专题04 函数的性质（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为函数的性质。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题04 函数的性质 一、课标解读 1. 理解函数的单调性和奇偶性的概念; 2. 能判断一些简单函数的单调性和奇偶性; 3. 能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象; 4. 掌握一元二次函数的图象与性质. 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 选择题 5 函数图像 3 （1）题型：集中在选择题，解答题。 （2）分值：分值一般在6分，选择题居多，偶而有填空题。 选择题 13 函数的性质 3 2024 选择题 5 根据函数奇偶性及单调性判断图像 3 选择题 14 根据奇偶性求分段函数解析式，并判断性质 3 2023 选择题 3 函数奇偶性 3 2022 选择题 4 函数奇偶性及单调性 3 选择题 5 函数的性质 3 填空题 20 已知二次函数的单调区间求参数的取值范围 2 2021 选择题 4 已知含参函数奇偶性求另一个函数奇偶性 3 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口升学考试可能有2道题目考查函数的性质，题型为单项选择题或填空题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 判断函数奇偶性及单调性 · 函数图像 · 根据函数性质求参数的取值范围 · 抽象函数 四、知识梳理 （一）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （二）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 （四）函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 五、10分钟小测验 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是偶函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 4．若函数是偶函数，则（   ） A． B．0 C．2 D． 5．若函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（   ）. A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为 C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为 8．函数的图像（    ） A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．不具有对称轴 二、填空题 9．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 ． 10．若函数是偶函数，则的递增区间是 ； 答案 1．C 【分析】根据奇函数和增函数的定义，逐一分析选项. 【详解】选项A，指数函数是增函数，因为，所以函数不是奇函数，故A错误； 选项B，对数函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数， 函数，在区间上单调递增，故B错误； 选项C，函数在R是增函数，因为，是奇函数，故C正确； 选项D，函数定义域为关于原点对称， 因为，所以它是奇函数， 函数在和上单调递增，在和上单调递减，故D错误. 故选：C. 2．C 【分析】根据题意，结合偶函数的定义和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数是反比例函数，定义域为，关于原点对称， 又， 所以该函数是奇函数，不是偶函数，故选项A不符合题意； 因为函数是一次函数，定义域为R，关于原点对称， 又， 所以该函数不是偶函数，故选项B不符合题意； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以该函数是偶函数，故选项C符合题意； 因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又， 所以该函数不是偶函数，故选项D不符合题意； 故选：C. 3．C 【分析】根据偶函数的性质来求解在特定区间的表达式. 【详解】因为当时，， 令，则，， 因为为偶函数，所以， 故时，． 故选：C. 4．B 【分析】根据偶函数的定义求解. 【详解】∵函数是偶函数， ∴， 即：，解得． 故选：B. 5．C 【分析】根据函数的单调性建立不等式，即可求解参数. 【详解】因为函数是定义在上的减函数， 又，所以， 得到. 故选：C. 6．C 【分析】利用函数的解析式直接判断其单调性，从而得解. 【详解】对于A，是一次函数，斜率为，在上单调递减，故A错误； 对于B，是二次函数，在单调递减，在单调递增， 所以不是定义域上的增函数，故B错误； 对于C，是一次函数，斜率为，在上单调递增，故C正确； 对于D，在和分别单调递减， 所以不是定义域上的增函数，故D错误. 故选：C. 7．A 【分析】根据函数奇偶性及单调性的定义即可得解. 【详解】奇函数在上为增函数，且最大值为，所以， 因为奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 函数在上为增函数，所以有最小值为， 故选：. 8．B 【分析】根据函数的奇偶性先判断为偶函数，偶函数的图像关于轴对称. 【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称 又因为 所以是偶函数，其图像关于y轴对称. 故选：B. 9． 【分析】按和分类讨论，分别由一次函数和二次函数的单调性分析即可. 【详解】函数在区间上为减函数， 当时，满足题意； 当时，由题可得，解得， 综上， 故答案为： 10． 【分析】根据偶函数的性质求，再根据二次函数的单调性易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 所以， 所以，对称轴是， 又因为二次项系数为，所以抛物线开口向下， 即的递增区间是. 故答案为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】根据解析式判断图像 【例1】（2025年河北样卷）若0 a 1 ，则函数 y ax 与 y ax 在同一个坐标系中的图像大致是（ ）． A B D C 【答案】B 【详解】因为0 a 1 ，所以函数 y ax在上单调递减，-a 0 ，所以y ax在上单调递减，故选B. 【例2】（2024年河北对口升学）函数在其定义域内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和赋值法进行判定. 【详解】解：由函数是奇函数可排除C、D答案, 令x=1，得y=1，即图像过（1，1）点，可排除A，. 故选：B 【考试题型2】根据解析式判断函数性质 【例3】（2025年河北样卷）下列关于函数 的描述正确的是（ ） A． f (x) 的图像过点 B． f (x) 的值域为 C． f (x) 的最小值为-1 D． f (x) 在其定义域上为增函数 【答案】D 【详解】，故A错；f (x) 的值域为，故B错； f (x) 的最小值不存在，故C错；f (x) 在其定义域上为增函数，故D正确. 故选：D . 【例4】（2024年河北对口升学）关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图像过点 B. 的图像过点 C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，根据幂函数性质进行判定. 【详解】解：函数定义域为， 令代入原解析式得， 代入验证四个选项可知D错， 故选：D 【例5】(2022年河北对口升学)下列说法错误的是（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数与函数为同一函数 C. 函数在其定义域内是增函数 D. 函数的图像关于原点对称 【答案】B 【解析】 【分析】由题奇函数和偶函数图像的对称性，指数函数的单调性，以及相等函数的判定等可得结果. 【详解】由题知奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称， 指数函数为其定义域内的增函数，而函数与函数虽 然对应法则相同，定义域却不同，故两个函数不是同一个函数. 故选：B. 【考试题型3】抽象函数性质 【例6】（2024年河北对口升学）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（ ） A B. C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】A 【分析】根据奇偶性求分段函数解析式，并根据性质进行判定. 【详解】解：当时，，则， 即， 经验证可知A正确， 故选：A 【考试题型4】判断函数奇偶性、单调性 【例7】(2023年河北对口升学）下列函数在定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质分析即可. 【详解】A项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， B项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， C项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， D项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以是偶函数. 故选：D. 【例8】(2022年河北对口升学)下列函数为偶函数且在内是增函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】由单调性及奇偶性的图像特点定义即可得解. 【详解】如图所示为的图像,由图可知为偶函数且在内为增函数,选项正确. 如图所示为图像,由图像可知为偶函数,在内不是增函数,故选项错误. 如图所示为的图像,由图可知为既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误. 如图所示为的图像,由图可知既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误. 故选:. 【考试题型5】根据函数奇偶性求参数 【例9】 (2021年河北对口升学) 已知函数的图像关于轴对称，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图像关于轴对称求解的值，代入中判断奇偶性. 【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以， 则函数，， . 为奇函数. 故选：A. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 函数性质“二剑客” 性质 定义 判定核心 应用场景 单调性 区间内 x1​<x2​⇒f(x1​)<f(x2​)（增） 或f(x1​)>f(x2​)（减） 定义法（作差/商） 求最值、解不等式、比较大小 奇偶性 f(−x)=f(x)（偶）； f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)（奇） 先看定义域是否对称（必杀技！） 简化计算、图象对称性分析 性质关联口诀： “奇偶定对称，周期显循环；单调看升降，最值藏区间” （二）、解题策略与技巧 1. 定义域求解 核心规则：“函数表达式存在需有据” 教学口诀： “分式分母不为零，根式下方非负行；对数真数必为正，正切间断要记清” 2. 奇偶性“快判三招” 方法 操作 示例 特殊值验证 取 x=1 和x=−1 代入 f(x)=x3+x →f(−1)=−2=−f(1) → 奇函数 定义域对称性 若定义域不对称，则非奇非偶 定义域{0} → 非奇非偶 图象法 偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称 y=cosx 为偶函数 3.偶性与单调性综合 黄金规律： 奇函数在对称区间单调性相同 偶函数在对称区间单调性相反 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域对称 判断 奇偶性 未验证定义域对称 奇偶性判定第一步必查定义域对称性 单调区间端点错误 写成增区间 定义域中不包括0 严格按开闭区间规范书写 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 性质综合拆解训练：遇到复杂函数，按“定义域→奇偶性→单调性”顺序分析 图象辅助思维：每道题草图画性质特征（奇偶画对称轴，周期标重复段，单调标升降） 2、真题演练方向： 近三年高考题中判断函数奇偶性、单调性，函数的图像问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$