专题29圆（讲义）- 内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第29个专题：圆。本专题涵盖圆的标准方程、一般方程。点与圆的位置关系等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题29 圆（讲义） 圆的定义及方程 内容 描述 数学表达 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点： ①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0； ②没有项；③. 判断点与：位置关系的方法: 方法 位置关系 几何法描述 几何法 点在圆外 ①则点在外 点在圆上 ②则点在上 点在圆内 ③则点在内 代数法 点在圆外 ①点在外 点在圆上 ②点在上 点在圆内 ③点在内 1.（2018年内蒙古对口升学）已知点A（－4，－3），B（2，9），圆C是以线段AB为直径的圆 （1）求圆C的标准方程； （2）M（0，2）为圆内一点，求经过点M且平行于AB的弦PQ所在的直线方程； （3）求弦PQ的长. 2. （2019年内蒙古对口升学）已知圆的半径是 ，则该圆的圆心坐标是_______ 3.（2025年赤峰一模）点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 4.（2025年赤峰理工职业学校320）当点在圆上运动时，连接点与定点，则线段的中点的轨迹方程为______. 5.（2025年赤峰理工职业学校320）己知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 知识点一 求圆的方程 1.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 2.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D. 4.圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________． 5.圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 6.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 7.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 8.已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 9.已知圆经过点、，且它的圆心在直线上，求圆的标准方程. 10.已知圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆C的方程； 知识点二 点与圆的位置关系 1.已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 2.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)， （1）求此圆的标准方程； （2）设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． 3.已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程． 4.点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 5.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 6.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________． 7.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________． 8.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________． 9.若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是内蒙古2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》第29个专题：圆。本专题涵盖圆的标准方程、一般方程。点与圆的位置关系等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 内蒙古2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题29 圆（讲义） 圆的定义及方程 内容 描述 数学表达 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点： ①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0； ②没有项；③. 判断点与：位置关系的方法: 方法 位置关系 几何法描述 几何法 点在圆外 ①则点在外 点在圆上 ②则点在上 点在圆内 ③则点在内 代数法 点在圆外 ①点在外 点在圆上 ②点在上 点在圆内 ③点在内 1.（2018年内蒙古对口升学）已知点A（－4，－3），B（2，9），圆C是以线段AB为直径的圆 （1）求圆C的标准方程； （2）M（0，2）为圆内一点，求经过点M且平行于AB的弦PQ所在的直线方程； （3）求弦PQ的长. 答案：见解析 解析：（1） （3） 2. （2019年内蒙古对口升学）已知圆的半径是 ，则该圆的圆心坐标是_______ 答案： 解析： 3.（2025年赤峰一模）点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C　 【解析】∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．故选：C. 又线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2，因此直线m的方程为y－2＝2(x－1)， 即2x－y＝0，又因为圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心是这两条直线的交点． 联立方程，得解得，设圆心为C，所以圆心坐标为(2，4)．又因为半径r＝|CA|＝， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 4.（2025年赤峰理工职业学校320）当点在圆上运动时，连接点与定点，则线段的中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设点，因M是线段的中点，则点，于是得，即，所以点M的轨迹方程为. 故答案为：. 5.（2025年赤峰理工职业学校320）己知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，由题意可得，即，化简可得 即点的轨迹方程为， 故选：D. 知识点一 求圆的方程 1.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 【答案】D 【解析】圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 故它的半径为＝＝4.故选：D. 2.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－.故选：C. 3.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D. 【答案】A 【解析】方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．故选：A. 4.圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________． 【答案】x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 【解析】设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 故答案为：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 5.圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 【答案】C 【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．故选：C. 6.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 【答案】D 【解析】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为(2，－3)．故选：D. 7.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 【答案】C 【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选：C. 8.已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程． 【【答案】 【解析】由得，由得，，，以为直径的圆的圆心是，半径，所以圆的方程为：. 9.已知圆经过点、，且它的圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】 【解析】解：由题可设圆C的标准方程为，则， 解之得，所以圆C的标准方程为. 10.已知圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆C的方程； 【答案】 【解析】解：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点和，所以设圆心为.又圆与直线相切，所以，即，解得， 所以圆C的方程为. 知识点二 点与圆的位置关系 1.已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 【答案】A 【解析】由题意，a＋b＝1，ab＝－，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，∴点P在圆C内，故选：A. 2.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)， （1）求此圆的标准方程； （2）设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)(x－3)2＋y2＝4 (2)最大距离为2＋2，最小距离为2－2 【解析】解：(1)由已知，得C(3，0)，r＝＝2，∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. (2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2. ∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2. 3.已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程． 【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10 【解析】解：直线AB的斜率k＝＝－，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2. 4.点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆内　　　　　　　 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【解析】∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．故选：C. 5.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【解析】由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)，则原点与圆心的距离为. ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外．故选：B. 6.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－1,1) 【解析】因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1. 故答案为：(－1,1) 7.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________． 【答案】a>或a＜－ 【解析】∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴a>或a＜－，故答案为：a>或a＜－. 8.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－1,1)　 【解析】因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1. 9.若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________． 【答案】(－，) 【解析】∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<，故答案为：(－，). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$