专题31椭圆（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第31个专题：椭圆。本专题涵盖椭圆的定义、标准方程、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题31椭圆 （讲义） 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 　注意：若，则动点的轨迹为线段； 　　　　若，则动点的轨迹无图形. 二、椭圆的简单几何性质 　　椭圆：与 的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长=，短轴长= 长半轴长=，短半轴长=（注意看清题目） 离心率 ；；； (p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 三、椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导） 5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为=1或=1 ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: <1,点在椭圆内；=1，点在椭圆上；>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解） 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长 = 1.（2024年内蒙古对口升学）设 ,为椭圆 + =的两个焦点，点 P在椭圆上,若线段 的中点在 y 轴上,则 = A. B. C.3 D. 2.（2023年内蒙古对口升学） 已知△ABC 的顶点B,C 在椭圆上，顶点A(2,0)是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点 在 BC 边上.若△ABC的周长为4√5,则该椭圆的离心率e 为 A. B. C . D. 3.（2022年内蒙古对口升学）已知椭圆 + =)经过点 A(2,0)和 B(0, —1), 则椭圆的离心率是________. 4.（2020年内蒙古对口升学）已知△ABC的顶点B(-3.0).C(3.0).顶点A在椭圆+=1上，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 5.（2021年开鲁一模）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 知识点一 椭圆的定义、标准方程 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 2.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______． 3.已知分别为椭圆的左右焦点，倾斜角为的直线经过，且与椭圆交于两点，则△的周长为___． 4.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 5.P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．9 6.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ） A．10 B．15 C．20 D．25 、7.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，一个顶点为； (2)一个焦点为，长轴长为4； 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，离心率为； (2)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2. 9.已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________． 10.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜ C．＜m＜16 D．m＞ 11.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 知识点二 椭圆的性质及应用 1.椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 2.椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 4.已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点，求椭圆的方程. 5.椭圆的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 6.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．8 7.有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 8.已知椭圆与，则两个椭圆（       ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 9.若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 10.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第31个专题：椭圆。本专题涵盖椭圆的定义、标准方程、性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题31椭圆 （讲义） 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 　注意：若，则动点的轨迹为线段； 　　　　若，则动点的轨迹无图形. 二、椭圆的简单几何性质 　　椭圆：与 的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长=，短轴长= 长半轴长=，短半轴长=（注意看清题目） 离心率 ；；； (p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 三、椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导） 5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为=1或=1 ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: <1,点在椭圆内；=1，点在椭圆上；>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解） 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长 = 1.（2024年内蒙古对口升学）设 ,为椭圆 + =的两个焦点，点 P在椭圆上,若线段 的中点在 y 轴上,则 = A. B. C.3 D. 答案： A 解析： 2.（2023年内蒙古对口升学） 已知△ABC 的顶点B,C 在椭圆上，顶点A(2,0)是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点 在 BC 边上.若△ABC的周长为4√5,则该椭圆的离心率e 为 A. B. C . D. 答案：A 解析： 3.（2022年内蒙古对口升学）已知椭圆 + =)经过点 A(2,0)和 B(0, —1), 则椭圆的离心率是________. 答案： 解析：已知椭圆经过点A(2,0)代入椭圆方程，得到，即，解得。 又因为椭圆经过点，将点代入椭圆方程，得到，即，解得。 根据椭圆的性质，已知，，则。 椭圆的离心率，把，代入可得。故椭圆的离心率是。 4.（2020年内蒙古对口升学）已知△ABC的顶点B(-3.0).C(3.0).顶点A在椭圆+=1上，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 5.（2021年开鲁一模）已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为的周长等于10，，所以，因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，因此有，所以顶点的轨迹方程可以是， 故选：A 知识点一 椭圆的定义、标准方程 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 【答案】 【解析】由题设，，可得. 故选：A 2.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______． 【答案】 【解析】椭圆，所以，即、，直线过左焦点，所以，，， 所以； 故答案为： 3.已知分别为椭圆的左右焦点，倾斜角为的直线经过，且与椭圆交于两点，则△的周长为___． 【答案】20 【解析】由椭圆方程知：，而，又△ABF2的周长是 . 故答案为：20． 4.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，，，椭圆方程为， 故选：C. 5.P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【解析】对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得，又，故. 故选：A. 6.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（            ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解析】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知. ∴. 故选：C 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，一个顶点为； (2)一个焦点为，长轴长为4； 【答案】(1)；(2)； 【解析】解：(1)由题设，，则，又焦点为，所以椭圆标准方程为. (2)由题设，，则，又焦点为，所以椭圆标准方程为. 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，离心率为； (2)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】解：(1)由题设，，则，，又焦点为，所以椭圆标准方程为. (2)由题设，，则，故，所以椭圆标准方程为或. 9.已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】设，，所以，即点是以顶点为焦点的椭圆，，，则，所以椭圆方程，因为三点不能共线，所以，则顶点A的轨迹方程为. 故答案为： 10.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜ C．＜m＜16 D．m＞ 【答案】C 【解析】　依题意，可得解得＜m＜16. 11.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】C 【解析】∵|AB|＝3，∴|AF2|＝，∴在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝＋4＝，即|AF1|＝，∴|AF1|＋|AF2|＝4＝2a，即a＝2.∵c＝1，∴b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1. 知识点二 椭圆的性质及应用 1.椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知椭圆中，，，，故离心率． 故选：A． 2.椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为， 故选：B. 3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设焦距为．因为的周长为18，所以，所以．因为长半轴长为5，即，所以椭圆C的离心率为. 故选：B． 4.已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点，求椭圆的方程. 【答案】 【解析】解：因为椭圆的离心率，椭圆经过点，所以，又， 解得，，， 所以椭圆的方程为． 5.椭圆的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】椭圆的一个焦点是，焦点在轴上，，，，． 故选：B 6.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．8 【答案】 【解析】由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m<4时，4＝m＋1，∴m＝3. 故选：C. 7.有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长等于4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 【答案】A 【解析】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确. 故选：A. 8.已知椭圆与，则两个椭圆（       ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】D 【解析】将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，则，所以．将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，， 则，所以， 故选:D． 9.若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于椭圆经过点，且焦点分别为和，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的离心率为. 故选：C 10.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，由椭圆定义知：；，，即，，，椭圆的离心率. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$