15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(人教版2024)安徽专版

15.1.2 线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 学习目标 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 2.了解逆命题与逆定理的概念. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题. 学习重难点 线段的垂直平分线的性质和判定的探究和运用. 线段的垂直平分线的性质和判定的理解和准确运用. 难点 重点 问题导入 1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？ 2.你能找到线段的对称轴吗？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？ 线段是轴对称图形，线段的对称轴垂直平分这条线段. 轴对称图形的对称轴，是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 新课讲授 知识点1 线段垂直平分线的性质 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 验证结论 　 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴△PCA≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． A B P C l 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D. （1）若△BCD的周长为 8，求BC的长； （2） 若BC＝4，求△BCD的周长． 分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD 的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长． 例题解读 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D. （1）若△BCD的周长为 8，求BC的长； （2） 若BC＝4，求△BCD的周长． 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. （1）∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. （2）∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9. 总结 本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者． 练一练 1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有_____ . ①AB⊥MN; ②MD=ND; ③AB是MN的垂直平分线; ④AD=BD. ①④ MN是线段AB的垂直平分线，则①④是正确的； MN是一条直线，②是错误的； 垂直平分线是直线，③是错误的. A B M D N 2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是(　　) A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定 C 3.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 . A B C D E 10cm 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. P A B 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 线段的垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 　这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合. P A B C l 应用格式： ∵ AB =AC，MB =MC， ∴ 直线AM 是线段BC 的 垂直平分线． A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法. 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 分析：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D 在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE 的垂直平分线上，就能证明． 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上. 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线． 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 小结 线段的垂直平分线的性质与判定 性质 判定 内容 作用 内容 作用 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 互逆命题 随堂小测 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 3.下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果a=b，那么a2=b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．两直线平行，内错角相等 D 4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D E P A B C D F PA=PB=PC 解析：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，∴BD＝AD，AE＝EC.∴△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm. D 5.如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是(　　) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 28 绿卡图书—走向成功的通行证 29 $$