4.5.1函数的零点与方程的解课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章　§4.5.　函数的应用（二） 4.5.1　函数的零点与方程的解 主讲人：易志慧 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 学习目标 1.理解零点的概念； 2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系求函数的零点； 3.能够利用零点存在定理判断函数在某区间上是否有零点． 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 问题导学 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 方程 函数 函数 图象 (简图) 方程的实数根 无实数根 无交点 活动1：观察下表，求出一元二次方程的根，画出相应二次函数的简图，并写出图像 与X轴交点的横坐标。 知识点一　函数零点的概念及等价关系 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 方程 函数 函数 图象 (简图) 方程的实数根 无实数根 无交点 知识点一　函数零点的概念及等价关系 Q1：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？ Q2：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应二次函数 的图象与交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 知识梳理     注：零点不是点，是一个实数.   知识点一　函数零点的概念及等价关系 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 问题1 根据等价关系如何求函数的零点？   知识点一　函数零点的概念及等价关系 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 知识点二　函数零点存在定理 问题2 如何判断函数f(x)=lnx+2x-6有没有零点？ 小试牛刀：求下列函数的零点 (1) f(x)=16-x2 (2) f(x)=2x-1-8 (3) (4) f(x)=lnx+2x-6 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 1.观察y= x2-2x-3的图像 ①f(-2)=___ f(1)=___ f(-2) f(1) ___0 f(x)在区间[-2,1]上有零点_____. ②f(2)f(4)=___0 f(x)在区间[2,4]上有零点_____. 5 -4 < x=-1 < x=3 活动2：零点存在性探索 知识点二　函数零点存在定理 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 2. 观察下面这个函数图像 ①f(a)f(b)____0 f(x)在[a,b]上____零点（有/无） ② f(b)f(c)____0 f(x)在[b,c]上____零点（有/无） ③f(a)f(d)____0 f(x)在[a,d]上____零点（有/无） < < < 有 有 有 知识点二　函数零点存在定理 问题3：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？ 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。 函数零点存在定理： x y 0 1 . . . a b . . x y 0 . a b 知识点二　函数零点存在定理 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 知识点二　函数零点存在定理 问题1 图像连续不断这个条件能否省掉？ 定理理解 问题2 函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0（逆定理成立吗）?   提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是 f(-1)f(1)＝1×1＝1>0. 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 问题3 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ 问题4 在此基础上，若函数在这个区间是单调函数，能否确定函数在这个区间上零点个数？ 知识点二　函数零点存在定理 提示：只能判断有无零点，不能判断零点 的个数．如图①② 提示：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 题型探究 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 题型一　求函数的零点（方程的根） 解答 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 题型一　求函数的零点（方程的根） 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 解答 题型一　求函数的零点（方程的根） 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 点拨: 函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 反思与感悟 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 答案 题型二　判断函数零点所在区间 解析 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 解答 题型二　判断函数零点所在区间 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 解答 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 点拨：判断函数零点所在区间的三个步骤： 1.将区间端点代入函数求出函数的值. 2.把所得函数值相乘，并进行符号判断. 3.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点. 反思与感悟 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 当堂训练 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 2 3 4 5 1   1.（多选）若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(x) <0，f(1) >0，f(2) >0， 则下列说法错误的是（ ） A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案 解析 √ √ √ 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE   √ 2 3 4 5 1 答案 解析 2.函数f(x)=x3-16x的零点为( ) A.(0,0),(4,0) B. 0,4 C.(–4 ,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 2 3 4 5 1 3.函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　 　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) √ 答案 解析 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 2 3 4 5 1 √ 答案 解析 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 2 3 4 5 1 答案 解析 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 课堂小结 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 谢谢观看，感谢指导 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 祁阳市第二中学 QIYANGSHIDIERZHONGXUE 例1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝eq \f(x＋3,x) (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3 (4)f(x)＝1－log3x. [解]　(1)令eq \f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝eq \f(x＋3,x)的零点是x＝－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23. 所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3. 跟踪训练1． 已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝______. 解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2， 所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3m＋1，,1×2＝n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))所以mn＝4. 解析：f(1)＝1－9＝－8<0， f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0， f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0， ∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)． 例2 f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　 　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 跟踪训练1． 已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝______. 解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2， 所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3m＋1，,1×2＝n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))所以mn＝4. 跟踪训练2 若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)且k∈Z，则k＝________. 解析：令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0， 由零点存在性定理得f(2)·f(3)＜0， ∴零点所在区间为(2,3)， ∴k＝2. 解析：由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点． 4.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点． 解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点． $$