专题32双曲线（讲义） - 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第32个专题：双曲线。本专题涵盖双曲线的定义、标准方程、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题32双曲线（讲义） 一、双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线与的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴长 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 三、双曲线的计算问题： 1.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为　 2.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 3.焦点三角形的面积，其中 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 5．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为: 四、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） 1.（2024年内蒙古对口升学）方程 + =所表示的曲线为( ) A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 y 轴上的双曲线 答案： B 解析： 2.（2025年内蒙古对口升学）已知双曲线- =与椭圆+ =有公共的焦点 ,, 点 P 为双曲线与椭圆的交点，且PF⊥PF,则双曲线的离心率为 . 答案： 解析： 3.（2023年内蒙古对口升学）已知F₁(0,-3),F₂(0,3) 为双曲线的两个焦点,P 是双曲线上的点,且 P 到 , 的距离差为4,则双曲线的标准方程为 . 答案： 解析： P 到 , 的距离差为4 4.（2022年内蒙古对口升学）已知双曲线 - =）的一个焦点与抛物线= 8x的焦点重合, 则a= A. 1 B. 2 C.3 D. 4 答案：B 解析： 5.（2021年赤峰一模）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，所以椭圆的焦点为，设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以，所以双曲线的方程为. 故选：D 知识点一 双曲线的定义、标准方程 1.若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（     ） A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 【答案】D 【解析】由题设，，可得. 故选：D 2.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】2a＝，所以，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为， 故选：B 3.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1. 4.双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 【答案】B 【解析】由题知双曲线，所以 ，记左，右焦点分别为 ，所以根据定义得 ，因为,所以或，因为时，，即不满足题意，所以， 故选B 5.双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______． 【答案】6 【解析】由双曲线方程得，由双曲线定义得， 故答案为：6． 6.已知平面内两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线， 设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是. 故答案为：. 7.已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，，故，又，故，故双曲线的标准方程为：. 故选：C 8.已知双曲线的左右焦点分别是，，实轴长为4，过的直线与双曲C线的右支交于A，B两点，若是和的等差中项，则的周长为______． 【答案】24 【解析】由是和的等差中项得，根据双曲线的定义知，，两式相加得，即，，故的周长为，因为，所以的周长为24． 故答案为： 9.过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为. 故答案为：24 10.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，则或. 故选：A 11.已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： .故选：C. 知识点二 双曲线的性质及应用 1.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为，得，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即． 故选:A． 2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，因为一条渐近线方程为，即，所以，即，故， 3.双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【答案】D 【解析】对于双曲线可得：焦点在轴上，,则离心率，渐近线，实轴长，焦点，对于双曲线可得：焦点在轴上，，则离心率，渐近线，实轴长，焦点 ∴ABC错误，D正确 故选：D． 4.曲线与曲线的（       ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，实数满足，曲线是双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确； 焦距为：，焦距相等，所以D正确； 离心率为：和，不相等，所以C不正确． 故选：D． 5.若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得点在直线上，所以. 故选：C. 6.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上，故该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 7.若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由渐近线方程可知，则. 故选：A. 8.已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的一条渐近线为,所以,所以双曲线的离心率为. 故选：D. 9.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，所以双曲线渐近线为. 故选：B 10.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（       ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为 【答案】D 【解析】在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误； 焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；焦点到渐近线的距离为，故C错误； 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第32个专题：双曲线。本专题涵盖双曲线的定义、标准方程、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题32双曲线（讲义） 一、双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线与的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴长 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 三、双曲线的计算问题： 1.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为　 2.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 3.焦点三角形的面积，其中 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 5．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为: 四、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） 1.（2024年内蒙古对口升学）方程 + =所表示的曲线为( ) A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 y 轴上的双曲线 2.（2025年内蒙古对口升学）已知双曲线- =与椭圆+ =有公共的焦点 ,, 点 P 为双曲线与椭圆的交点，且PF⊥PF,则双曲线的离心率为 . 3.（2023年内蒙古对口升学）已知F₁(0,-3),F₂(0,3) 为双曲线的两个焦点,P 是双曲线上的点,且 P 到 , 的距离差为4,则双曲线的标准方程为 . 4.（2022年内蒙古对口升学）已知双曲线 - =）的一个焦点与抛物线= 8x的焦点重合, 则a= A. 1 B. 2 C.3 D. 4 5.（2021年赤峰一模）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 知识点一 双曲线的定义、标准方程 1.若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（     ） A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 2.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 4.双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 5.双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______． 6.已知平面内两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是 . 7.已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8.已知双曲线的左右焦点分别是，，实轴长为4，过的直线与双曲C线的右支交于A，B两点，若是和的等差中项，则的周长为______． 9.过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 10.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11.已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 知识点二 双曲线的性质及应用 1.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（       ） A． B． C． D． 3.双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 4.曲线与曲线的（       ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5.若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（    ） A．2 B． C． D． 6.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 7.若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ）． A． B． C．2 D． 8.已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 9.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 10.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（       ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$