专题28向量的内积（讲义）- 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第28个专题，内容为向量的内积。本专题涵盖向量内积的概念、向量内积的性质、向量内积的坐标运算等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题28向量的内积（讲义） 知识点1 向量的内积 1.向量内积的概念 (1)两个非零向量夹角的概念 如图所示，已知两个非零向量和，作 则∠AOB 是向量与 的夹角,记作.规定 ①当与同向时， ②当与反向时， ③当时,. (2)内积的定义 已知两个向量与，它们的夹角为，则向量的模与向量夹角的余弦值之积称为向量与的内积(或数量积),记作. 注意：的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零. (3)运算律 ①(交换律); ②(数乘结合律); ③(分配律). 注意：不成立,并且也不能推出. 2.向量内积的性质 设均为两个非零向量. (1)当时,即, (2)当时,,所以 即 (3) 1.(2021广东高考)向量(1,0),(1, ),则向量的夹角为( ) A.0 B. C. D. 2.(2015广东高考)已知向量 和夹角为 且 则 . 3.(2022广东高考)已知向量(1,1),(3,-4),设 的夹角为，则 . 4.(2024广东高考)向量与夹角为 则 . 一、选择题 1.若,,且,则( ) A.6 B. C.-6 D. 2.已知等边△ABC 的边长为2，则( ) A.2 B.4 C.2 D.4 3.已知△ABC中，，则( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 4.若则( ) A.7 B.8 C.10 D. 5.已知,,且,则( ) A.2 B.4 C.10 D.4 6.若且,则( ) A.12 B.3 C.6 D.3 7. 在△ABC 中,若则△ABC是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 8.已知向量,,则( ) A. B. C. D. 9.已知向量与的夹角为,且,则( ) A.-16 B.16 C.-8 D.8 10.已知向量(4,2),(-2,2),则( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.已知,,且,则 . 12.已知 且 则 . 13.已知向量 满足则 . 知识点2.向量内积的坐标运算 2.向量内积的坐标运算 (1)若则 (2) (3)若,则 (4) 1.(2015广东真题)已知向量,,若,则( ) A. B. C.-2 D.2 2.(2016广东真题)设向量(-3,1),(0,5),则( ) A.1 B.3 C.4 D.5 3.(2017广东真题)设向量(,4),(2,-3),若,则( ) A.-5 B. - 2 C.2 D.7 4.(2018广东真题)若向量 则( ) A.(4,6) B.(-2,-2) C.(1,3) D.(2,2) 5.(2019广东真题)已知向量(x,-3),(3,1),若,则( ) A.-9 B.-1 C.1 D.9 6.(2023广东真题)向量(x,2),(3,1-x),若,则x=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 7.(2017广东真题)已知点O(0,0),A(-7,10),B(-3,4),设则 . 8.(2018广东真题)已知向量(4,3),(x,4),若,则 . 9.(2020广东真题)设向量(1,-2),(x,-4),若则 . 10.(2021广东真题)已知向量(x-3,2),(1,x),若则 . 11.(2025广东真题)设向量(-1,3),(x,2),若则 . 一、填空题 1.若向量 满足,则必有( ) A. B. C. D. 2.已知向量(-3,k),(2,3),且,则( ) A. B. C. D. 3.已知向量(4,3),则( ) A.3 B. C. D. 4.已知向量(-3,4),(2,2),则( ) A. B. C. D. 5.已知向量(-3,),(1,3),若,则( ) A.-9 B.-1 C.1 D.9 6.向量(x,3),(4,2-x),若,则x=( ) A.6 B.1 C.-6 D.-1 7.若向量(3,5),(-2,y),且,则( ) A.0 B. C. D.8 8.已知向量(-1,3),(-2,-4),则向量与的夹角 A. B. C. D. 9.向量(x,-2),(1-x,-3),若,则x=( ) A.-2 B.3 C.2 D.-2或3 10.设向量(3,2),(1,0),(1,x),且,则x= A.-2 B.-3 C.2 D.3 二、填空题 11.若向量(-1,3),(3,y),且,则 . 12.已知向量(2,3),(1,-1),如果向量与垂直,则 . 13.已知向量,,若,则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第28个专题，内容为向量的内积。本专题涵盖向量内积的概念、向量内积的性质、向量内积的坐标运算等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题28向量的内积（讲义） 知识点1 向量的内积 1.向量内积的概念 (1)两个非零向量夹角的概念 如图所示，已知两个非零向量和，作 则∠AOB 是向量与 的夹角,记作.规定 ①当与同向时， ②当与反向时， ③当时,. (2)内积的定义 已知两个向量与，它们的夹角为，则向量的模与向量夹角的余弦值之积称为向量与的内积(或数量积),记作. 注意：的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零. (3)运算律 ①(交换律); ②(数乘结合律); ③(分配律). 注意：不成立,并且也不能推出. 2.向量内积的性质 设均为两个非零向量. (1)当时,即, (2)当时,,所以 即 (3) 1.(2021广东高考)向量(1,0),(1, ),则向量的夹角为( ) A.0 B. C. D. 【答案】D 【分析】先根据向量坐标求出和，再代入夹角公式计算夹角θ。 【详解】，， ，所以 故选：D 2.(2015广东高考)已知向量 和夹角为 且 则 . 【答案】-3 【分析】直接运用向量数量积公式 (θ为夹角)计算。 【详解】已知 代入公式可得： 3.(2022广东高考)已知向量(1,1),(3,-4),设 的夹角为，则 . 【答案】 【分析】先通过向量坐标求出|a|、|b|和a·b，再代入夹角公式 计算。 【详解】，，， 4.(2024广东高考)向量与夹角为 则 . 【答案】 【分析】直接利用向量数量积公式 (θ为夹角)计算。 【详解】已知 代入公式可得： 一、选择题 1.若,,且,则( ) A.6 B. C.-6 D. 【答案】B 【分析】直接运用向量数量积定义公式 (θ为夹角)计算。 【详解】将代入公式， 则： 故选：B 2.已知等边△ABC 的边长为2，则( ) A.2 B.4 C.2 D.4 【答案】A 【分析】先确定与 的夹角 (等边三角形内角为( ，再用数量积公式计算。 【详解】在等边 中， 与 的夹角 根据 可得 故选：A 3.已知△ABC中，，则( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 【答案】C 【分析】注意与的夹角是 的补角 (因为向量夹角是指共起点时的角)，即 ，再用数量积公式计算。 【详解】与BC的夹角 由 则 故选：C 4.若则( ) A.7 B.8 C.10 D. 【答案】D 【分析】先对 平方，利用 再结合数量积公式计算，最后开方得到 【详解】 ，，，，所以 故选：D 5.已知,,且,则( ) A.2 B.4 C.10 D.4 【答案】A 【分析】先对 平方，利用 再结合数量积公式计算，最后开方。 【详解】 所以 ， 故选：A 6.若且,则( ) A.12 B.3 C.6 D.3 【答案】C 【分析】由向量数量积公式 变形可得 代入数据计算。 【详解】 已知 则 故选：C 7. 在△ABC 中,若则△ABC是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】C 【分析】根据向量数量积公式 (A为 由 判断角A的类型，进而判断三角形形状。 【详解】因为 且 所以 S 又因为 当 时， 所以角A是钝角， 是钝角三角形 故选：C 8.已知向量,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先计算、、,再代入夹角公式 求出，最后根据的范围确定夹角。 【详解】根据向量数量积坐标运算， 计算 计算 计算: 由，所以 故选：B 9.已知向量与的夹角为,且,则( ) A.-16 B.16 C.-8 D.8 【答案】C 【分析】利用向量数量积的分配律l 再分别计算a·b和 【详解】由 则 ， 故选：C 10.已知向量(4,2),(-2,2),则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先根据向量坐标求出、、，再代入夹角公式计算。 【详解】根据向量数量积的坐标运算，若则所以 计算 计算 故选：B 二、填空题 11.已知,,且,则 . 【答案】 【分析】先对 |平方，利用 再结合数量积公式计算，最后开方得到 【详解】 ，， ，所以 12.已知 且 则 . 【答案】 【分析】直接运用向量数量积定义公式 (θ为夹角)计算。 【详解】 将 代入公式，可得： 13.已知向量 满足则 . 【答案】 【分析】直接运用向量数量积定义公式 (θ为夹角)计算。 【详解】 代入公式，可得： 知识点2.向量内积的坐标运算 2.向量内积的坐标运算 (1)若则 (2) (3)若,则 (4) 1.(2015广东真题)已知向量,,若,则( ) A. B. C.-2 D.2 【答案】C 【分析】由 得 ，结合向量数量积坐标运算求出sinθ与cosθ的关系，再用1 计算。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算，( 即 。那么 故选：C 2.(2016广东真题)设向量(-3,1),(0,5),则( ) A.1 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【分析】先求出的坐标，再用向量模长公式计算。 【详解】(-3-0,1-5)=(-3,-4)。 根据向量模长公式 故选：D 3.(2017广东真题)设向量(,4),(2,-3),若,则( ) A.-5 B. - 2 C.2 D.7 【答案】D 【分析】利用向量数量积坐标运算公式列方程求解。 【详解】由向量数量积坐标运算， 因为 所以2x-12=2,解方程得：2x=14,x=7 故选：D 4.(2018广东真题)若向量 则( ) A.(4,6) B.(-2,-2) C.(1,3) D.(2,2) 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则 用坐标运算求解。 【详解】 故选：D 5.(2019广东真题)已知向量(x,-3),(3,1),若,则( ) A.-9 B.-1 C.1 D.9 【答案】C 【分析】由 得 ，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算， 解方程得3x=3,x=1 故选：C 6.(2023广东真题)向量(x,2),(3,1-x),若,则x=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【答案】D 【分析】由 得 利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算， 解方程得 故选：D 7.(2017广东真题)已知点O(0,0),A(-7,10),B(-3,4),设则 . 【答案】5 【分析】先根据向量加法的三角形法则 求出a的坐标，再用模长公式计算。 【详解】因为 所以(-3,4)。 根据向量模长公式， 8.(2018广东真题)已知向量(4,3),(x,4),若,则 . 【答案】5 【分析】先由 得 求出x的值，再计算。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算， 解方程得4x=-12,x=-3。则 9.(2020广东真题)设向量(1,-2),(x,-4),若则 . 【答案】 【分析】由 得 ，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算， 解方程得：。 10.(2021广东真题)已知向量(x-3,2),(1,x),若则 . 【答案】1 【分析】由 得 ，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算，解方程得。 11.(2025广东真题)设向量(-1,3),(x,2),若则 . 【答案】6 【分析】由 得 ，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算，解方程得：。 一、填空题 1.若向量 满足,则必有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】对两边平方，利用向量数量积运算展开，推导得出结论。 【详解】 即：，所以 故选：D 2.已知向量(-3,k),(2,3),且,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由得，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算, , 解方程得3k=6, , 故选：C 3.已知向量(4,3),则( ) A.3 B. C. D. 【答案】C 【分析】直接运用向量模长公式计算。 【详解】根据向量模长公式 故选：C 4.已知向量(-3,4),(2,2),则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先分别计算、、，再代入夹角公式 计算。 【详解】 ，，， 故选：B 5.已知向量(-3,),(1,3),若,则( ) A.-9 B.-1 C.1 D.9 【答案】B 【分析】由得 ，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算，解方程得 故选：B 6.向量(x,3),(4,2-x),若,则x=( ) A.6 B.1 C.-6 D.-1 【答案】C 【分析】由得 ，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算，解方程得 故选：C 7.若向量(3,5),(-2,y),且,则( ) A.0 B. C. D.8 【答案】D 【分析】利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】根据向量数量积坐标运算，( ，解方程得 故选：D 8.已知向量(-1,3),(-2,-4),则向量与的夹角 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先分别计算、、，再代入夹角公式求出 ，最后根据夹角范围确定夹角。 【详解】 计算 计算 因为 所以 故选：B 9.向量(x,-2),(1-x,-3),若,则x=( ) A.-2 B.3 C.2 D.-2或3 【答案】D 【分析】由得，利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】根据向量数量积坐标运算，即 解得或 故选：D 10.设向量(3,2),(1,0),(1,x),且,则x= A.-2 B.-3 C.2 D.3 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再由( 得 利用向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】(3+1,2+0)=(4,2)。 因为 所以 根据向量数量积坐标运算，，解方程得 故选：A 二、填空题 11.若向量(-1,3),(3,y),且,则 . 【答案】1 【分析】利用向量垂直的性质 ，结合向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算，解方程得3y=3,y=1。 12.已知向量(2,3),(1,-1),如果向量与垂直,则 . 【答案】 【分析】先求出的坐标，再利用向量垂直的性质 结合向量数量积坐标运算列方程求解。 【详解】，因为所以 ，即，解得 13.已知向量,,若,则 . 【答案】 【分析】利用向量垂直的性质 结合向量数量积坐标运算得到与的关系，再利用 计算。 【详解】因为 所以 根据向量数量积坐标运算， 即 移项得 则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$