专题30 直线与圆的位置关系（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第30个专题：直线与圆的位置关系。本专题涵盖直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题30 直线与圆的位置关系（讲义） 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线距离 d与半径r的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 圆与圆的位置关系 图形表示 文字表示 代数表示 外离 两个圆没有公共点时，并且每个圆 上的点都在另一个圆的外部 d>R₁+R₂ 外切 两个圆有唯一公共点时，并且除了 这个公共点外，每个圆上的点都在 另一个圆的外部 d=R₁+R₂ 相交 两个圆有两个公共点 |R-R₂|<d< |R+R₂ | 内切 两个圆有唯一公共点时，并且除了 这个公共点外，一个圆上的点都在 另一个圆的内部 0<d=|R₁-R₂ | 内含 两个圆没有公共点时，并且一个圆 上的点都在另一个圆的内部 0≤d<|R-R| 注：弦长公式：垂径定理 弦长公式在解决与圆相关的问题时尤为重要。它指出，从圆心垂直于弦的直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。利用这一性质，我们可以推导出弦长的计算公式。具体地，如果已知圆的半径r和圆心到弦的距离d，那么弦长可以通过公式计算得出。这一公式在求解直线与圆相交、相切等位置关系中的弦长问题时非常实用。 1.（2019年内蒙古对口升学）已知圆C经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若经过点（2，9）的直线AB交圆C于A,B两点，且直线AB与直线MN垂直，求弦AB的中点坐标． 2.（2020年内蒙古对口升学）经过直线x+2y-4=0与x轴的交点，且圆心是(1,- 3)的圆的方程是（ ） A. B. 26 C. D. =3 3. （2022年内蒙古对口升学）若直线 ax + y + 1 = 0 过圆 C:x²+y²-4x-3 = 0的圆心, 则 a 的值为______. 4.（2025年内蒙古对口升学）已知圆C:x²+y²—2mx+2ny+9=0与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2). (1)求m,n 的值； (2)过圆内一点Q(2,—3)的直线l与圆交于A,B两点，求弦AB长的最小值. 5.（2023年赤峰一模）圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上 （1）求圆心为C的圆的方程； （2）过点P(5,8)作圆C的切线，求切线的方程． 知识点一 直线与圆的位置关系 1.已知直线与圆相切，则实数a的值为_________． 2.过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 3.过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______． 4.已知圆，直线，写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系. 5.已知圆，直线的斜率为2，且过点，判断与的位置关系 6.直线：与圆：的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 7.直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 8.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是（       ） A．或 B． C．或 D． 9.过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 10.已知圆与直线相切，则___________． 11.从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______． 知识点二 圆与圆的位置关系、弦长的求法 1.已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______. 2.若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________. 3.圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知圆M过点． （1）求圆M的方程； （2）若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值． 5.已知圆C：，直线l恒过点 （1）若直线l与圆C相切，求l的方程； （2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程. 6.圆与圆的位置关系为（       ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 7.已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 8.以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 9.两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A． B． C． D．5 10.若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第30个专题：直线与圆的位置关系。本专题涵盖直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题30 直线与圆的位置关系（讲义） 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线距离 d与半径r的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 圆与圆的位置关系 图形表示 文字表示 代数表示 外离 两个圆没有公共点时，并且每个圆 上的点都在另一个圆的外部 d>R₁+R₂ 外切 两个圆有唯一公共点时，并且除了 这个公共点外，每个圆上的点都在 另一个圆的外部 d=R₁+R₂ 相交 两个圆有两个公共点 |R-R₂|<d< |R+R₂ | 内切 两个圆有唯一公共点时，并且除了 这个公共点外，一个圆上的点都在 另一个圆的内部 0<d=|R₁-R₂ | 内含 两个圆没有公共点时，并且一个圆 上的点都在另一个圆的内部 0≤d<|R-R| 注：弦长公式：垂径定理 弦长公式在解决与圆相关的问题时尤为重要。它指出，从圆心垂直于弦的直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。利用这一性质，我们可以推导出弦长的计算公式。具体地，如果已知圆的半径r和圆心到弦的距离d，那么弦长可以通过公式计算得出。这一公式在求解直线与圆相交、相切等位置关系中的弦长问题时非常实用。 1.（2019年内蒙古对口升学）已知圆C经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若经过点（2，9）的直线AB交圆C于A,B两点，且直线AB与直线MN垂直，求弦AB的中点坐标． 答案：见解析 解析：（1） （2） 2.（2020年内蒙古对口升学）经过直线x+2y-4=0与x轴的交点，且圆心是(1,- 3)的圆的方程是（ ） A. B. 26 C. D. =3 答案：C 解析： 3. （2022年内蒙古对口升学）若直线 ax + y + 1 = 0 过圆 C:x²+y²-4x-3 = 0的圆心, 则 a 的值为______. 答案： 解析： 4.（2025年内蒙古对口升学）已知圆C:x²+y²—2mx+2ny+9=0与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2). (1)求m,n 的值； (2)过圆内一点Q(2,—3)的直线l与圆交于A,B两点，求弦AB长的最小值. 答案：见解析 解析： （2） 5.（2023年赤峰一模）圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上 （1）求圆心为C的圆的方程； （2）过点P(5,8)作圆C的切线，求切线的方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】解：（1）因圆心C在直线上，则设，由得： ，解得，因此，圆心，半径， 所以圆C的方程为：． （2）设过点的圆C的切线方程为：，， 于是有：，整理得：，解得或， 当时，切线方程为：，当时，切线方程为：， 所以过点的圆C的切线方程为或． 知识点一 直线与圆的位置关系 1.已知直线与圆相切，则实数a的值为_________． 【答案】 【解析】由题可得圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即，解得. 故答案为：. 2.过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意点为切点，所以，又，所以，因此直线l的方程为． 故选：D. 3.过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______． 【答案】x-2y-5=0 【解析】根据题意易知直线得斜率存在，则，即．则直线得方程为：即：x-2y-5=0． 故答案为：x-2y-5=0． 4.已知圆，直线，写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系. 【答案】相交 【解析】由题设知圆：，∴圆的圆心坐标为C，半径为r＝．又直线可变形为：，则直线恒过定点，∵， ∴点在圆内，故直线必定与圆相交． 5.已知圆，直线的斜率为2，且过点，判断与的位置关系. 【答案】与相切 【解析】由圆，可得，所以圆心为，半径， 直线的方程为，即．因为圆心到的距离为， 所以与相切． 6.直线：与圆：的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】圆：的圆心为，半径，圆心到直线：的距离，所以直线与圆相切， 故选：A 7.直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【解析】圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切． 故选：B 8.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是（       ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】把圆化为标准方程得：．因为在圆上，所以过P的切线有且只有一条．显然过点且斜率不存在的直线：与圆相交，所以过P的切线的斜率为k．因为切线与过切点的半径垂直，所以，解得：，所以切线方程为：，即． 故选：B. 9.过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，则，则切线的斜率k＝1，则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0； 故选：C． 10.已知圆与直线相切，则___________． 【答案】 【解析】，圆的圆心为（2，－2），半径r＝1，∵圆和直线相切，∴． 故答案为：． 11.从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______． 【答案】2 【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长． 故答案为：2 知识点二 圆与圆的位置关系、弦长的求法 1.已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______. 【答案】 【解析】将化为标准式得，故半径为1；圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得. 故答案为：. 2.若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________. 【答案】3 【解析】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴， 故答案为：3 3.圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3. 4.已知圆M过点． （1）求圆M的方程； （2）若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值． 【答案】(1)(2)6或16 【解析】解：(1)设圆M的方程为，因为圆M过三点， 则，解得，所以圆M的方程为， 即； (2)由题意，得圆心到直线l的距离，故，即， 解得或16．故所求b的值为6或16． 5.已知圆C：，直线l恒过点 （1）若直线l与圆C相切，求l的方程； （2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程. 【答案】(1)或(2)或 【解析】解：(1)由题意可知，圆C的圆心为，半径， ①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为， 化为一般式：，若直线l与圆相切，则，即，解得， ：，即l：， 综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或； (2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，直线l的方程为，即， 设圆心到直线l的距离为d，则，由垂径定理可得，，即， 整理得，，解得或，则直线l的方程为或 6.圆与圆的位置关系为（       ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】由与圆，可得圆心，半径， 则，且，所以，所以两圆相交. 故选：A. 7.已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4， 两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B. 8.以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 【答案】D 【解析】圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为 (x－2)2＋(y＋1)2＝9. 故选：D. 9.两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A． B． C． D．5 【答案】B　 【解析】由题意，知2r＝ ＝，r＝. 故选：B 10.若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离．据题意，得，解得． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$