第一单元 长方体和正方体 （思维导图＋5考点＋3命题点+6种题型）-苏教版六年级上册数学单元复习易错易混专项讲义

第一单元 长方体和正方体 【思维导图＋5考点＋3命题点+6种题型（含5种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 长方体和正方体的特征 考点二 长方体和正方体展开图 考点三 表面积概念及计算 考点四 体积概念及计算 考点五 正方体涂色问题 04题型精研·考向洞悉 命题点一 长方体和正方体的认识 题型01 长方体和正方体的棱长应用 题型02 长方体和正方体的展开图 命题点二 长方体和正方体的表面积和体积 题型01 计算长方体和正方体的表面积和体积 题型02 立体图形的切拼（长方体、正方体） 题型03 体积的等积变形（长方体、正方体） 命题点三 表面涂色的正方体 题型 表面涂色的正方体 单元考点 考查 频率 新课标要求 长方体和正方体的特征 ★ 新课标要求学生通过观察、操作等活动，认识长方体和正方体的面、棱、顶点及长、宽、高（棱长）的含义，掌握它们的特征，并能辨别两者特征的异同及关系。 长方体和正方体展开图 ★ 新课标要求学生借助观察、操作、想象等活动，了解长方体和正方体展开图的特点，能准确辨认其展开图，并通过展开与折叠活动，建立立体图形与平面图形的联系，发展空间观念。 长方体和正方体表面积概念及计算 ★★★ 新课标要求学生通过观察、操作等活动，理解长方体和正方体表面积的概念；并能自主探究、掌握表面积的计算方法，解决简单实际问题，发展空间观念。 长方体和正方体体积概念及计算 ★★★ 新课标要求学生通过实践操作、实验探究等活动，理解长方体和正方体体积的概念，即物体所占空间的大小；掌握体积计算公式，能灵活运用公式解决实际问题，同时理解体积单位的意义，会进行单位换算，发展量感、空间观念和推理意识。 正方体涂色问题 ★ 新课标要求学生借助观察、操作、想象等活动，探究正方体表面涂色后切成小正方体的规律，掌握不同涂色情况小正方体的位置及数量特征，建立数学模型，发展空间观念、推理意识与创新能力。 【考情分析】本单元聚焦于长方体和正方体的特征、表面积、体积等知识。在棱长和计算、表面积实际应用、体积单位换算等方面易出错。强化概念理解，多进行实际问题的练习，提升空间观念与解题能力。 考点一 长方体和正方体的特征 1.特征： 长方体：有6个面，至少4个面是长方形，相对面完全相同；有8个顶点；有12条棱，相对的棱长度相等。 正方体：6个面都是正方形，6个面完全相同；有8个顶点；12条棱长度都相等，正方体是特殊的长方体。 2.棱长和计算： 长方体：棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体：棱长总和=棱长×12 【易错易混】 1.误认为长方体6个面都是长方形（长方体可能有2个相对面是正方形，其余4个面是相同的长方形） 2.易混淆“正方体是特殊的长方体”这一关系 1.（2024•江苏徐州岩•期末）下面是一款产品的参数图，根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（ ）。 A．一个文具盒 B．一部手机 C．一台微波炉 D．一台冰箱 【答案】D 【分析】根据题意，这个产品是一个长方体，长方体的体积=长×宽×高，则820×720×1800中的数据分别表示长、宽、高，把它们换算成以cm或m为单位的数，更容易与生活物品的实际尺寸进行比对。据此逐项分析。 【详解】820mm=82cm 720mm=72cm 1800mm=180cm=1.8m A. 82cm×72cm×180cm，对于一个文具盒来说，尺寸太大，不可能； B. 82cm×72cm×180cm，对于一部手机来说，尺寸太大，不可能； C. 82cm×72cm×180cm，对于一台微波炉来说，尺寸太大，不可能； D. 长 82cm，宽 72cm，高 1.8m，对于冰箱来说，尺寸合适，可能。 故答案为：D 2.（2024•广西防城港•期末）如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是40厘米、30厘米、20厘米。一只小虫要从A点沿棱爬到B点，最短的路程是( )厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米。 【答案】90 360 【分析】小虫要从A点沿棱爬到B点，爬的最短的路程是长、宽、高的和；长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，据此代入数据解答。 【详解】40+30+20 =70+20 =90（厘米） （40+30+20）×4 =90×4 =360（厘米） 所以一只小虫要从A点沿棱爬到B点，最短的路程是90厘米，这个长方体的棱长总和是360厘米。 3.（2024•江苏•单元测） 一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】280厘米 【分析】根据题意，一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，需切5-1=4（次），每切一次增加2个正方形的截面，一共增加4×2 =8个截面，每个截面有4条棱，一共增加8×4=32条棱长； 已知这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，用增加的棱长之和除以32，即是正方体的棱长； 根据正方体的棱长总和=棱长×12，求出每个正方体的棱长总和，再乘5，求出5 个正方体的棱长总和，最后减去320，即是原来长方体的棱长总和。 【详解】(5-1)×2×4 = 4×2×4 =32（条） 正方体的棱长：320÷32=10（厘米） 5个正方体的棱长之和：10×12×5=600（厘米） 原来长方体的棱长总和：600-320=280（厘米） 答：原来长方体的棱长总和是280厘米。 考点二 长方体和正方体展开图 一、基本概念 展开图：将立体图形的表面沿着棱剪开，平铺后得到的平面图形。 二、正方体展开图 1.特征：由6个完全相同的正方形组成。 2.常见类型（11种）： “1-4-1”型：中间4个正方形相连，上下各1个（6种）。 “2-3-1”型：中间3个，上2下1或上1下2（3种）。 “2-2-2”型：每层2个，共3层（1种）。 “3-3”型：每层3个，共2层（1种）。 注意：田字格、凹字形等图形不能折成正方体。 三、长方体展开图 1.特征：由6个长方形组成（相对的面完全相同，可能有2个相对面是正方形）。 2.类型：类似正方体展开图，但长、宽、高不同，相对的面大小一致。 3.关键：展开后能找到3组相对的面，且相对的面不相邻。【易错易混】 1.误认为只要是6个正方形组成的平面图形就能折成正方体。 2.误认为长方体展开图中，相邻的两个面可能是相对面 1.（2024•江苏•单元测） 左图最有可能是下面图（ ）的表面展开图。 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据长方体表面展开图的特征，题干中的长方体有4个面一样大，另两个面一样大，逐一分析每个选项，看哪个选项的立体图形能与给定的展开图对应起来。 【详解】A.是一个普通的长方体，它的六个面中，相对的面大小形状相同。但是观察给定的展开图，它有两个面明显比其他面小一些，而选项A的六个面没有这样的特征，所以选项A不符合。 B.是一个正方体，正方体的六个面都是完全相同的正方形。而给定的展开图明显不是六个相同的正方形组成的，所以选项B不符合。 C.它的各个面的大小比例关系与给定的展开图不匹配。从展开图可以看出有两个相对较小的面，以及四个较大的面，且四个较大的面一样大，选项C的形状和比例与展开图不一致，所以选项C不符合。 D.它的形状和大小关系与给定的展开图相符合。展开图中两个较小的面可以对应选项D长方体的两个侧面，四个较大的面可以对应长方体的上下底面和前后侧面，所以选项D符合。 所以 最有可能是下面图中的展开图。 故答案为：D 2.（2024•江苏•单元测）将下面形状的硬纸片沿虚线折叠，能围成一个正方体的是（ ）。 A. B. C. 【答案】B 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型即： 第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个； 第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图； 第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图； 第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。我们需要根据这些特征来判断每个选项能否围成正方体。 【详解】A.不符合正方体展开图的11种特征中的任何一种。我们可以想象将其沿虚线折叠，会发现无法拼成一个完整的正方体。 B.看到选项B的图形，它属于“1-4-1”结构。按照正方体展开图的折叠方法，沿虚线折叠后可以围成一个正方体。 C.不符合正方体展开图的11种特征中的任何一种。现无法拼成一个完整的正方体。 故答案为：B 3.（2024•辽宁沈阳苏•期末）下面是一个正方体的展开图。在这个正方体上，数字2的对面是数字（ ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】3-3型正方体展开图，如果数字3在下面，则数字2在左面，数字4在前面，数字5在右面，左面和右面相对，据此分析。 【详解】根据分析，在这个正方体上，数字2的对面是数字5。 故答案为：C 考点三 表面积概念及计算 长方体或正方体 6 个面的总面积叫表面积。 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S=(ab + ah + bh)×2 正方体表面积=棱长×棱长×6 S=6a² 【易错易混】 计算无盖容器、通风管等表面积时，易多算面。 长方体表面积公式漏乘“2”，或正方体表面积误写成“棱长 ×6”。 1.（2024•江苏盐城•期末） 王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 【答案】12 5.92 【分析】根据长方体的特点，长、宽、高各有4条，即选在4根1米为长，4根 1.2米为宽，4根8分米为高，再根据长方体的棱长和=（长+宽+高）×4；注意单位换算，将8分米换算成以米作单位，即低级单位转化为高级单位用除以两个单位之间的进率，1米=10分米。 给这个柜台6个面安装玻璃，就是求这个长方体的表面积，根据长方体的表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 代入公式计算即可 【详解】8分米=0.8米 （1+1.2+0.8）×4 =3×4 =12（米） 做这个柜台一共用了12米。 （1×1.2+1×0.8+1.2×0.8）×2 =（1.2+0.8+0.96）×2 =2.96×2 =5.92（平方米） 则至少需要5.92平方米。 2.（2024•全国•单元测）一个长方体游泳池长40米，宽20米，深1.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2） 在这个游泳池的底面和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？【答案】（1） 800 平方米；（2）980 平方米 【分析】（1）游泳池的占地面积就是长方体的底面积，长方体底面积=长×宽；（2）求抹水泥部分的面积就是求长方体的表面积，在底部和四壁抹上水泥，利用“长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2”求出长方体的表面积，最后减去一个底面的面积就是抹水泥部分的面积，据此解答。 【详解】（1）40×20 = 800（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是800平方米。 （3） (40×20+40×1.5+20×1.5)×2-800 =(800+60+30)×2-800 =890×2-800 =980（平方米） 答：抹水泥部分的面积是980平方米。 3.（2024•广西防港城•期末）“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】10725平方厘米 【分析】长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，长方形的面积=长×宽，需要纸板的面积=长方体的表面积-长方形的面积，据此解答。 【详解】（40×30 + 40×60 + 30×60）×2-5×15 =（1200+2400+1800）×2-5×15 =5400×2-5×15 =10800-75 =10725（平方厘米） 答：制作这样一个募捐箱至少需要10725平方厘米的纸板。 4.（2024•江苏•期末）用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【答案】2332.8平方厘米 【分析】根据题意，用彩纸包装一个的正方体礼品盒，实际用纸是礼盒表面积的 1.2倍，先根据正方体的表面积公式S=6a2，求出礼盒的表面积，再乘1.2即是包装这个礼盒至少用纸的面积。 【详解】18×18×6 =324×6 =1944（平方厘米） 1944×1.2 = 2332.8（平方厘米） 答：包装这个礼盒用纸至少是2332.8平方厘米。 考点四 体积概念及计算 1.物体所占空间的大小叫体积，容器所能容纳其它物体的体积叫容积。 2.长方体体积=长×宽×高，即V=abh 体积=底面积×高=横截面×长，即V=Sh 3.正方体体积=棱长×棱长×棱长，即V=a³ 4.体积单位进率 ：常用体积单位有立方米、立方分米、立方厘米。 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 【易错易混】 误将“体积”（物体所占空间大小）与“容积”（容器容纳物体的体积）等同，忽略容积需从容器内部测量数据，体积从外部测量。 1. （2024·安徽滁州·期中）从长、宽、高分别为15cm、12cm、10cm的长方体中截取棱长为3cm的正方体（截取时损耗不计），可以截取( )个这样的正方体，还剩( )cm3。 【答案】 60 180 【分析】用长方体的长、宽和高分别除以正方体的棱长，分别求出长、宽和高分别可以截去几个正方体的棱长，再把它们相乘，即可求出可以截去正方体的个数；再根据长方体体积公式：体积=长×宽×高；正方体的体积公式：体积=棱长×棱长×棱长，求出长方体的体积和正方体的体积和，再用长方体体积减去正方体的体积和，即可解答。 【详解】15÷3=5（个） 12÷3=4（个） 10÷3= 3（个）……1（cm） 5×4×3= 60（个） 15×12×10-3×3×3×60=180（cm3） 从长、宽、高分别为15cm、12cm、10cm 的长方体中截取棱长为3cm的正方体（截取时损耗不计），可以截取60个这样的正方体，还剩180cm3。 2.（2024·江苏·期末）如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（ ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数据，求出长是8厘米，宽是4厘米，高是6厘米水的体积；由于体积不变，再用水的体积除以长是12厘米，宽是4厘米的面的面积，即可解答。 【详解】8×4×6÷(12×4)=4（厘米）水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是4厘米。 故答案为：A 3.（2024·安徽·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1728立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头浸没在一个长方体透明容器中，水面由20厘米升高到28厘米，上升了（28 - 20）厘米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据计算，求出这块石头的体积。【详解】18×12×(28-20) =18×12×8 =216×8 =1728（立方厘米） 答：这块石头的体积是1728立方厘米。 考点五 正方体涂色问题 3面涂色的小正方体个数为8个，位于正方体顶点处。 2面涂色的数量=12×（n - 2），在棱上（除去顶点）。 1面涂色的数量=6×（n - 2）²，在面上（除去棱）。 0面涂色的数量=（n - 2）³，在正方体内部。（n为大正方体每条棱上小正方体的个数）。 1.（2024·江苏·期末）一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64个小正方体，其中有两面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】24 【分析】已知正方体木块被切成64块小正方体，根据64=4×4×4可得大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；由正方体的认识可知，在各棱处，除去顶点外其他小正方体都是两面涂色，据此求出一条棱上的两面涂色的小正方体的个数，再乘棱的条数12即可解答。 【详解】64=4×4×4 (4-2)×12=24（个） 一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64个小正方体，其中有两面涂红色的小正方体有24个。 2.（2024·江苏·单元测）一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。可以切成( )个，其中两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】64 24 【分析】根据题意，用12除以3即可求出每条棱上可以分成的小正方体的个数，12÷3=4（个）。正方体的体积=棱长×棱长×棱长，据此可求出小正方体的个数为：4×4×4=64（个）；其中两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱上（除去 2个顶点）的中间位置，每条棱上有4-2=2（个），正方体有12条棱，用2乘12即可求出两面涂色的小正方体的个数。 【详解】通过分析可得：12÷3=4（个） 4×4×4=64（个），则可以切成64个小正方体； 大正方体有12条棱，(4-2)×12= 24（个），则两面涂色的小正方形有24个。 3.（2024·江苏·期中）如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有（ ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】正方体有6个面，把正方体拼在一起，每个正方体除去相拼的面其它面可以图色。由于要4个面涂色，只需要找出一个正方体有2个面和其它正方体拼接，据此观察解答。 【详解】如果给小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有3个。 故答案为：B 命题点一 长方体和正方体的认识 题型01 长方体和正方体的棱长应用 1.公式： 长方体棱长和=（长+宽+高）×4 正方体棱长和= 棱长×12 2.画图找棱长变化，抓“相对棱相等”特性。 1.（2024·江苏·期末） 用一根长144厘米的铁丝围成一个正方体框架，棱长是( )厘米；如果用它围成一个长方体框架，长是20厘米，宽是10厘米，那么高是( )厘米。 【答案】 12 6 【分析】由题意可知，铁丝的总长度就是正方体或者长方体的棱长总和，“棱长 =正方体的棱长之和÷12”“高=长方体的棱长之和÷4-长-宽”，把题目中的数据代入公式计算，据此解答。 【详解】144÷12=12（厘米） 144÷4-20-10=6（厘米） 所以，正方体的棱长是12厘米，长方体的高是6厘米。 2.（2024·江苏·期末）黄老师出差前用两条行李箱捆绑带按下面方式加固行李箱，一条是横向捆绑，另一条是纵向捆绑，黄老师应将两条捆绑带分别调节到多少厘米？（接着处忽略不计） 【答案】140 厘米；188 厘米 【分析】横向捆绑的绑带总长包括2条40厘米和2条30厘米的长度；纵向捆绑的长度包括2条64厘米和2条30厘米的长度，据此计算解答。 【详解】40×2+30×2 =80+60 =140（厘米） 64×2+30×2 = 128+60 = 188（厘米） 答：横向捆绑调节到140厘米；纵向捆绑的调节到188厘米。 题型02 长方体和正方体的展开图 1.判断能否折叠： 正方体：避开“田”“凹”形，记“1-4-1”“2-2-2”等11种合法类型。 长方体：相对面大小相同，相邻面不重叠。 2.找相对面： 隔一个面的是相对面（同行/列）； “Z”字两端的面是相对面。 1.（2024·湖北宜昌·期中）下面（ ）图形是长方体的展开图。 A. B. C. 【答案】 A 【分析】根据长方体展开图的特征可知，选项A是属于长方体展开图的“2 - 2 - 2”结构，其余选项都不是长方体的展开图。 【详解】选项A是长方体的展开图。 故答案为：A 2.（2024·江苏南通·期末）一个正方体相对的面分别是1点和2点、3点和4点、5点和6点。游戏规则：在方格棋盘上沿棱按照箭头方向翻动正方体，每次不能后退。开始时正方体如左图那样摆放，最后翻动到如右图所示的位置，此时正方体朝上的点数是（ ）。 A．6 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据箭头从左图的位置翻动到右图的位置，先向上翻动1次，再向右翻动2次：向上翻动1次，5点朝上，向右翻动第1次后，2点朝上，再向右翻动1次，6点朝上。所以此时正方体朝上的点数是6。 【详解】由分析可知：开始时正方体如左图那样摆放，最后翻动到如右图所示的位置，此时正方体朝上的点数是6。 故答案为：A。 2.（2024·安徽·期末）一张长方形铁皮（如图），长是20厘米，宽是( )厘米。用图中的阴影部分向里折成一个正方体盒子，盒子的体积是( )立方厘米。和D面相对的是( )面；如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是( )面。 【答案】15 125 A B 【分析】根据题意可知，长方形的长和宽分别被正方体的边长平均分成4份和3 份，那么长方形的长等于正方体边长的4倍，据此可求出正方体边长是5厘米，宽是边长的3倍，再根据V=a×a×a计算体积即可。折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。再根据题中的摆放方式，找到右面的面是哪一面，据此解答。 【详解】20÷4×3=15（厘米） 5×5×5=125（立方厘米） 正方体展开图是2-3-1型，折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。摆放如下图。 故长方形宽是15厘米，盒子体积是125立方厘米，和D面相对的是A面，如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是B面。 命题点二 长方体和正方体的表面积和体积 题型01 计算长方体和正方体的表面积和体积 记公式，看清楚面的数量，代入数据 正方体： 表面积=棱长×棱长×6 体积=棱长×棱长×棱长 长方体： 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 体积=长×宽×高 1.（2024·江苏·期末）求表面积。 【答案】224cm2 【分析】长方体的表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）×2，从图中可以得出长是由3个4cm 组成，则这个长方体的长是12cm，宽和高都是4cm，代入数值即可解答。 【详解】4×3=12（cm） (12×4+12×4+4×4)×2 =(48+48+16)×2 =112×2 =224(cm2） 2.（2024·江苏·小升初）求如图图形的表面积和体积。 【答案】表面积：216m2 体积：189m3 【分析】把图形右上角露出的3个面向外平移，把图形右上角的缺口补完整，这样图形的表面积就是棱长6m的正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S= 6a2，代入数据计算求解。图形的体积等于棱长为6m的正方体的体积减去棱长为3m的正方体的体积，根据正方体的体积公式V=a3，代入数据计算求解。 【详解】表面积：6×6×6 =36×6 =216(m2） 体积：6×6×6-3×3×3 =216-27 =189(m3） 3.（2024·江苏·小升初）计算如图图形的表面积和体积（单位：分米）。 【答案】表面积150平方分米；体积99立方分米 【分析】据图可知，图形的表面积等于长是8分米宽是3分米、高是3分米的长方体的表面积加上棱长是3分米的正方体的4个面的面积，图形的体积等于长方体的体积加正方体的体积，长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积=长×宽×高，正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可求出它的表面积和体积。 【详解】表面积：(8×3+8×3+3×3)×2+3×3×4 =(24+24+9)×2+9×4 =57×2+36 =114+36 =150（平方分米） 体积：8×3×3+3×3×3 =72+27 =99（立方分米） 题型02 立体图形的切拼（长方体、正方体） 无论是切割还是拼接，表面积的变化都源于面的增减： 切割：把一个立体图形分成多个小图形，会增加新的面（每切1次，增加2个面，因为一刀两面）。 拼接：把多个小图形合成一个大图形，会减少重合的面（每拼1次，减少2个面，因为两个面重合）。 切割后、拼接后体积总和不变 1.（2024·江苏·期末）一个长方体木块，从上部截去一个高是2厘米的长方体，从下部截去一个高是4厘米的长方体后，剩下部分是一个正方体。如果正方体的表面积比原来长方体的表面积减少120平方厘米，那么原来长方体的表面积是多少？体积是多少？ 【答案】270 平方厘米；275 立方厘米 【分析】由图和题意可知，原木块是一个底面为正方形的长方体。把截去的4厘米和2厘米拼凑在一起，这样就减少了一个高度为4+2 = 6厘米，面积是120平方厘米的侧面，这个侧面是由4个相等的长方形（长就是长方体的长，宽就是 6厘米）组成的。所以正方体的棱长为120÷4÷6=5（厘米），从而求出原木块的高。再根据长方体的表面积公式S= 2×（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）和长方体的体积公式V=abh（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）计算解答即可。 【详解】4+2=6（厘米） 120÷4÷6=5（厘米） 5+2+4=11（厘米） 表面积：(5×5+5×11+5×11)×2 =(25+55+55)×2 =135×2 =270（平方厘米） 体积：5×5×11 =25×11 =275（立方厘米） 答：原来长方体的表面积是270平方厘米，体积是275立方厘米。 2.（2024·江苏·期末）一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的上面的正中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体后，体积（ ），表面积（ ）。 A．不变；变大 B．变大；变小 C．变小；变大 【答案】C 【分析】正方体的体积公式为V=a×a×a，a为5厘米，那么原正方体体积为5×5×5=125立方厘米。挖去棱长为1厘米的小正方体体积为1×1×1=1立方厘米。挖去后总体积为125-1=124立方厘米，所以体积变小。 正方体表面积公式为S=6a2，a为5厘米，那么原正方体表面积为6×5×5=150平方厘米。挖去小正方体后，原来正方体的表面减少了1个1×1的面，但同时增加了小正方体5个(1×1)的面（因为挖去小正方体后，内部出现了5个新面）。 【详解】原正方体体积：5×5×5=125（立方厘米） 挖去的小正方体体积：1×1×1=1（立方厘米） 挖去后总体积：125-1=124（立方厘米） 原正方体表面积：6×5×5=150（平方厘米） 增加的面积：5×1×1-1×1×1=4（平方厘米） 从它的上面的正中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体后，体积变小，表面积变大。 故答案为：C 题型03 体积的等积变形（长方体、正方体） 核心原理：变形前后体积不变，抓住“体积相等”这个关键。 常见场景： 熔铸：将一个立体图形熔铸成另一种，体积不变，用原体积求新图形尺寸。 排水法：物体体积=上升（或溢出）的水的体积，转化为长方体体积计算。 1.（2024·江苏·期末）一个完全封闭的长方体容积，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（左图），如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度会是多少厘米？（单位：厘米） 【答案】14 厘米 【分析】长方体体积公式为V=a×b×h（其中V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高）。已知容器平放时，长a=20厘米，宽b=16厘米，水面高h=7厘米，此时水的形状为长方体，所以水的体积为20×16×7=2240（立方厘米）。 容器竖起来后水的体积不变，容器竖起来放时，底面的长变16厘米，宽变10厘米，所以此时的底面积为16×10=160（平方厘米）。因为水的体积不变，根据h=V÷S（其中h为高，V为体积，S为底面积），把体积2240立方厘米，底面积160平方厘米，代入公式即可解答。 【详解】20×16×7=2240（立方厘米） 16×10=160（平方厘米） 2240÷160=14（厘米） 答：如果把这个容器竖起来放，水的高度是14厘米。 2.（2024·江苏·期末）一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 【答案】216立方厘米 【分析】由题意可知，上升的水的体积就是石头的体积，上升的水的体积可看作是一个长是12厘米、宽是6厘米、高是(8-5)厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据计算即可得解。 【详解】12×6×(8-5) =12×6×3 =216（立方厘米） 答：这块石头的体积是216立方厘米。 3.（2024·江苏·期末）将一个棱长是10厘米的正方体容器装满水，再把水全部倒入长20厘米，宽10厘米的长方体容器。此时长方体容器水深( )厘米。【答案】5 【分析】根据“正方体体积=a3（a表示棱长）”计算出棱长是10厘米的正方体容器装满水后水的体积。注意水的体积不发生改变，再根据“长方体体积=abh（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）”，即用正方体容器水的体积除以长方体底面积（ab）即可求出长方体水深。 【详解】10×10×10÷(20×10)=1000÷200=5（厘米） 则此时长方体容器水深5厘米。 命题点三 表面涂色的正方体 题型 表面涂色的正方体 （2024·江苏·期末） 表面涂色的正方体我们是这样研究的： 把一个长5厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体木块表面全部涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块（如上图）。 (1)这个长方体中3 面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (2)2面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (3)1面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 【答案】（1）长方体的顶点8 （2）长方体每条棱上中间36 （3）长方体每个面上中间52 【分析】（1）观察图形可知，三面涂色的小正方体位于长方体的顶点处；长方体有8个顶点，则三面涂色的小正方体共有8个。 （2）两面涂色的小正方体位于长方体每条棱上（除去 2 个顶点）的中间位置；图中长方体的每条长上有5-2=3（个）这样的小正方体，每条宽上有4-2=2（个）这样的小正方体，每条高上有6-2=4（个）这样的小正方体。长方体的长、宽、高各有4条，用（3+2+4)×4即可求出几个两面涂色的小正方体。 （3）一面涂色的小正方体位于长方体每个面上（除去棱上）的中间位置，图中长方体的上、下面每个面上有(5-2)×(4-2)个；前、后面每个面上有(6-2)×(5-2)个；左、右面每个面上有(6-2)×(4-2)个。长方体有6个面，相对的面完全相同，据此用式子的结果分别乘2，再把它们加起来，即可求出一面涂色的小正方体的个数。 【详解】（1）通过分析可得：这个长方体中3面涂色的小正方体在长方体的顶点的位置，共有8个。 （2）5-2=3（个） 4-2=2（个） 6-2=4（个）(3+2+4)×4=36（个） 则2面涂色的小正方体在长方体每条棱上中间的位置，共有36个。 （3）上、下面：(5-2)×(4-2)×2=12（个） 前、后面：(6-2)×(5-2)×2=24（个） 左、右面：(6-2)×(4-2)×2=16（个） 12+24+16=52（个） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 长方体和正方体 【思维导图＋5考点＋3命题点+6种题型（含5种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 长方体和正方体的特征 考点二 长方体和正方体展开图 考点三 表面积概念及计算 考点四 体积概念及计算 考点五 正方体涂色问题 04题型精研·考向洞悉 命题点一 长方体和正方体的认识 题型01 长方体和正方体的棱长应用 题型02 长方体和正方体的展开图 命题点二 长方体和正方体的表面积和体积 题型01 计算长方体和正方体的表面积和体积 题型02 立体图形的切拼（长方体、正方体） 题型03 体积的等积变形（长方体、正方体） 命题点三 表面涂色的正方体 题型 表面涂色的正方体 单元考点 考查 频率 新课标要求 长方体和正方体的特征 ★ 新课标要求学生通过观察、操作等活动，认识长方体和正方体的面、棱、顶点及长、宽、高（棱长）的含义，掌握它们的特征，并能辨别两者特征的异同及关系。 长方体和正方体展开图 ★ 新课标要求学生借助观察、操作、想象等活动，了解长方体和正方体展开图的特点，能准确辨认其展开图，并通过展开与折叠活动，建立立体图形与平面图形的联系，发展空间观念。 长方体和正方体表面积概念及计算 ★★★ 新课标要求学生通过观察、操作等活动，理解长方体和正方体表面积的概念；并能自主探究、掌握表面积的计算方法，解决简单实际问题，发展空间观念。 长方体和正方体体积概念及计算 ★★★ 新课标要求学生通过实践操作、实验探究等活动，理解长方体和正方体体积的概念，即物体所占空间的大小；掌握体积计算公式，能灵活运用公式解决实际问题，同时理解体积单位的意义，会进行单位换算，发展量感、空间观念和推理意识。 正方体涂色问题 ★ 新课标要求学生借助观察、操作、想象等活动，探究正方体表面涂色后切成小正方体的规律，掌握不同涂色情况小正方体的位置及数量特征，建立数学模型，发展空间观念、推理意识与创新能力。 【考情分析】本单元聚焦于长方体和正方体的特征、表面积、体积等知识。在棱长和计算、表面积实际应用、体积单位换算等方面易出错。强化概念理解，多进行实际问题的练习，提升空间观念与解题能力。 考点一 长方体和正方体的特征 1.特征： 长方体：有6个面，至少4个面是长方形，相对面完全相同；有8个顶点；有12条棱，相对的棱长度相等。 正方体：6个面都是正方形，6个面完全相同；有8个顶点；12条棱长度都相等，正方体是特殊的长方体。 2.棱长和计算： 长方体：棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体：棱长总和=棱长×12 【易错易混】 1.误认为长方体6个面都是长方形（长方体可能有2个相对面是正方形，其余4个面是相同的长方形） 2.易混淆“正方体是特殊的长方体”这一关系 1.（2024•江苏徐州岩•期末）下面是一款产品的参数图，根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（ ）。 A．一个文具盒 B．一部手机 C．一台微波炉 D．一台冰箱 2.（2024•广西防城港•期末）如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是40厘米、30厘米、20厘米。一只小虫要从A点沿棱爬到B点，最短的路程是( )厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米。 3.（2024•江苏•单元测） 一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 考点二 长方体和正方体展开图 一、基本概念 展开图：将立体图形的表面沿着棱剪开，平铺后得到的平面图形。 二、正方体展开图 1.特征：由6个完全相同的正方形组成。 2.常见类型（11种）： “1-4-1”型：中间4个正方形相连，上下各1个（6种）。 “2-3-1”型：中间3个，上2下1或上1下2（3种）。 “2-2-2”型：每层2个，共3层（1种）。 “3-3”型：每层3个，共2层（1种）。 注意：田字格、凹字形等图形不能折成正方体。 三、长方体展开图 1.特征：由6个长方形组成（相对的面完全相同，可能有2个相对面是正方形）。 2.类型：类似正方体展开图，但长、宽、高不同，相对的面大小一致。 3.关键：展开后能找到3组相对的面，且相对的面不相邻。【易错易混】 1.误认为只要是6个正方形组成的平面图形就能折成正方体。 2.误认为长方体展开图中，相邻的两个面可能是相对面 1.（2024•江苏•单元测） 左图最有可能是下面图（ ）的表面展开图。 A. B. C. D. 2.（2024•江苏•单元测）将下面形状的硬纸片沿虚线折叠，能围成一个正方体的是（ ）。 A. B. C. 3.（2024•辽宁沈阳苏•期末）下面是一个正方体的展开图。在这个正方体上，数字2的对面是数字（ ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 考点三 表面积概念及计算 长方体或正方体 6 个面的总面积叫表面积。 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S=(ab + ah + bh)×2 正方体表面积=棱长×棱长×6 S=6a² 【易错易混】 计算无盖容器、通风管等表面积时，易多算面。 长方体表面积公式漏乘“2”，或正方体表面积误写成“棱长 ×6”。 1.（2024•江苏盐城•期末） 王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 2.（2024•全国•单元测）一个长方体游泳池长40米，宽20米，深1.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2） 在这个游泳池的底面和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 3.（2024•广西防港城•期末）“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 4.（2024•江苏•期末）用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 考点四 体积概念及计算 1.物体所占空间的大小叫体积，容器所能容纳其它物体的体积叫容积。 2.长方体体积=长×宽×高，即V=abh 体积=底面积×高=横截面×长，即V=Sh 3.正方体体积=棱长×棱长×棱长，即V=a³ 4.体积单位进率 ：常用体积单位有立方米、立方分米、立方厘米。 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 【易错易混】 误将“体积”（物体所占空间大小）与“容积”（容器容纳物体的体积）等同，忽略容积需从容器内部测量数据，体积从外部测量。 1.（2024·安徽滁州·期中）从长、宽、高分别为15cm、12cm、10cm的长方体中截取棱长为3cm的正方体（截取时损耗不计），可以截取( )个这样的正方体，还剩( )cm3。 2.（2024·江苏·期末）如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（ ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 3.（2024·安徽·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 考点五 正方体涂色问题 3面涂色的小正方体个数为8个，位于正方体顶点处。 2面涂色的数量=12×（n-2），在棱上（除去顶点）。 1面涂色的数量=6×（n-2）²，在面上（除去棱）。 0面涂色的数量=（n-2）³，在正方体内部。（n为大正方体每条棱上小正方体的个数）。 1.（2024·江苏·期末）一个正方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的64个小正方体，其中有两面涂红色的小正方体有( )个。 2.（2024·江苏·单元测）一个棱长12厘米的正方体，表面全部涂上红色，把它切割成棱长3厘米的小正方体。可以切成( )个，其中两面涂色的小正方体有( )个。 3.（2024·江苏·期中）如果给（如图）小正方体拼成的几何体表面分别图上颜色（底面也涂色），4个面涂色的小正方体有（ ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 命题点一 长方体和正方体的认识 题型01 长方体和正方体的棱长应用 1.公式： 长方体棱长和=（长+宽+高）×4 正方体棱长和= 棱长×12 2.画图找棱长变化，抓“相对棱相等”特性。 1.（2024·江苏·期末） 用一根长144厘米的铁丝围成一个正方体框架，棱长是( )厘米；如果用它围成一个长方体框架，长是20厘米，宽是10厘米，那么高是( )厘米。 2.（2024·江苏·期末）黄老师出差前用两条行李箱捆绑带按下面方式加固行李箱，一条是横向捆绑，另一条是纵向捆绑，黄老师应将两条捆绑带分别调节到多少厘米？（接着处忽略不计） 题型02 长方体和正方体的展开图 1.判断能否折叠： 正方体：避开“田”“凹”形，记“1-4-1”“2-2-2”等11种合法类型。 长方体：相对面大小相同，相邻面不重叠。 2.找相对面： 隔一个面的是相对面（同行/列）； “Z”字两端的面是相对面。 1.（2024·湖北宜昌·期中）下面（ ）图形是长方体的展开图。 A. B. C. 2.（2024·江苏南通·期末）一个正方体相对的面分别是1点和2点、3点和4点、5点和6点。游戏规则：在方格棋盘上沿棱按照箭头方向翻动正方体，每次不能后退。开始时正方体如左图那样摆放，最后翻动到如右图所示的位置，此时正方体朝上的点数是（ ）。 A．6 B．5 C．3 D．4 2.（2024·安徽·期末）一张长方形铁皮（如图），长是20厘米，宽是( )厘米。用图中的阴影部分向里折成一个正方体盒子，盒子的体积是( )立方厘米。和D面相对的是( )面；如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是( )面。 命题点二 长方体和正方体的表面积和体积 题型01 计算长方体和正方体的表面积和体积 记公式，看清楚面的数量，代入数据 正方体： 表面积=棱长×棱长×6 体积=棱长×棱长×棱长 长方体： 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 体积=长×宽×高 1.（2024·江苏·期末）求表面积。 2.（2024·江苏·小升初）求如图图形的表面积和体积。 3.（2024·江苏·小升初）计算如图图形的表面积和体积（单位：分米）。 题型02 立体图形的切拼（长方体、正方体） 无论是切割还是拼接，表面积的变化都源于面的增减： 切割：把一个立体图形分成多个小图形，会增加新的面（每切1次，增加2个面，因为一刀两面）。 拼接：把多个小图形合成一个大图形，会减少重合的面（每拼1次，减少2个面，因为两个面重合）。 切割后、拼接后体积总和不变 1.（2024·江苏·期末）一个长方体木块，从上部截去一个高是2厘米的长方体，从下部截去一个高是4厘米的长方体后，剩下部分是一个正方体。如果正方体的表面积比原来长方体的表面积减少120平方厘米，那么原来长方体的表面积是多少？体积是多少？ 2.（2024·江苏·期末）一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的上面的正中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体后，体积（ ），表面积（ ）。 A．不变；变大 B．变大；变小 C．变小；变大 题型03 体积的等积变形（长方体、正方体） 核心原理：变形前后体积不变，抓住“体积相等”这个关键。 常见场景： 熔铸：将一个立体图形熔铸成另一种，体积不变，用原体积求新图形尺寸。 排水法：物体体积=上升（或溢出）的水的体积，转化为长方体体积计算。 1.（2024·江苏·期末）一个完全封闭的长方体容积，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（左图），如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度会是多少厘米？（单位：厘米） 2.（2024·江苏·期末）一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 3.（2024·江苏·期末）将一个棱长是10厘米的正方体容器装满水，再把水全部倒入长20厘米，宽10厘米的长方体容器。此时长方体容器水深( )厘米。 命题点三 表面涂色的正方体 题型 表面涂色的正方体 （2024·江苏·期末） 表面涂色的正方体我们是这样研究的： 把一个长5厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体木块表面全部涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块（如上图）。 (1)这个长方体中3 面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (2)2面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (3)1面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$