3.1 用树状图或表格求概率 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

3.1 用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率 基础夯实 知识点 用画树状图法或列表法求概率 1.「2024山东济南中考」3月 14 日是国际数学日.某学校在今年国际数学日策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动.如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ( ) A. B. C. D. 2.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这4个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是( ) A. B. C. D. 3.「2023内蒙古呼和浩特中考」如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起.从四张小图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是 ( ) A. B C. D. 4.一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀. (1)若从盒子中任意抽取1张书签，则恰好抽到“夏”的概率为 . (2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签)，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率(请用画树状图或列表的方法说明理由). 能力提升 5.「2024山东东营中考，〔论〕如图，四边形ABCD 是平行四边形,从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为( ) A B C D. 6.物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀. (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 . (2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率. 素养提优 7.新课标题应用意识 某迷宫游戏地图如图1 所示，嘉淇从点O 出发，只要遇到一扇门就必须从里圈走到外圈，然后随机向左转或向右转后继续行进(如走出A门后，若左拐行进会从E门走出；若右拐行进会从 D 门走出)，且这两种情况可能性相同，规定：走进死胡同就算失败. (1)若嘉淇从“A”“B”“C”门走出的可能性均相同，则选择“A”门的概率为 . (2)补全图2的树状图，并计算嘉淇成功走出该迷宫的概率. 学科网（北京）股份有限公司 微专题 概率中的“放回”和“不放回”问题 方法指导 “放回”问题是指在每次抽取个体时，被抽到的个体放回总体中参与下一次抽取的试验，下一次的试验结果不会受到上一次试验结果的影响.“不放回”问题是指在每次抽取个体时，被抽到的个体不放回总体中参与下一次抽取的试验，下一次的试验结果受到上一次试验结果的影响.“不放回”问题也常指一次同时抽取多个个体的试验. 类型一 概率中的“放回”问题 1.「2024北京中考」不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是( ) A. B. C. D. 类型二 概率中的“不放回”问题 2.在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4，小明、小红、小亮三人依次从中抽取一张卡片(不放回)，小明抽取的卡片上的数字作百位，小红抽取的卡片上的数字作十位，小亮抽取的卡片上的数字作个位，则抽取的 卡片上的数字组成的三位数为偶数的概率是 ， 第2课时 用概率判定游戏的公平性 基础夯实 知识点 判断游戏的公平性 1.「2024福建晋江月考」淘气和笑笑玩游戏，下面四种游戏规则中，不公平的是 ( ) A.掷正六面体骰子，奇数淘气先走，偶数笑笑先走 B.“剪刀、石头、布”，赢方先走，输方后走，如果相同则重来 C.抛硬币，正面朝上淘气先走，反面朝上笑笑先走 D.掷正六面体骰子，点数比3 大淘气先走，点数比3小笑笑先走 2.「2024云南文山州期末」小红和小丁玩纸牌游戏，同一副扑克中的4 张牌的正面如图，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上. (1)小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是 . (2)小红先从中抽出一张，小丁再从剩余的3张牌中抽出一张，把两人抽取的牌正面上的数字相加.若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜.请用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平. 3.教材变式 「2024江苏常州中考」在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这3张小纸条做成3 支签，放在不透明的盒子中搅匀. (1)从盒子中任意抽出1 支签，抽到“石头”的概率是 . (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1 支签，求甲胜的概率. 能力提升 4.「2025广东清远连州期中，’有四张反面完全相同的纸片A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸片洗匀，正面朝下随机放在桌面上. (1)从四张纸片中随机摸出一张，摸出的纸片正面图形是中心对称图形的概率是 . (2)小黄和小李约定用这四张纸片做一个游戏，规则是：先由小黄随机摸出一张，不放回，再由小李从剩下的纸片中随机摸出一张，若摸出的两张纸片正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小李胜；否则小黄胜.这个游戏对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由(纸片用A,B,C,D 表示). 第3课时 用概率玩“配紫色”游戏 学科网（北京）股份有限公司 基础夯实 知识点 “配紫色”游戏及其应用 1.「2025宁夏银川期中」用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏(红色与蓝色能配成紫色)，每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色(若指针恰好停在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率是 ( ) A B. C D. 2.「2025广东清远连州期中」如图所示的是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时，两个指针所指区域(若指针恰好停在分界线上，则重转)的数字之和为奇数的概率是（ ） 能力提升 3.「2025陕西西安期中， 」用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘(若指针恰好停在分界线上，则重转)，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ( ) A. B C D 素养提优 4.新课标识如图，有三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色.小强和小亮用转盘 A和转盘 B 做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色或者转盘 A 转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成了紫色，这种情况下小强获胜；如果两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负. (1)利用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的情况. (2)判断此游戏是否公平，并说明理由. (3)请你在转盘 C 的空白处，涂上适当的颜色，使得用转盘 C 替换转盘 B后，游戏对小强和小亮是公平的(只需在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由). 1 用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率 基础夯实 1. C把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，列表如下： A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能的结果，其中小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，..小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为 故选 C. 2. D将《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别记为A、B、C、D,画树状图如下: 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种，∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 故选 D. 3.8四张形状相同的小图片分别用A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b 合成一张完整图片，画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率 故选 B. 4.解析 (1) (2)画树状图如下： 答案共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2 种，∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为 能力提升 5. A 易知能使▱ABCD是正方形的有①②,①③.列表如下： ① ② ③ ① (①,②) (①,③) ② (②,①) (②,③) ③ (③,①) (③,②) 共有6种等可能的结果，其中能使 是正方形的结果有(①,②),(①,③),(②,①),(③,①),共4种, ∴能使 是正方形的概率为 故选 A. 6解析 (Ⅰ)由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中 C 卡片的结果有1种， ∴抽中 C卡片的概率是 .故答案为 (2)四张卡片内容中是化学变化的为 A 和 D，画树状图如下： 答案共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有 AD，DA，共2种， 小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 素养提优 7.解析 (1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中选择“A”门的结果有1种，∴选择“A”门的概率为 (2)补全树状图如图所示. 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中成功走出迷宫的结果有4种，∴嘉淇成功走出迷宫的概率为 1 A列表如下： 红 黄 红 (红,红) (红,黄) 黄 (黄,红) (黄,黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率为 故选 A. 2.答案l2 解析 画树状图如下： 由树状图知，共有24种等可能的结果，其中抽取的卡片上的数字组成的三位数为偶数的结果有12种，故 P(抽取的卡片上的数字组成的三位数为偶数)= 第2课时 用概率判定游戏的公平性基础夯实 1. D 选项A,掷骰子,奇数有1、3、5,偶数有2、4、6,∴淘气先走的概率 笑笑先走的概率 ，∴淘气先走的概率=笑笑先走的概率， ∴游戏规则公平，故选项 A 不符合题意. 选项B，“剪刀、石头、布”，画树状图如下： 可知淘气赢的概率=笑笑赢的概率 每个人赢的概率相同，∴游戏规则公平，故选项 B不符合题意.选项C，抛硬币，正面朝上的概率=反面朝上的概率，∴游戏规则公平，故选项 C不符合题意. 选项D，掷骰子，点数比3大的数是4、5、6，点数比3小的数是1、2，∴淘气先走的概率 笑笑先走的概率 淘气先走的概率≠笑笑先走的概率， ∴游戏规则不公平，故选项 D符合题意.故选 D. 2.解析 (1)∵共有4张扑克牌，且4张牌中数字为偶数的扑克牌有3张，∴所求概率是 (2)根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果有6种，和是奇数的结果有6种， 则小红获胜的概率是 小丁获胜的概率是 ∴这个游戏对双方公平. 3.解析 (1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1 种，∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 (2)列表如下： 乙甲 石头 剪子 布 石头 (石头，剪子) (石头，布) 剪子 (剪子，石头) (剪子，布) 布 (布，石头) (布，剪子) 共有6种等可能的结果，其中甲胜的结果有(石头，剪子),(剪子,布),(布,石头),共3种, ∴甲胜的概率为 能力提升 4.解析 (1)∵圆、矩形、平行四边形是中心对称图形，∴随机摸出一张，摸出的纸片正面图形是中心对称图形的概率是 .故答案为 (2)游戏不公平，列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 共有12种等可能的结果，摸出的两张纸片正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A,C),(C,A), ∴P(两张纸片正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形) ..小李获胜的概率为 ，小黄获胜的概率为 ，∴游戏不公平. 第3课时 用概率玩“配紫色”游戏基础夯实 1. D 列表如下: 红 白 黄 (黄,红) (黄,白) 绿 (绿,红) (绿,白) 蓝 (蓝,红) (蓝,白) 所有等可能的情况有6种，其中配成紫色的情况有1种，则P(配成紫色) 故选 D. 2.答案 解析 列表如下： 1 2 3 4 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 共有12种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果有(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),共6种, ∴两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率为 .故答案为 能力提升 3. C把左边的转盘中的蓝色平均分成三份. 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，∴配成紫色的概率为 故选C. 素养提优 4.解析 (1)用列表法将所有可能出现的情况表示如下. 红 蓝 黄 黄 (红,黄) (蓝,黄) (黄,黄) 红 (红,红) (蓝,红) (黄,红) 蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) (黄,蓝) 白 (红,白) (蓝,白) (黄,白) 蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) (黄,蓝) (2)不公平.理由：(1)等可能出现的15 种情况中，有3种情况可以配成紫色，有4种情况颜色相同，故配成紫色的概率是 ，颜色相同的概率是 ，即小强获胜的概率是 ，小亮获胜的概率是 ，而 故这个游戏对双方是不公平的. (3)(答案不唯一)如图： 详解：根据转盘 A 和 C 列表如下： 红 蓝 黄 红 (红,红) (蓝,红) (黄,红) 红 (红,红) (蓝,红) (黄,红) 蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) (黄,蓝) 白 (红,白) (蓝,白) (黄,白) 蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) (黄,蓝) 上面等可能出现的15 种情况中，有4种情况可以配成紫色，有4种情况颜色相同， 故配成紫色的概率是 ，颜色相同的概率是 ，即小强获胜的概率是 ，小亮获胜的概率是 .∴游戏是公平的. $$