专题33抛物线（讲义） - 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第33个专题：抛物线。本专题涵盖抛物线的定义、标准方程、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题33抛物线（讲义） 一、双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线与的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴长 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 三、双曲线的计算问题： 1.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为　 2.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 3.焦点三角形的面积，其中 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 5．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为: 四、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） 1.（2025年内蒙古对口升学）已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F, 点A(x ,4)在抛物线上，点A 到点F的距离与到直线y=-的距离相等，则|AF|=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.（2024年内蒙古对口升学） 若点P是抛物线y²=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线 的距离之和的最小值是 . 3.（2023年内蒙古对口升学）已知点A(4,-3),F 是抛物线x²=-8y的焦点,M是抛物线上的点,当|MA|+|MF|的值最小时，点M 的坐标是 A.(4,2) B.(4,-2) C.(2√6,-3) D.(-2√6,-3) 4.（2022年内蒙古对口升学）若抛物线= 2px(p > 0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别是 10 和 6, 则抛物线的标准方程是 ( ) A. = 4x B. = 8x C. = 8x 或= 36x D. = 4x 或 = 36x 5.（2021年内蒙古对口升学）抛物线y=m的准线方程式y=2，则m的值是（） A. B.- C. D.- 知识点一 抛物线的定义及标准方程B 1.与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______． 2.已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程. 3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4.若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 5.已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）. A． B． C．或 D．4或 6.已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7.焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 9.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10.已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（    ） A．   B．   C．   D．   11.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________． 12.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______． 知识点二 抛物线的几何性质 1.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点，求抛物线的标准方程. 3.抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求的准线方程. 4.对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 5.抛物线的焦点到其准线的距离是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ） A． B． C． D． 7.抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 8.抛物线的对称轴是直线（       ） A． B． C． D． 9.过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10.关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第33个专题：抛物线。本专题涵盖抛物线的定义、标准方程、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题33抛物线（讲义） 一、双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线与的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴长 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 三、双曲线的计算问题： 1.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为　 2.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 3.焦点三角形的面积，其中 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 5．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为: 四、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） 1.（2025年内蒙古对口升学）已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F, 点A(x ,4)在抛物线上，点A 到点F的距离与到直线y=-的距离相等，则|AF|=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案： D 解析： 2.（2024年内蒙古对口升学） 若点P是抛物线y²=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线 的距离之和的最小值是 . 答案： 解析： 3.（2023年内蒙古对口升学）已知点A(4,-3),F 是抛物线x²=-8y的焦点,M是抛物线上的点,当|MA|+|MF|的值最小时，点M 的坐标是 A.(4,2) B.(4,-2) C.(2√6,-3) D.(-2√6,-3) 答案： B 解析：首先分析抛物线的性质： 对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为。 在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为。 然后利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。设点M到准线的距离为d，则，即。要使的值最小，根据“垂线段最短”，当过点A向准线作垂线，与抛物线的交点即为所求的点M。已知，点A到准线的垂线方程为。 把代入抛物线方程，可得，即，解得。 所以点M的坐标是。综上，答案是B选项。 4.（2022年内蒙古对口升学）若抛物线= 2px(p > 0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别是 10 和 6, 则抛物线的标准方程是 ( ) A. = 4x B. = 8x C. = 8x 或= 36x D. = 4x 或 = 36x 答案：D 解析： 5.（2021年内蒙古对口升学）抛物线y=m的准线方程式y=2，则m的值是（） A. B.- C. D.- 答案： B 解析： 知识点一 抛物线的定义及标准方程 1.与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，所以该抛物线方程是， 故答案为： 2.已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程. 【答案】 【解析】解：由题意抛物线的焦点，准线方程是，，， 的标准方程为. 3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线：，抛物线上一点到其焦点的距离为， 点到准线的距离为，，抛物线方程为. 故选：D 4.若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得抛物线的准线方程为到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，故抛物线方程为， 故选：B． 5.已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）. A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【解析】抛物线开口向左，依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，所以，抛物线方程为，令，得，解得， 故选：C 6.已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得， 所以抛物线方程为， 故选：D， 7.焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的焦点坐标为，A错误； 对于B，的焦点坐标为，B错误； 对于C，的焦点坐标为，C错误； 对于D，的焦点坐标为，D正确. 故选：D. 8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为：，由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，即，得，抛物线方程为，则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2. 故选：C 9.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆可得，所以左焦点坐标为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为， 故选：C. 10.已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由已知可知双曲线的焦点为，故设抛物线方程为 ，则，故 ，所以抛物线方程为， 故选:D. 11.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5. 故答案为：5. 12.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______． 【答案】          【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为． 故答案为：； 知识点二 抛物线的几何性质 1.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为， 故选：B 2.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点，求抛物线的标准方程. 【答案】 【解析】解：因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，将点代入可得，所以，所以抛物线的标准方程为， 3.抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求的准线方程. 【答案】 【解析】解：由椭圆可得，所以椭圆的焦点坐标为和，     又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为，从而的准线方程为； 4.对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 故选A项. 5.抛物线的焦点到其准线的距离是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离； 故选：A 6.下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为 故选：B 7.抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可化为，所以抛物线的准线方程为． 故选：B． 8.抛物线的对称轴是直线（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线． 故选：D． 9.过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线方程为； 故选：C 10.关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】A 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D错误. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$