学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（广东专用，人教版九年级上册第二十一章～第二十二章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_______________ 12．________________ 13．__________________ 14._________________ 15．_________ _______ 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（9分） 20.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C B B C D C D 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．8 12． 13． 14． 15． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴方程的解为，；.....................3分 （2）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，．.....................7分 17． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线， ∵点， ∴点的坐标为． 设这个二次函数的表达式为：， 将代入，得：，解得：， ∴这个二次函数的表达式为：；.....................3分 （2）解：∵，，， ∴，， ∴．.....................7分 18． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为；.....................3分 （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元．.....................7分 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：．.....................4分 （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），．.....................9分 20． 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。.....................4分 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。.....................9分 21． 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形；.....................3分 （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；.....................6分 （3）， ， ， 化简得： 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故只有时，、间的距离等于．.....................9分 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22． 【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ， ， ∴顶点坐标为：；.....................3分 ②∵二次函数的对称轴为直线， ∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ．.....................6分 （2）解：， ∴抛物线的顶点为 ， ①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ， ∴对称轴为直线，而， ∴当时，此时， ∵， ∴当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，此时， 此时当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴，.....................9分 ②若 ， ∵对称轴为直线，而，， ∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去； 综上，的值为或．.....................13分 23． 【详解】（1）证明：∵是的伴随抛物线， 即抛物线的顶点在抛物线上， ∴成立， 抛物线的顶点坐标为， 将点代入中， 则有， 即， 整理可得，， ∴抛物线的顶点在抛物线上， ∴也是的伴随抛物线；.....................4分 （2）解：由“伴随抛物线”的定义可知， 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， 则有顶点和顶点在抛物线上， ∴， ∴，即，解得， 故答案为：；；.....................8分 （3）①解：抛物线， 化为顶点式可得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴令，则顶点坐标为； 令，则顶点坐标为； ∴，解得， ∴的值为2，的值为3；.....................12分 ②解：由（1）可知，，顶点为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴抛物线的顶点在抛物线上运动， 令，解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线与轴有两个不同的交点，， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∵始终是的伴随抛物线， 则也是的伴随抛物线， ∴顶点也在上， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∴的取值范围为或．.....................14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 3．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 4．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分成总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 8．已知抛物线（为常数，）上部分点的横坐标与纵坐标的对应值下表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 则下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．图象不经过第三象限 C．的最小值为 D．当时，的值为0 9．二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 12．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 14．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 15．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 解方程： (1)； (2)． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 18．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 20．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 23．【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 3．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 4．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分成总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 8．已知抛物线（为常数，）上部分点的横坐标与纵坐标的对应值下表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 则下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．图象不经过第三象限 C．的最小值为 D．当时，的值为0 9．二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 12．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 14．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 15．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 解方程： (1)； (2)． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 18．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 20．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 23．【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_______________ 12．________________ 13．__________________ 14._________________ 15．_________ _______ 三、解答题（一）：本大题共 3个小题，每小题 7分，共 21分．解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 四、解答题（二）：本大题共 3个小题，每小题 9分，共 27分．解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（9分） 20.（9分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）：本大题共 2个小题，第 22题 13分，第 23题 14分， 共 27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．（13分） 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 2．若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 3．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是， ∴，， ∴， 故选：A． 4．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分成总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由各边之间的关系，可得出被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形， 再根据绿化带分为总面积为2000平方米的活动场所，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：长方形场地的长为80米，宽为50米，绿化带的宽度为米， 被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 故选：C． 5．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∵点B在第四象限， ． 故选：B． 6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：B． 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A.观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 8．已知抛物线（为常数，）上部分点的横坐标与纵坐标的对应值下表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 则下列说法中错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．图象不经过第三象限 C．的最小值为 D．当时，的值为0 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 根据表格中数据求出对称轴为，当时，y有最小值，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线对称轴为， ∵当时，，当时，，且， ∴当时，y有最小值，C正确； ∴抛物线开口向上，A正确； ∵抛物线对称轴为， ∴当和时，， ∴当时，的值为0或2，D错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为，且过点， ∴图象不经过第三象限，B正确； 故选：D． 9．二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得，，，， ∴，故①正确，符合题意； 图象与x轴两个交点，故， ∴，故②正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 当时，，故④正确，符合题意； 由抛物线对称性，当时，，故⑤错误，不符合题意． 则正确的结论有：①②③④共4个． 故选：C． 10．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据得故，类比，得到，解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：根据得， 故， 类比， 得到， 故． 故答案为：8． 12．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为直线：， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 又∵抛物线与线段恰有一个公共点， 当时，将坐标代入函数解析式得：， 解得； 将坐标代入函数解析式得：， 解得：， 当时，抛物线为， 联立得，，即， 解得，，此时抛物线与线段有两个公共点， 不符合题意，舍去； 当时，抛物线为， 联立得，，即， 解得，，此时抛物线与线段只有一个公共点， 符合题意； 如图，要使抛物线与线段只有一个公共点， 当时，，当时，， 即且 解得， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴方程的解为，； （2）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）由题意得，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线， ∵点， ∴点的坐标为． 设这个二次函数的表达式为：， 将代入，得：，解得：， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：∵，，， ∴，， ∴． 18．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 20．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3）， ， ， 化简得： 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故只有时，、间的距离等于． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 【答案】(1)①；② (2)的值为或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质以及平移，熟记二次函数的增减性是解本题的关键； （1）①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得顶点坐标即可； ②根据二次函数的增减性得出 ，结合，求出m的取值范围解题即可； （2）求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意分情况得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ， ， ∴顶点坐标为：； ②∵二次函数的对称轴为直线， ∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ． （2）解：， ∴抛物线的顶点为 ， ①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ， ∴对称轴为直线，而， ∴当时，此时， ∵， ∴当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，此时， 此时当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ②若 ， ∵对称轴为直线，而，， ∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 23．【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）①，；②或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式的性质，结合“伴随抛物线的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键． （1）由是的伴随抛物线，可将点代入抛物线中可得成立，再将点代入抛物线中可证成立，即可得证； （2）根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入中即可求解； （3）①先将抛物线化为顶点式，再求出抛物线的顶点，由“始终是的伴随抛物线”可令k的值，再将k的值代入抛物线中，即可求解； ②先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点，再根据抛物线的运动过程即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的伴随抛物线， 即抛物线的顶点在抛物线上， ∴成立， 抛物线的顶点坐标为， 将点代入中， 则有， 即， 整理可得，， ∴抛物线的顶点在抛物线上， ∴也是的伴随抛物线； （2）解：由“伴随抛物线”的定义可知， 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， 则有顶点和顶点在抛物线上， ∴， ∴，即，解得， 故答案为：；； （3）①解：抛物线， 化为顶点式可得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴令，则顶点坐标为； 令，则顶点坐标为； ∴，解得， ∴的值为2，的值为3； ②解：由（1）可知，，顶点为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴抛物线的顶点在抛物线上运动， 令，解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线与轴有两个不同的交点，， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∵始终是的伴随抛物线， 则也是的伴随抛物线， ∴顶点也在上， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∴的取值范围为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$