专题28向量的内积（练习题）- 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第28个专题，内容为向量的内积。本专题涵盖向量内积的概念、向量内积的性质、向量内积的坐标运算等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题28向量的内积（练习题） 一、选择题 1.在平面中，向量夹角不可能取下列哪个值( ) A.40° B. - 35° C.170° D.90° 【答案】B 【分析】向量夹角的范围是 夹角是取两个向量之间的最小正角，所以不可能为负角。 【详解】因为向量夹角( 不在此范围 故选：B 2.已知是两个非零向量，下列说法正确的是( ) A.表示一个实数 B.表示一个向量 C. D. 【答案】A 【分析】向量内积的定义及性质： (θ为a与b夹角)，其结果是实数； 成立的条件是a与b同向共线。 【详解】选项A：根据向量数量积定义， 结果是实数，A正确。 选项B：由上述分析，a·b是实数不是向量，B错误。 选项C:只有(即 两向量同向)时才等于 一般情况不成立，C错误。S 选项D： 当且仅当a与b同向共线时成立，不是对任意非零向量都成立，D错误。 故选：A 3.已知(1,3),(1,-2),则( ) A.18 B.-5 C.-8 D.8 【答案】B 【分析】向量数量积的坐标运算公式：若 则 【详解】已知(1,3),(1,-2),，根据坐标运算公式， 故选：B 4.已知,,且,则( ) A.8 B. C.-8 D. 【答案】C 【分析】直接运用向量数量积公式( (θ为两向量夹角)计算。 【详解】已知 则 故选：C 5.若,,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用向量数量积公式变形求夹角，再根据夹角范围确定夹角值。 【详解】已知 则 又因为 ，所以 故选：A 6.已知,,,则 ( ) A.2 B.-2 C. D. 【答案】C 【分析】根据向量数量积公式变形可得 代入数据计算。 【详解】已知 则 故选：C 7.已知,,则( ) A.-27 B.27 C.26 D.-26 【答案】A 【分析】利用平方差公式( 而向量的平方等于向量模长的平方，即 【详解】因为( 已知 则 故选：A 8.已知,,,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据向量点积公式 变形可得 将已知条件代入计算。 【详解】已知 则 故选：A 9.已知(3,-6),(2,1),则与关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相等 D.不确定 【答案】A 【分析】判断两向量关系，可通过计算向量点积，若点积为0则垂直；若对应坐标成比例则平行；两向量相等需坐标完全相同。这里计算判断是否垂直。 【详解】已知(3,-6),(2,1),则 因为两非零向量点积为0时垂直，所以与垂直 故选：A 10.向量(2x,4),(3,1-x),若,则x=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【答案】D 【分析】两向量垂直，则它们的点积为0，根据向量点积的坐标运算公式( 列方程求解。 【详解】已知(2x,4), (3,1-x),且, 则2x×3+4×(1-x)=0, 即6x+4-4x=0, 2x= - 4, 解得x = - 2 故选：D 11.若向量(3,x),(-2,6),且则x的值为( ) A.1 B.-1 C.6 D.-6 【答案】A 【分析】两向量垂直，点积为0，利用向量点积坐标运算公式列方程求解。 【详解】已知(3,x), (-2,6), 且, 则3×(-2)+x×6=0, 即-6+6x=0, 6x =6, 解得x = 1 故选：A 12.已知向量(x-1,-5),(5,1),若,则( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【分析】两向量垂直时，点积为0，依据向量点积坐标运算公式列方程求解。 【详解】已知(x-1,-5), (5,1), 且, 则(x-1)×5+(-5)×1=0, 即5x-5-5=0, 5x = 10, 解得x = 2 故选：D 二、填空题 13.已知向量与垂直，且则 . 【答案】 【分析】利用向量乘法分配律( ，再结合向量垂直时 以及 进行计算。 【详解】因为 所以 又 已知 则 所以 14.已知,,则 ， . 【答案】3，3 【分析】根据向量点积坐标运算公式 计算。 计算 先求出a+b的坐标，再根据向量模长公式 计算 【详解】则 则： 15.已知3,且与互为相反向量,则 . 【答案】 【分析】因为与互为相反向量，则它们的夹角 ，再根据向量点积公式 计算。 【详解】已知 a与b互为相反向量，所以夹角( 则 一、选择题 1.已知,,,则( ) A.6 B.3 C.-3 D.-6 【答案】B 【分析】本题可利用向量模长公式 将两边同时平方，展开后结合已知条件求解 【详解】根据 由向量平方展开公式 (这里 可得： 又因为 已知 则 代入 可得： 故选：B 2.已知,,,则( ) A.30° B.150° C.120° D.135° 【答案】C 【分析】利用向量点积公式 变形为 求出夹角的余弦值，再结合夹角范围确定夹角大小。 【详解】已知 根据 可得： 因为向量夹角且 所以 故选：C 3.已知,,,则( ) A.-12 B.12 C.16 D.-16 【答案】B 【分析】先将根据完全平方公式展开为 再分别计算 和 (利用向量点积公式最后代入求值。 【详解】因为 所以将 代入 可得： 故选：B 4.已知均是单位向量,,则( ) A.-1 B.0 C. D.1 【答案】D 【分析】先对 两边平方，再结合单位向量模长为1 (即 利用向量平方与模长关系以及向量点积展开式求解 【详解】因为两边平方得 根据完全平方公式 又因为 是单位向量，所以 则 代入可得 即 移项得 解得 故选：D 5.已知向量(2,-3),(y,2y),且,则y=( ) A.-3 B.3 C. D. 【答案】C 【分析】先根据向量数乘运算求出的坐标，再利用向量点积的坐标运算公式 列出关于y的方程，进而求解y。 【详解】已知(2,-3)则 根据向量内积坐标运算公式 ，又因为，所以，解得 故选：C 6.已知,,且则( ) A.32 B.-28 C.-30 D.-32 【答案】D 【分析】先将根据多项式乘法法则 (类似 这里向量运算满足分配律 )展开为 再分别计算 和 (利用向量点积公式 最后代入求值。 【详解】 故选：D 7.已知,,,则( ) A.150° B.30° C.60° D.120° 【答案】C 【分析】本题涉及向量模长公式 以及向量内积公式 先对 展开，结合已知 求出，再代入内积公式求夹角。 【详解】由已知 则 代入可得 移项得 解得 根据 即 因为 所以 故选：C 8.已知(3,4),(,),若 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】两向量垂直时(为向量)，利用向量内积坐标运算公式 求出与的关系，再根据 求解。 【详解】已知(3,4),(,), 且, 则3+4=0。 移项得3=-4, 因为≠0 (若=0, 则=±1, 不满足 3+4=0) , 所以 故选：B 9.已知(2,3),(-1,2),若,则( ) A.9 B.-9 C.18 D.-18 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据两向量垂直时(为向量)列方程求解λ. 【详解】已知(2,3),(-1,2), 则, (2-(-1),3-2)=(3,1)。 因为, 所以 根据向量点积坐标运算可得 即 合并同类项得解得 故选：A 10.向量则的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】先根据向量点积坐标运算求出a·b的表达式，再利用辅助角公式转化为正弦型函数，进而求最大值。 【详解】已知 则 由辅助角公式， (其中 因为正弦函数 最大值为1，所以的最大值为5×1=5 故选：C 11.若, 且,则等于 ( ) A.6 B. C.12 D. 【答案】A 【分析】利用向量乘法分配律将 展开为 再分别根据向量点积公式和 计算。 【详解】 已知 则 所以 故选：A 12.已知,,且,则( ) A.6 B.-8 C.7 D.-9 【答案】D 【分析】利用向量乘法分配律将 展开为 再分别根据 和向量点积公式 计算各项。 【详解】 代入可得 故选：D 二、填空题 13.已知,,且,则 . 【答案】 【分析】先对 两边平方，利用 求出,再对平方，代入的值求解。 【详解】 由已知则代入得 解得 所以 14.在边长为3 的正三角形ABC 中， . 【答案】 【分析】明确向量AB与BC的夹角 (正三角形中， 两向量夹角为 再利用向量点积公式 (θ为两向量夹角)计算。 【详解】 在正三角形ABC中， 与夹角 。 15.若,且,则 . 【答案】1 【分析】利用向量乘法分配律将( 展开为 结合 且 )计算。 【详解】 则 所以 16.已知向量(x,-2),(6,-3),且,则 . 【答案】 【分析】两向量垂直时 (m、n为向量)，先根据向量点积坐标运算求出x，再用向量模长公式 计算 【详解】 已知(x,-2),(6,-3),且 则 解得。 17.已知向量 与的夹角为,且,则 . 【答案】0 【分析】利用向量乘法分配律将 展开为 再根据向量点积公式 和 计算。 【详解】 三、解答题 18.已知向量(-1,2),(2,m),若,求的值. 【答案】或 【分析】先求出与的坐标，再根据两向量垂直时(为向量)列方程求解 【详解】 因为，所以，即 解得或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第28个专题，内容为向量的内积。本专题涵盖向量内积的概念、向量内积的性质、向量内积的坐标运算等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题28向量的内积（练习题） 一、选择题 1.在平面中，向量夹角不可能取下列哪个值( ) A.40° B. - 35° C.170° D.90° 2.已知是两个非零向量，下列说法正确的是( ) A.表示一个实数 B.表示一个向量 C. D. 3.已知(1,3),(1,-2),则( ) A.18 B.-5 C.-8 D.8 4.已知,,且,则( ) A.8 B. C.-8 D. 5.若,,且,则( ) A. B. C. D. 6.已知,,,则 ( ) A.2 B.-2 C. D. 7.已知,,则( ) A.-27 B.27 C.26 D.-26 8.已知,,,则 ( ) A. B. C. D. 9.已知(3,-6),(2,1),则与关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相等 D.不确定 10.向量(2x,4),(3,1-x),若,则x=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 11.若向量(3,x),(-2,6),且则x的值为( ) A.1 B.-1 C.6 D.-6 12.已知向量(x-1,-5),(5,1),若,则( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、填空题 13.已知向量与垂直，且则 . 14.已知,,则 ， . 15.已知3,且与互为相反向量,则 . 一、选择题 1.已知,,,则( ) A.6 B.3 C.-3 D.-6 2.已知,,,则( ) A.30° B.150° C.120° D.135° 3.已知,,,则( ) A.-12 B.12 C.16 D.-16 4.已知均是单位向量,,则( ) A.-1 B.0 C. D.1 5.已知向量(2,-3),(y,2y),且,则y=( ) A.-3 B.3 C. D. 6.已知,,且则( ) A.32 B.-28 C.-30 D.-32 7.已知,,,则( ) A.150° B.30° C.60° D.120° 8.已知(3,4),(,),若 ,则( ) A. B. C. D. 9.已知(2,3),(-1,2),若,则( ) A.9 B.-9 C.18 D.-18 10.向量则的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.若, 且,则等于 ( ) A.6 B. C.12 D. 12.已知,,且,则( ) A.6 B.-8 C.7 D.-9 二、填空题 13.已知,,且,则 . 14.在边长为3 的正三角形ABC 中， . 15.若,且,则 . 16.已知向量(x,-2),(6,-3),且,则 . 17.已知向量 与的夹角为,且,则 . 三、解答题 18.已知向量(-1,2),(2,m),若,求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$