教学过程 二次备课 24.1.1 圆 一、情景引入，提出问题 （一）如图 1，观察下列图形，从中找出共同特点. 图 1 （二）学生活动：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此 时学生可以再举出一些生活中类似的图形. （三）教师活动：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同 时激发学生的学习渴望以及探究热情. 93 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 二、活动探究，验证明确定义 （一）如图 2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ （课件展示画图过程） 图 2 （二）学生活动：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一 个平面内一条线段 OA绕它的一个端点 O旋转一周，另一个端点形成的图 形就是圆. （三）教师活动设计：在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本 概念作一界定：圆：在一个平面内，一条线段 OA绕它的一个端点 O旋转 一周，另一个端点 A所形成的图形叫作圆；圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段 OA的长度叫作这个圆的半径；圆的表示方法：以点 O为圆心 的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆 O”. （四）讨论圆中相关元素的定义. 1.如图 3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 图 3 2.学生活动：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在 交流中逐步完善自己的结果. 3.教师活动：在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生 的不准确的叙述，可以让学生讨论解决. 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径； 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 一 弧的表示方法： 以 A、B为端点的弧记作 AB ，读作“ 圆弧 AB”或“弧 94 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 AB”； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作 半圆. 一 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图 3 中的 ABC ； 一 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图 3 中的 BC . 三、运用巩固 （课件：车轮；课件：方形车轮） （一）学生活动：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行 分组讨论，最后进行交流. （二）教师活动设计：引导学生进行如下分析：如图 4，把车轮做成圆 形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮 在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦 的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如 正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的 滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定. 图 4 四、应用提高 （一）如何在操场上画一个半径是 5 m 的圆？说出你的理由 （二）师生活动设计：教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根 据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点 形成的图形，所以可以用一条长 5m 的绳子，将绳子的一端 A固定，然后 拉紧绳子的另一端 B，并绕 A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的 圆. （三）从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵 20 年树龄的红杉树的树干直径是 23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多 95 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 少？ 图 5 （四）师生活动设计：首先求出半径，然后除以 20 即可. 解答：树干的半径是 23÷2＝11．5（cm）. 平均每年半径增加 11．5÷20＝0．575（cm）. 五、归纳小结 小结：圆的两种定义以及相关概念. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.1.1 圆 圆的定义： 弦 直径 弧 弧的表示方法： 半圆 优弧 劣弧 教学 反思 96 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.1.2 垂直于弦的直径 课型 新授课 教学目标 1.理解圆的轴对称性。 2.理解并掌握垂径定理。 3.学会运用垂径定理解决有关的证明和计算问题。 教学重点 1.理解圆的轴对称性并掌握垂径定律。 2.学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算等问题。 教学难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。 教学准备 教师 教学课件、圆规、三角尺 学生 圆规、练习本 课堂教学过程 二次备课 24.1.2 垂直于弦的直径 一、情境引入 问题：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,距今约有 1400 年的 历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37m, 拱高(弧 的中点到弦的距离)为 7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？ 二、探究新知 （一）观察与猜想 1.把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？ 由 此你能得到什么结论？ 教师拿出圆形纸片教具，反复沿直径对折，学生观察，得出结论： 圆是轴对称图形， 它的对称轴是任意一条直径所在的直线.（过圆心的直线） （二）验证结论，揭示定理 1.学生活动 : 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M. 观察图形，回答问题： (1)图中有哪些相等的线段？ (2)图中有哪些相等的弧？ (3)为什么它们会相等？ 说一说你的理由. (老师点评)(1)除半径相等外，有 AM＝BM， 97 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ (2)AC＝BC，AD＝BD，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分AB及ADB. 这样，我们就得到下面的定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB，且 CD⊥AB，垂足为 M. ︵ ︵ ︵ ︵ 求证：AM＝BM，AC＝BC，AD＝BD. 2.问题：此定理的条件和结论分别是什么？ 师生结合图形，共同剖析定理： 题设：（1）直径（过圆心）（2）垂直于弦 共 2 要素； 结论：（3）平分弦（4）平分弦所对的一条弧（5）平分弦所对的另一条 弧 共 3 要素. （三）讨论交流，再探推论 问题：垂径定理题设和结论共几要素？ 分别是什 么？ (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对一条弧 (5)平分弦所 对的另一条弧 思考： 1.若知道“过圆心 ”和“平分弦 ”， 你是否能得到另外三个结论？ 学生尝试画图，推理验证，并在证明过程中找到了反例图形： 于是，我们还可以得到： 推论 过圆心平分非直径的弦的直线垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧. 2.在这五要素中，是不是知道任意 2 个要素，便可得到其它 3 个结论？ （知二推三） (它们的证明作为课后练习) （四）师生共同回顾本节课所学的主要内容： 1.垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦； 则它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦所对的一条弧；（5）平分弦所 对的另一条弧. 及时练习：在下列图形中，哪些图形可用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧？ 98 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是连接半径,或过圆心作弦的垂线段 (即弦心距) 等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 四、例题解析 例 1 如图,在⊙O 中,弦 AB=8 ㎝,圆心 O 到 AB 的距离 OE=3 ㎝,求⊙O 的半 径 学生尝试自主解决，交流解题思路. 师生共同总结常用方法：垂径定理常和勾股定理结合使用，半径、 半弦、弦心距三个量中任知两个量，可求第三个量. 例 2 赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 米, 拱高（弧中点到弦的距离）为 7.23 米,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 教师要求学生只列关键算式，不求解. 学生思考，尝试解决，并展示解题思路. 变式练习： 如图，在直径为 52 cm 的圆柱形油槽内，装入一些油后，截面如图所示， 如 果 油 的 最 大 深 度 CD 为 16 cm ， 那 么 油 面 宽 度 AB 是 多 少 ？ 五、梳理总结 1.垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；则 它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦所对的一条弧；（5）平分弦所对 的另一条弧. 2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是连接半径,或过圆心作弦的垂线段 (即弦心距) 等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 99 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 板书 设计 24.1.2 垂直于弦的直径 一、垂径定理 二、垂径定理推论 三、例题 教学 反思 100 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.1.3 弧、弦、圆心角 课型 概念课 教学目标 1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性. 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解 题过程中的应用. 3.培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴 趣. 教学重点 圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明. 教学难点 理解圆的旋转不变性和定理推论的应用. 教学准备 教师 课件、教材、三角尺、圆规 学生 课本、练习册、练习本、 直尺、圆规 课堂教学过程 二次备课 24.1.3 圆心角、弦、弧 一、情境导入，初步认识 汽车能正常行驶（其他情况正常）得益于车轮；而车轮又是具有什 么性质才具有如此奇妙的作用呢？ 教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构 成一个顶点在圆心上的角α , 将这个圆绕圆心 O 旋转任意角度α , 你会 发现什么？ 像α这样，顶点在圆心上的角叫圆心角. 这节课我们将要研究与它有关的一些定理，引入课题. 二、思考探究，获取新知 1.圆的旋转不变性 由上述探究活动中，我们不难发现： 101 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 围绕圆心 O 旋转任意角度α , 都能与原来的图形重合，所以圆是中 心对称图形，并且具有旋转不变的特征. 这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶. 2.弧、弦、圆心角之间的关系 探究如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A ′OB ′ 的位置，你能 发现哪些等量关系，为什么？ 三、典例精析，掌握新知 例 1 如图，在⊙O 中，AB=AC， ∠ACB=60 ° , 求证： ∠AOB= ∠BOC= ∠ AOC. 证明： ∵AB=AC， ∴AB=AC，△ABC 是等腰三角形. 又∠ACB=60 ° , ∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB= ∠BOC= ∠AOC. 例 2 如图所示， 以 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作⊙A，分别 交 BC、AD 于 E、F 两点，交 BA 的延长线于 G，判断 EF 和 FG 是否相等， 并说明理由. 证明：如图.连接 AE， ∵在 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠1= ∠2， ∠3= ∠4 又∵在⊙A 中，AB=AE， ∴∠2= ∠3， ∴∠1= ∠4 ∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等） 四、运用新知，深化理解 2.如图所示，C、D 为半圆 O 的三等分点，AB 为直径，则下列说法正 102 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 确的有个. ①AD=CD=BC ②∠AOD= ∠DOC= ∠BOC ③四边形 ADCO 为菱形 五、师生互动，课堂小结 这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.1.3 弧、弦、圆心角 由圆的旋转不变性可得出下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等，所对 的弦也相同. 教学 反思 103 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.1.4 圆周角 课型 概念课 教学目标 理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周 角定理及推论进行有关计算和证明. 经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定 的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力. 通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验. 教学重点 圆周角定理及其推论的探究与应用. 教学难点 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用. 教学准备 教师 课件、教材、三角尺、圆规 学生 课本、练习册、练习本、 直尺、圆规 课堂教学过程 二次备课 24.1.4 圆周角 一、情境导入，初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的 圆弧形玻璃窗 AB 观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心 O 的位置.同学 乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，他们的视角(∠AOB 和∠ACB）有 什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E，他们的视 角(∠ADB 和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？ ［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB= ∠AOB］ 二、思考探究，获取新知 1.圆周角的定义 探究 1 观察下列各图，图（1） 中∠APB 的顶点 P 在圆心 O 的位置， 104 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 此时∠APB 叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB 的顶 点 P 在⊙O 上，角的两边都与⊙O 相交，这样的角叫圆周角.请同学们分 析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角. 2.圆周角定理 探究 2 如图，（1）指出⊙O 中所有的圆心角与圆周角，并指出这些 角所对的是哪一条弧？ （2）量一量∠D、 ∠C、 ∠AOB 的度数，看看它们之间有什么样的关 系？ （3）改变动点 C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？ 你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述. 3.圆周角定理的推论 议一议（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？ （2）如果一条弧所对的圆周角是 90 ° , 那么这条弧所对的圆心角 是多少呢？ 4.圆内接四边形 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 三、典例精析，掌握新知 例 1 如图， ⊙O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm， ∠ACB 的平分线交⊙O 于 D.求 BC、AD、BD 的长. 四、运用新知，深化理解 1.如图（1）所示， ⊙O 的直径 AE=10cm. ∠B= ∠EAC，求 AC 的长. 105 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 2.如图（2）所示，AB 是⊙O 的直径，以 AO 为直径的⊙C 与⊙O 的弦 AD 相交于点 E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接 OE、BD. 你认为 OE 与 BD 之间的关系是怎样的？ 3.如图（3）所示，两圆相交于 A、B 两点，小圆经过大圆的圆心 O， 点 C、D 分别在两圆上，若∠ADB=100 ° , 求∠ACB 的度数. 五、师生互动，课堂小结 这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.1.4 1.圆周角的定义 2.圆周角定理 3.圆周角定理的推论 4.圆内接四边形 圆周角 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 外接圆. 教学 反思 106 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.2.1 点和圆的位置关系 课型 概念课 教学目标 1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系. 2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法. 3.了解运用“反证法 ”证明命题的思想方法. 教学重点 （1）点与圆的三种位置关系. （2）过三点作圆. 教学难点 点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法 教学准备 教师 课件、教材、三角尺、圆规 学生 课本、直尺、圆规 课堂教学过程 二次备课 24.2.1 点和圆的位置关系 一、情境导入，初步认识 射击是奥运会的一个正式体育项目，我国运动员在奥运会上屡获金 牌，为我国赢得了荣誉，如图所示是射击靶的示意图，它是由若干个同 心圆组成的，射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动 员射击 10 发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗？ 从数学的角度来看，这是平面上的点与圆的位置关系，我们今天这 节课就来研究这一问题，引出课题. 二、思考探究，获取新知 1.点与圆的位置关系 我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关 系. 107 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学生交流，回答问题. 教师点评：点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆 外. 议一议如下图，⊙O 的半径为 4cm，OA=2cm，OB=4cm，OC=5cm，那么， 点 A、B、C 与⊙O 有怎样的位置关系？ 解： ∵OB=4cm， ∴OB=r， ∴点 B 在⊙O 上. ∵OA=2cm＜4cm， ∴点 A 在⊙O 内. ∵OC=5cm＞4cm， ∴点 C 在⊙O 外. 2.圆的确定 探究（1）如图（1），作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？ （2）如图（2），作经过已知点 A、B 的圆，这样的圆能作多少个？ 它们的圆心分布有什么特点？ 学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结. 解：（1）过已知点 A 画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面 的任意一点，半径是任意长的线段（仅过点 A，既不能确定圆心，也不 能确定半径.） （2）过已知的两点 A、B 也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段 AB 的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 108 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 等. 思考 在平面上有不共线的三点 A、B、C，过这三个点能画多少个圆？ 圆心在哪里？ 解：经过 A、B 两点的圆，圆心在线段 AB 的垂直平分线上.经过 A、 C 两点的圆，圆心在线段 AC 的垂直平分线上，那么这两条垂直平分线一 定相交，设交点为 O，则 OA=OB=OC，于是以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆， 必过 B、C 两点，所以过不在同一直线上的 A、B、C 三点有且仅有一个圆. 三、典例精析，掌握新知 例 1⊙O 的半径为 10cm，根据点 P 到圆心的距离：（1）8cm，（2）10cm， （3）13cm，判断点 P 与⊙O 的位置关系？并说明理由. 解： 由题意可知：r=10cm. (1)d=8cm＜10cm，d＜r 点 P 在⊙O 内； (2)d=10cm，d=r 点 P 在⊙O 上； (3)d=13cm＞10cm，d＞r 点 P 在⊙O 外. 四、运用新知，深化理解 1.如图，已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90 ° , AC=4，BC=3，D、E 分别为 AB、AC 的中点，现以点 B 为圆心，BC 的长为半径作⊙B，试问 A、C、D、 E 四点分别与⊙B 的位置关系？ 109 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 五、师生互动，课堂小结 本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 . 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.2.1 点和圆的位置关系 点 P 在⊙O 外 d＞r 点 P 在⊙O 上 d=r 点 P 在⊙O 内 d＜r 教学 反思 110 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.2.2.1 直线和圆的位置关系 课型 概念课 教学目标 掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离 的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法. 通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识， 从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想. 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点 直线与圆的三种位置关系及其数量关系. 教学难点 通过数量关系判断直线与圆的位置关系. 教学准备 教师 课件、教材、三角尺、圆规 学生 课本、练习册、练习本、 直尺、圆规 课堂教学过程 二次备课 24.2.2.1 直线和圆的位置关系 一、情境导入，初步认识 问题 1 在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？如 果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线， 由此你能得出直 线和圆的位置关系吗？ 问题 2 在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥 匙，你能发现钥匙在移动的过程中，它与直线 l 的公共点的个数的变化 情况吗？ 二、思考探究，获取新知 1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念 由前面的两个探究情景可知：直线与圆有如下三种位置关系： 如图（1），直线 l 与⊙O 有两个公共点，这时我们说这条直线和圆 111 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 相交，直线 l 叫做⊙O 的割线. 如图（2），直线 l 与⊙O 只有一个公共点，这时我们说直线 l 与⊙O 相切，直线 l 叫做⊙O 的切线，这一个公共点叫做切点. 如图（3），直线 l 与⊙O 没有公共点，我们说这条直线 l 与⊙O 相离. 【归纳结论】用直线和圆的交点个数可确定直线与圆的位置关系. ①直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交. ②直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切. ③直线与圆没有公共点时，直线与圆相离. 2.直线和圆的位置关系的性质和判定 思考在上面的图（1）、（2）、（3） 中，设⊙O 的半径为 r，直线 l 到 圆心 O 的距离为 d，在直线和圆的三种不同位置关系中，d 与 r 具有怎样 的大小关系？反过来你能根据 d 与 r 的大小关系来确定直线和圆的位置 关系吗？（学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.） 【归纳结论】直线 l 与⊙O 相交 d＜r；（两个交点） 直线 l 与⊙O 相切 d=r；（一个交点） 直线 l 与⊙O 相离 d＞r； (没有交点) 三、典例精析，掌握新知 例 1 已知圆的半径等于 10cm，直线 l 与圆只有一个公共点，求圆心 到直线 l 的距离. 例 2 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90 ° , AC=3cm，BC=4cm， 以 C 为圆 心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm，d=2.4cm＞r， ∴⊙C 与直线 AB 相离. (2) r=2.4cm，d=2.4cm=r， ∴⊙C 与直线 AB 相切. (3) r=3cm，d=2.4cm＜r， ∴⊙C 与直线 AB 相交. 四、运用新知，深化理解 112 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 1.完成课本 P96 练习. 五、师生互动，课堂小结 这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.2.2 .1 直线和圆的位置关系 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交. 直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切. 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离. 教学 反思 113 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.2.2.2 切线的判定与性质 课型 概念课 教学目标 能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判 定定理和性质定理解决问题. 经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合 作探究的良好学习习惯. 体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨 性及结论的正确性. 教学重点 切线的判定定理及性质定理的探究和运用. 教学难点 切线的判定定理和性质的应用. 教学准备 教师 课件、教材、三角尺、圆规 学生 课本、练习册、练习本、 直尺、圆规 课堂教学过程 二次备课 24.2.2.2 切线的判定与性质 一、情境导入，初步认识 情境 1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞 面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？ 情境 2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？ 情境 3 用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形 成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺 着什么方向飞出吗？ 二、思考探究，获取新知 1.切线的判定定理 思考 1 如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A，作直线 l⊥OA， 则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？ 114 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 分析： ∵直线 l⊥OA，而点 A 是⊙O 的半径 OA 的外端点. ∴直线 l与⊙O 只有一个交点，并且圆心 O 到直线 l的距离是垂线 段 OA，即是⊙O 的半径. ∴直线 l与⊙O 相切. 【归纳总结】 切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线. 试一试 （1） 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切 线？（只能作一条直线） （2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线） 2.切线的性质定理 思考 2 已知直线 l是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答） 教师点评： 由于 l是⊙O 的切线，点 A 为切点， ∴圆心 O 到 l的距 离等于半径，所以 OA 就是圆心 O 到直线 l的距离. ∴OA⊥直线 l. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言： ∵直线 l是⊙O 的切线，切点为 A. ∴OA⊥直线 l. 三、典例精析，掌握新知 例 1 教材 98 页例 1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个 条件，即“经过半径外端 ”和“垂直于这条半径 ”.引导学生分析. 例 2 （1）如图（1），AB 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 是切点， 115 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 ∠PAB=30 ° , 求∠AOB. 四、运用新知，深化理解 1.完成教材第 98 页练习 1、2. 五、师生互动，课堂小结 这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.2.2.2 切线的判定与性质 切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 教学 反思 116 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.2.2.3 切线长定理 课型 概念课 教学目标 1、理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内 心等概念. 2、利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆 的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 3、经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力 教学重点 切线长定理及其应用. 教学难点 内切圆、 内心的概念及运用. 教学准备 教师 课件、教材、三角尺、圆规 学生 课本、练习册、练习本、 直尺、圆规 课堂教学过程 二次备课 24.2.2.3 切线长定理 一、情境导入，初步认识 探究 如图，纸上有一⊙O，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线 PO 对折， 设圆上与点 A 重合的点为 B，回答下列问题：（1）OB 是⊙O 半径吗？（2） PB 是⊙O 的切线吗？ （3）PA、PB 是什么关系？ （4） ∠APO 和∠BPO 有 何关系？ 学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问 题. 二、思考探究，获取新知 1.切线长的定义及性质 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫 做这点到圆的切线长. 我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线. 117 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 如右图中，PA、PB 是⊙O 的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又 OA=OB， OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP， ∴PA=PB， ∠AOP= ∠BOP， ∠APO= ∠BPO. 由此我们得到切线长定理 : 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角. 猜想：在上图中连接 AB，则 OP 与 AB 有怎样的关系？ 分析：∵PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点. ∴PA=PB，∠OPA= ∠OPB， ∴OP⊥AB，且 OP 平分 AB. 2.三角形的内切圆 思考 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用 料，并且使圆的面积尽可能大呢？ 内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 三、典例精析，掌握新知 例 1 教材第 100 页，例 2（本题较简单，教师指点，可由学生自主 完成） 例 2 如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点，连接 OP，交⊙O 于 C，若 PA=6.PC=23.求⊙O 的半径 OA 及两切线 PA、PB 的夹 角. 例 3 如图，在△ABC 中，I 是内心， ∠BIC=100 ° , 则∠A= . 118 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 四、运用新知，深化理解 课本第 100 页练习 1、2 题. 五、师生互动，课堂小结 这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.2.2.3 切线长定理 1.切线长的定义及性质 2.切线长定理: 内切圆：内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点，叫做三角形的 内心. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 教学 反思 119 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.3 正多边形和圆 课型 概念课 教学目标 1、了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中 心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和 直尺来作圆内接正多边形. 2、结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会 用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 3、学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务 于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的. 教学重点 正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 教学难点 探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系. 教学准备 教师 课件、课本、圆规、三角尺 学生 课本、练习本、圆规、直尺 课堂教学过程 二次备课 24.3 正多边形和圆 一、情境导入，初步认识 观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用 正多边形得到的物体. （1）你能从图案中找出多边形吗？ （2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边 形来？ 二、思考探究，获取新知 1.正多边形和圆的关系 问题 1 将一个圆分成 5 等份，依次连接各分点得到一个五边形，这 120 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论. 教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证. 问题 2 如果将圆 n 等分，依次连接各分点得到一个 n 边形，这个 n 边形一定是正 n 边形吗？ 问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接 多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例. 2.正多边形的有关概念 综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念. 正 n 边形：中心角为： 360 °n；内角的度数为：180 °（n-2）n 3.正多边形和圆有关的计算问题 例 1（课本 106 页例题）有一个亭子，它的地基是半径为 4m 的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）. 例 2 填空. 4.画正多边形 正多边形边数 内角 中心 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60 ° 120 ° 2 6 4 90 ° 90 ° 2 1 8 4 6 120 ° 60 ° 2 12 6 画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方 式：（1）用量角器等分圆周. （2）用尺规等分圆 三、运用新知，深化理解 1.如图，圆内接正五边形 ABCDE，对角线 AC 与 BD 相交于点 P，则∠ 121 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 APB 的度数为 . 2.边长为 2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成 的圆环的面积为 . 3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面 积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比. 四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？正多边 形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.3 正多边形和圆 1.正多边形的有关概念 综合图形，给出正多边形的中心， 半径，中心角，边心距等概念. 正 n 边形：中心角为： 360 °n；内角的度数为：180 °（n-2）n 教学 反思 122 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.4.1 弧长和扇形面积 课型 新授课 教学目标 1、经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式， 并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力. 2、通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、 理解、概括、归纳能力和迁移能力. 3、通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转 化，体会转化在数学解题中的妙用. 教学重点 弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积. 教学难点 运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积. 教学准备 教师 课件、课本、三角尺、圆规 学生 课本、练习本、直尺、 圆规 课堂教学过程 二次备课 24.4.1 弧长和扇形面积 一、情境导入，初步认识 问题 1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 3m 的 绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问： （1）这只羊的最大活动面积是多少？ （2）如果这只羊只能绕过柱子 n °角，那么它的最大活动面积是多 少？ 问题 2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度 ”，再 下料，这就涉及到计算弧长的问题. 一 如图，根据图中的数据你能计算AB 的长吗？求出弯道的展直长度. 123 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 二、思考探究，获取新知 1.探索弧长公式 思考 1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少 度的圆周角所对的弧长？ 由此出发，1 ° 的圆心角所对的弧长是多少?n ° 的圆心角所对的弧长多少？ 由此可得出 n ° 的圆心角所对的弧长是：l=n πR/180. 小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度. ②已知圆弧的半径为 50cm，圆心角为 60 ° , 求此圆弧的长度. 2.扇形面积计算公式 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形. 思考 2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答） 从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关. 扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大. 思考 3 若⊙O 的半径为 R，求圆心角为 n ° 的扇形的面积. 小练习： ①如果扇形的圆心角是 230 ° , 那么这个扇形的面积等于这个扇形 所在圆的面积的 23/36. ②扇形面积是它所在圆的面积的 23，这个扇形的圆心角的度数是 240 ° ; ③扇形的面积是 S，它的半径是 r，这个扇形的弧长是：2S/r. 三、典例精析，掌握新知 例 1（教材 112 页例 2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半 124 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 径为 0.6m，其中水面高 0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到 0.01m2）. 例 2 如图，⊙O1 半径是⊙O2 的直径，C 是⊙O1 上一点，O1C 交⊙O2 于点 B，若⊙O1 的半径等于 5cm，AC 的长等于⊙O1 周长的 110，则 AB 的长是 cm. 四、运用新知，深化理解 完成教材第 113 页练习 3 个小题. 五、师生互动，课堂小结 通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解 决实际问题吗？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.4.1 弧长和扇形面积 1、n ° 的圆心角所对的弧长是：l=n πR/180. ( 2、扇形的半径越长，扇形面积越大； )扇形的圆心角越大，扇形面积越大. G 教学 反思 125 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积 课型 新授课 教学目标 1．了解圆锥的有关概念，掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式，并会运用 公式计算圆锥的侧面积和全面积. 2．能熟练运用公式解决实际问题，培养应用创新意识. 3.通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆 锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力 和分析问题解决问题的能力. 教学重点 计算圆锥的侧面积和全面积. 教学难点 圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算. 教学准备 教师 PPT 圆锥模型 学生 圆锥模型 课堂教学过程 二次备课 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积 一、创设情景，引出课题 复习回顾：1.请叙述弧长公式和扇形的面积公式？ 2.什么是圆锥？什么是母线？ 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段。 二、探究新知 环节一：探究圆锥侧面展开图 思考：(1)沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到的是什么图形？ 圆锥的侧面展开图是一个扇形 (2) 圆锥和侧面展开图之间存在怎样的联系？ 圆锥母线长等于侧面展开扇形的半径 ; 圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长. (3)圆锥的高 h 、底面圆的半径 r 、母线长 l ，三者之间存在怎样 的联系？ 126 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 圆锥的高、底面圆的半径、母线长三者构成直角三角形的三条边，所以 根据勾股定理，满足以下数量关系：h2+r2= l2 环节二：探究圆锥侧面积和全面积公式 思考：(4) 若圆锥的母线长为 l ，底面圆的半径为 r ，如何计算圆锥 的侧面积？ S 侧面积= S扇形 = . 2πr . l 若圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，如何计算圆锥的全面积？ S 全面积 =S 底面面积+S 侧面积 =πr2+ πr l =πr（r+ l） 三、巩固练习 强调：（1）圆锥和侧面展开图之间的联系 ； （2）圆锥的高、底面圆的半径、母线长三者之间的数量关系。 四、典例精讲 例 3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成. 如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 12 m2，高 为 3.2 m，外围高 1.8 m 的蒙古包，至少需要多 少平方米的毛毡( π 取 3.142，结果取整数）？ 思考： 一个蒙古包由圆锥和圆柱组成，圆锥 需要多少平方米的毛毡呢？ 圆柱需要多少平方米的毛毡呢？ 一个蒙古包需要多少平方米的毛毡呢？ 解： 根据题意，下部圆柱的 底面积为 12 m2 ，高 h2 = 1.8 m； 上部圆锥的高 h1 = 3.2-1.8 = 1.4 ( m ). 圆柱的底面圆的半径 r = 12 π 1.954（m） 圆柱侧面积为 2π×1.954×1.8≈22.10（m2） 圆锥的母线长 l = 2.404（m） 圆锥的侧面积 S 侧面积= πr l=3.142×1.954×2.404≈14.76（m2） 127 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 因此，搭建 1 个这样的蒙古包至少需要毛毡 22.10+14.76=36.86（m2） 搭建 20 个这样的蒙古包至少需要毛毡 20×（22.10+14.76） ≈738（m2） 答：搭建 20 个这样的蒙古包至少需要 738 平米的毛毡。 五、课堂小结 本节课你们学会了什么？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积 h2+r2= l2 S 侧面积= S扇形 1 = 2 . 2πr . l S 全面积 =S 底面面积+S 侧面积 =πr2+ πr l =πr（r+ l） 教学 反思 128 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 第二十五章 《概率初步》 单元教学设计 一、单元教材分析： 本章将学习各种事件的分类，即必然事件、不可能事件和随机事件,其中随机事件 是本章学习的重点，会通过学习计算日常生活中的随机事件发生的可能性来理解概率的 意义，并掌握概率的计算公式、取值范围和求法，理解用列举法求单一事件和简单的双 重事件的概率，理解用试验频率来估计事件概率的道理，并能设计这类试验. 随机事件和一些简单的随机事件发生的概率的大小是中学教学很重要的一部分，在 自然界中，事先知道发生与否的事件并不多，而随机事件却大量存在，概率正是对随机 现象的一种数学描述，在近几年中考中，由于随机现象贴近生活，所以其分数所占的比 例越来越大. 二、单元教学目标： 1.了解必然事件、不可能事件、随机事件的特点，会判断一个事件是什么事件， 2.理解概率的定义，会用列举法(包括列表法树状图法)计算简单事件发生的概率，并能 说明理由。 3 会用随机事件的概率解决日常生活中简单的关于概率事件的实际问题。 4.能区分频率和概率的关系，会用频率估计一个随机事件发生的概率。 三、单元教学重点： 了解必然事件、不可能事件、随机事件的特点，会判断一个事件是什么事件 四、单元教学难点： 会用列举法(包括列表法树状图法)计算简单事件发生的概率，并能说明理由。 五、单元课时安排： 25.1 随机事件与概率………………………………………………………………2课时 25.2用列举法求概率………………………………………………………………2课时 25.3用频率估计概率………………………………………………………………1课时 25.4 复习…………………………………………………………………………2 课时 129 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 25．1.1 随机事件 课型 新授课 教学目标 1.不可能事件和随机事件的概念. 2.了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小 不同. 3.感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，会用数学的思维方式 解决现实问题. 教学重点 对随机事件发生的可能性大小的定性分析．能对必然事件、不可能事件、随机事件 做出正确判断. 教学难点 理解大量重复试验的必要性. 教学准备 教师 课件 教案纸片，骰子，扑克牌 学生 课本 练习本,骰子，扑克牌 课堂教学过程 二次备课 25．1.1 随机事件 活动一：创设情境、导入新课 下列问题中，哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的？ (1) 煮熟的鸭子飞了； (2) (2)从装满黑球的袋中摸出一个球，是黑球； (3) (3)测量冰水的温度，结果为 100 ℃; (4) (4)公鸡下了一枚蛋； (5) (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)太阳从西边下山. 活动二：实践探究、交流新 1．探究事件的类型 活动一：针对【课堂引入】的问题进行探究，教师总结过程. 师生活动：学生根据生活常识和学科综合知识， 自主判断哪些是必然发 生的，哪些是不可能发生的，然后小组内合作、交流，教师进行点拨、 总结．事件(2)(5)(7)必然发生；事件(1)(3)(4)(6)不可能发生，教师引 出必然事件和不可能事件. 130 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 活动二：小组合作，掷一枚质地均匀的正方体骰子，一人掷，其他人观 察并作好记录，骰子的六个面上分别标有 1 至 6 的点数．掷一次骰子， 观察骰子向上一面的点数，同学们可通过大量重复试验，来发现并回答 以下问题： (1)可能出现哪些点数？ (2)出现的点数大于 0，可能吗？这是什么事件？ (3)出现的点数是 7，可能吗？这是什么事件？ (4)出现的点数是 4，可能吗？这是什么事件？ (5)你能列举与事件(3)相似的事件吗？ 师生活动：提出问题，引导学生试验回答，让学生感知事件发生的多种 情况. 2．探究各类事件的概念 活动三：提出问题，探索概念 (1)什么是必然事件，什么是不可能事件，什么是随机事件？ (2)怎样的事件称为随机事件呢？ (3)必然事件和不可能事件的区别在哪里？ 师生活动：学生用自己的语言进行描述，教师给予充分的肯定和鼓励， 师生共同总结．教师讲解并板书： 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件. 在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件. 其中必然事件与不可能事件统称确定性事件. 3.探究随机事件发生的可能性大小 问题：袋子中有 4 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完 全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋子中摸出 1 个球. (1)这个球是白球，还是黑球？ (2)经过多次重复试验，摸出黑球和白球的次数哪个多？说明什么问题？ 师生活动：学生分小组参与试验，并作好记录．重复试验，统计结果， 加以分析，并汇报．师生一起对试验结果做出分析、总结. 131 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 结论：(1)要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量的重复试验； (2) 一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可 能性的大小可能不同. 活动三：开放训练、体现应用 例 1 下列事件中，是必然事件的是(B) A．购买一张彩票，中奖 B．一般情况下，温度降到 0 ℃以下，纯净的水结冰 C．明天一定是晴天 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 学生进行回答，教师给予指导，最后确定答案. 例 2 一只不透明的袋子中有 2 个红球，3 个绿球和 5 个白球，每个球除 颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球. (1)会有哪些可能的结果？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色球可能性最小？ (3)能否通过改变某种颜色球的数量，使“摸到红球 ”和“摸到白球 ”的 可能性大小相同？ 解： (1)从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球. (2)∵白球最多，红球最少， ∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小. (3)拿出 3 个白球，或放入 3 个红球即可. 师生活动：学生自己思考、解答、发言. 教师归纳： 由于两种球的数量不等，所以摸出红球和绿球的可能性不一 样大．摸出红球的可能性大于摸出绿球的可能性. 活动四：课堂检测 1.下列事件中，不可能事件是(C) A．两点确定一条直线 B．五边形的内角和为 540 ° C．实数的绝对值小于 0 D．如果 a2 ＝b2 ，那么 a＝b 2．下列事件中，是随机事件的为(B) A．水涨船高 B．冬天下雪 C．水中捞月 D．冬去春来 132 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 3．小明同学参加“献爱心 ”活动，买了 2 元一注的爱心福利彩票 5 注， 则“小明中奖 ”的事件为随机事件(填“必然 ”“不可能 ”或“随机 ”). 4．一个袋中装有 10 个红球，6 个黄球，4 个白球，每个球除颜色外都相 同，搅匀后，任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大. 活动五：课堂小结 (1)必然事件、不可能事件和随机事件的概念； (2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 25.1.1 随机事件 1．在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称 为必然事件. 2．在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件 称为不可能事件. 3．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随 机事件. 教学 反思 133 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 25.1.2 概率 课型 新授课 教学目标 1 在具体情境中了解概率的意义，体会事件发生的可能性大小与概率的值的关系. 2 理解“事件 A 发生的概率是 P(A)＝(在一次试验中有 n 种等可能的结果，其中事 件 A 包含其中的 m 种结果) ”，并能求出简单问题的概率. 3.会用概率解决生活实际中的问题. 教学重点 在具体情境中了解概率的意义，理解概率定义及计算公式 P(A)＝ . 教学难点 了解概率的意义，理解概率计算的两个前提条件. 教学准备 教师 转盘 教案 课件 学生 课本 练习本 课堂教学过程 二次备课 25.1.2 概率 活动一：创设情境、导入新课 在同样条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么它发生的可 能性究竟有多大？能否用数值进行刻画呢？这节我们就来研究这问题. 活动二：实践探究、交流新知 探究 1 概率的定义 试验 1：每名学生都拿出课前准备好的分别标有 1，2，3，4，5 号的 5 根纸签，从中随机地抽取一根，观察上面的数字，看看有几种可能出现 的结果． (如此多次重复) 试验 2：教师随意抛掷一枚质地均匀的骰子，请学生观察骰子向上一面 的点数，看看有几种可能出现的结果． (如此可重复多次) 问题：(1)试验 1 中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可 能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？ (2)试验 2 中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性 大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？ 教师从随机事件抽签和掷骰子的结果入手引导学生思考，尝试回答，理 解每种结果的等可能性，引出概率的定义： 134 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值， 称为随机事件 A 发生的概率，记为 P(A). 探究 2 概率的求法 1．由探究 1 师生共同总结能直接利用公式计算概率的事件必须满足的两 个前提条件： (1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个. (2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 2．教师讲解、板书概率的求解方法： 一般地，如果在一次试验中有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性 都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P(A)＝ . 3．师生探索事件发生概率的范围： 由 m 和 n 的含义，可知 0≤m≤n，进而有 0≤≤1，因此，0≤P(A)≤1. 特别地，当 A 为必然事件时，P(A)＝1；当 A 为不可能事件时，P(A)＝0. 易知：事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；事件发生的可能性 越小，它的概率越接近 0. 活动三：开放训练、体现应用 例 1 掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事 件的概率： (1)点数为 2； (2)点数为奇数； (3)点数大于 2 且小于 5. 师生活动：教师引导学生进行分析，因为掷一枚质地均匀的骰子时，向 上一面的点数可能为 1，2，3，4，5，6，共 6 种．这些点数出现的可能 性相等，所以可用 P(A)＝来求解. 解：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为 1，2，3，4，5， 6，共 6 种．这些点出现的可能性相等. (1)点数为 2 有 1 种可能， 135 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 因此 P(点数为 2)＝ . (2)点数为奇书有 3 种可能，即点数为 1，3，5， 因此 P(点数为奇数)＝ ＝ . (3)点数大于 2 且小于 5 有 2 种可能，即点数为 3，4， 因此 P(点数大于 2 且小于 5)＝ ＝ . 例 2 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 7 个大小相同的扇形， 颜色分为红、黄、绿三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后， 其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线 时，当作指向右边的扇形)．求下列事件的概率： (1)指针指向红色； (2)指针指向红色或黄色； (3)指针不指向红色. 师生活动：教师引导学生分析， 问题中可能出现的结果有 7 种，即指针 可能指向 7 个扇形中的任意一个．因为扇形的大小相等，所以指向每个 扇形的可能性相等，所以可以根据概率公式求解. 活动四：课堂检测 1.如图是由 3 块面积相同的瓷砖镶嵌而成的长方形地面示意图，一只小 鸟随机落在阴影部分的概率为(B) A. B. C. D．1 2．布袋中装有 2 个红球、3 个白球、5 个黑球，它们除颜色外均相同， 则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是(A) A. B. C. D. 3．如图为一个转盘游戏盘，其中各扇形的面积相等，求下列事件的概率： (1)指针指向 5 的概率是 . (2)指针指向 6 的概率是 0. (3)指针指向小于 4 的概率是 . 136 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 (4)指针指向奇数的概率是 . (5)指针指向大于 0 的数的概率是 1. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解 活动五：课堂小结 (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 25.1.2 概率 1．概率的定义. 2．概率的计算公式及概率的取值范围. 3．概率计算必须满足的两个前提条件. 教学 反思 137 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 25.2.1 用列表法求概率 课型 新授课 教学目标 1、学习用列表法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。 2、 经历列表、统计、运算等活动，在具体情境中分析事件，渗透数形分步思考的 思想，提高分析问题和解决问题的能力。 3、 通过探索、归纳列表法，感受分步分析对思考较复杂问题时所起到的重要作用。 教学重点 掌握用列表法求简单事件概率（有放回或相互独立型）。 教学难点 不重不漏列举全部的结果。 教学准备 教师 PPT 学生 作业纸 尺子 课堂教学过程 二次备课 25.2.1 用列表法求概率 一、复习旧知 1、什么叫不可能事件，必然事件，随机事件？ 2、什么是等可能事件？怎样求等可能事件的概率？ 3、回答下列问题，并说明理由. （1）掷一枚硬币，正面向上的概率是 ； （2）袋子中装有 5 个红球，3 个绿球，这些球除了颜色外都相同，从 袋子中随机摸出一个球，它是红色的概率为 ； （3）掷一个骰子，观察向上一面的点数，点数大于 4 的概率为 . 二、导入新课 思考： 1.掷一枚质地均匀的硬币有几种可能的结果？ 它们的可能性相等 吗？正面向上的概率是多少？ 2.“把掷一枚质地均匀的硬币 ”改为“ 同时掷两枚质地均匀的硬币 ” 有几种可能的结果？它们的可能性相等吗？两个硬币全部正面向上 的概率是多少？ 三、探究新知 例 1 如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字 1、2、3，乙转盘 的四个等分区域分别写有数字 4、5、6、7。现分别转动两个转盘， 138 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 求指针所指数字之和为偶数的概率。 为了规范学生的解题格式，将解题的步骤展示出来 四、运用新知 例 2 同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率: (1)两个骰子的点数相同； (2)两个骰子点数之和是 9； (3)至少有一个骰子的点数为 2. 思考： 如果把上例中的“ 同时掷两个骰子 ”改为“把一个骰子掷两次 ”， 所得到的结果有变化吗？ 五、巩固新知 1、连续二次抛掷一枚硬币，二次正面朝上的概率是( ) 3 A、 4 1 B、 3 C、 1 2 D、 1 4 2、在一个口袋中有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号 1，2，3， 4，5，随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，用列 表法求下列事件的概率 （1）两次取的小球的标号相同； （2）两次取的小球的标号的和等于 5. 六、小结 通过刚才的学习，你对利用列表法求随机事件的概率有什么收获和 体会？ 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 139 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 板书 设计 25.2.1 用列举法求概率 1.确保试验中每种结果出现的可能性大小相等 2.当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多 时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。 教学 反思 140 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 25.2.2 用树状图求概率 课型 新授课 教学目标 1.理解并掌握用用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题。 2.正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法。 3.经历实验、画图、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其 发生的概率，渗透数形结合的思想，提高分析问题和解决问题的能力。 4.通过丰富的教学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造， 体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯。 教学重点 理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率 教学难点 用画树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率 教学准备 教师 课件 学生 练习本 课堂教学过程 二次备课 25.2.2 用树状图求概率 一、课堂引入 用列举法求概率的方法 （1）总共有几种可能，即求出 n （2）每个事件中有几种可能的结果，即求出 m，从而求出概率 （3）什么时候用列表法？列举所有可能的结果的方法有哪些？ 二、例题讲解 例 1（教材例 3） 甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口 袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 H 和 I。从三个口袋中各随机取出一 个小球。 （1）取出的 3 个小球上恰好有 1 个、2 个和 3 个元音字母的概 率分别是多少？ （2）取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 例 1 与上节课的例题比较，有所不同，要从三个袋子里摸球，即 141 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 涉及到三个因素，此时同学们会发现用列举法就不太方便，可以尝试用 树状图法。 本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关 键. 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个，即： A A A A A A B B B B B B C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I H I H I (幻灯片上用颜色区分) 这些结果出现的可能性相等. 只有一个元音字母的结果(黄色)有 5 个，即 ACH，ADH，BCI，BDI， BEH，所以 P(1 个元音)＝ 5/12 有两个元音的结果(白色)有 4 个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以 P(2 个元音)＝ 4/12=1/3； 全部为元音字母的结果(绿色)只有 1 个，即 AEI，所以 P(3 个 元音)＝ 1/12 （2）全是辅音字母的结果(红色)共有 2 个，即 BCH，BDH，所以 P(3 个辅音)＝ 2/12=1/6 通过例 1 的解答，很容易得出题后小结： 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，通常采用“画树形图 ”．运 用树状图法求概率的步骤如下： (幻灯片) ①画树状图； ②列出结果，确定公式 P(A)＝m/n 中 m 和 n 的值； ③利用公式 P(A)＝m/n 计算 三、练习巩固 教材 139 页练习 四、课堂小结 142 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 我们学习了几种求概率的方法？什么时候用列表法？什么时候用树 状图法？（生自己总结，并交流反馈） 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 25.2.2 用树状图求概率 1 、例 1 2 、树状图： 教学 反思 143 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 学校： **中学 年级： 九年级 主备教师： **老师 课题 25.3 用频率估计概率 课型 新授课 教学目标 （1）了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义. （2）能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率. （3）通过具体事例，理解频率与概率的区别与联系 教学重点 能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率. 教学难点 通过具体事例，理解频率与概率的区别与联系 教学准备 教师 课件 学生 导学案 课堂教学过程 二次备课 25.3 用频率估计概率 一、复习旧知，做好铺垫 （1）一个口袋内装有 2 个红球，4 个白球，现从中随机的抽取一个 球，取出的球是红球的概率是多少？ （2）抛掷两枚质地均匀的硬币，全部正面向上的概率是多少？ （3）古典概型的条件是什么？用什么方法求？ 师生活动：教师投影问题，学生口答. 二、游戏引入，提出问题 活动 1 “谁是幸运儿 ” 师生活动：教师用希沃白板随机抽取一个同学，被选中的同学参加 抽奖. 活动 2 抽奖游戏：三张编号分别为①②③的扑克牌，颜色为两红 一黑．从这三张牌中任选一张，如果选中黑色牌获奖！ 师生活动： “幸运儿 ”说出自己选①号牌，教师掀开显示为红色的 ②号牌，告诉“幸运儿 ”可以继续选①号牌，也可改选③号牌．教师向 全班同学提出问题：此时选①号牌和③号牌获奖的概率相同吗？如果不 同，哪个获奖的概率更大？ 144 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 试验者 抛掷次数 （n） “正面向上 ” 次数（m） “正面向上 ” 频率（m/n） 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 三、试验探索，应用方法 试验 1：抛图钉试验 试验规则： （1）全班分成 10 个小组，每小组 4 人，每组完成 50 次抛掷，统一从数学教材的高度处落下，并做好记录； （2）每个小组的组长汇总 50 次试验的结果，并报告给教师，教师 分组 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 “钉尖着 地 ”的次 数 m “钉尖着 地 ”的频 率 m n 用电子表格自动得出各组频率及累加后的频率，绘制出频率折线图. 从表中可以发现，“钉尖着地 ”的频率在 左右摆动， 并且随 抛 掷 次 数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “ 钉 尖 着地 ”的 次数 m “ 钉 尖 着地 ”的 频率 m n 145 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计从一定高度落下的图 钉，“钉尖着地 ”的概率为 . 师生活动：教师再次询问“幸运儿 ”，是否换选③号牌．引导学生 可以通过试验统计换选中奖的频率，估计换选中奖的概率有多大，组织 学生进行试验，学生分组试验. 试验 2：扑克抽奖 试验规则： （1）全班分成 10 个小组，每小组 4 人，每组完成 40 次抽牌（每人 10 次），统计换选中奖的频数和频率，把数据填写在黑板 分组 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 换选中奖的 频数 m 换选中奖的 m 频率 n 的表格中； （2）教师用电子表格自动得出各组频率及累加后的频率，绘制出频 抛掷次数 n 40 80 12 0 16 0 20 0 24 0 28 0 32 0 36 0 40 0 换选中奖的 频数 m 换选中奖的 m 频率 n 率折线图. 学生观察表格中统计的数据，估计换选中奖的概率，教师说明换选 中奖概率的理论值，让学生体会用频率估计概率的合理性与广泛性. 教师最后询问“幸运儿 ”是否换选③号牌，发放奖品. 四、回顾小结，归纳提升 教师引导学生从以下三个方面进行小结： （1）学习过程：动手试验—收集、分析试验数据——猜测结果—— 146 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025 学年（上）**教育集团九年级数学学科集体备课教案 进行验证—形成新知. （2）弄清频率与概率的关系. （3）掌握用大量重复试验所得的频率去估计概率. 师生活动：请学生个别发言，相互补充，教师引领提升. 作 业 设 计 必 做 一、知识梳理 二、基础巩固 三、综合应用 选 做 四、拓展延伸 板书 设计 25.3 用频率估计概率 活动 1 “谁是幸运儿 ” 活动 2 抽奖游戏 活动 3 试验探索，应用方法 教学 反思 147 学科网（北京）股份有限公司 $$