专题27 向量的直角坐标及其运算（讲义）- 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第27个专题，内容为向量的直角坐标及其运算。本专题涵盖向量的直角坐标、两向量的平行等2个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题27 向量的直角坐标及其运算（讲义） 知识点1 平面向量的直角坐标 1.平面向量的坐标 对任意一个平面向量，都存在着一对有序实数，使得.其中，分别为x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，有序实数对叫作向量的坐标，记作. 起点为原点，终点为的向量的坐标为 起点为终点为的向量坐标为 2.向量线性运算的坐标表示 (1)向量的线性运算 设平面直角坐标系中，则 (2)两点间的距离公式 已知两点，则 也称为A，B两点的距离，记作，该公式也称为两点间的距离公式. (3)两点间的中点坐标公式 线段AB 的中点坐标为，则 1.(2015广东真题)在平面直角坐标系中,已知三点 A(1,-2),B(2,-1),C(0,-2),则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】先根据向量坐标运算求出 的坐标，再计算其模长。向量 (其中 【详解】计算 已知A(1,-2),B(2,-1),根据向量坐标运算公式 计算 已知B(2,-1),C(0,-2),则 计算 计算 根据向量模长公式 可得 故选：A 2.(2018广东真题)若向量 则 ( ) A.(4,6) B.(-2,-2) C.(1,3) D.(2,2) 【答案】D 【分析】利用向量的三角形法则 再根据向量坐标运算求解。 【详解】已知 根据 则 故选：D 3.(2024广东真题)向量a=(-1,1),b=(1,5),则2a+b=( ) A.(-3,6) B.(-2,10) C.(-1,7) D.(-1,-3) 【答案】C 【分析】先根据向量数乘运算求出 的坐标，再根据向量加法运算求出 的坐标。向量数乘运算：若 则 向量加法运算：若 则 。 【详解】计算 已知 则 计算 已知 所以 故选：C 4.(2019广东真题)已知点 A(7,5),B(2,3),C(6,-7),则 . 【答案】 【分析】先分别求出.AB与 的坐标，再根据向量减法运算求解。 【详解】计算 已知A(7,5), B(2,3), 根据向量坐标运算公式 计算 已知A(7,5),C(6,-7),则 计算 根据向量减法运算 一、选择题 1.已知A(-2,1),B(0,2),则 等于( ) A.(-3,1) B.(2,1) C.(-3,-1) D.(3,-1) 【答案】B 【分析】根据向量坐标运算公式，若有两点. 则 【详解】 故选：B 2.已知向量(1,2),(3,1),则( ) A.(-1,3) B.(1,-3) C. D.3 【答案】C 【分析】先根据向量数乘和减法运算求出b-2a的坐标，再计算其模长。向量数乘：若m=(x,y),则km=(kx,ky);向量减法：若 则 向量模长：若m=(x,y),则 【详解】, 故选：C 3.已知点B(3,-1),则点 A 的坐标为( ) A.(6,3) B.(6,-3) C.(-6,-3) D.(-6,3) 【答案】B 【分析】设A(x，y)，根据向量坐标运算公式 结合已知 列方程求解。 【详解】设A(x,y),因 为 则 解得 故选：B 4.已知 则 ( ) A.(6,6) B.(6,10) C.(-6,11) D.(6,9) 【答案】D 【分析】根据向量数乘运算，若 则 【详解】 故选：D 5.已知(2,-3),(-1,5),则( ) A.(3,2) B.(3,-2) C.(1,2) D.(1,-2) 【答案】C 【分析】根据向量加法运算，若 则 【详解】 故选：C 6.已知(3,-2),(4,5),则( ) A.(7,3) B.(3,-2) C.(1,3) D.(-1,-7) 【答案】D 【分析】根据向量加法运算，若 则 【详解】 故选：D 7.已知A(1,-2),B(-3,1),C(3,4),则 ( ) A.(-3,1) B.(4,6) C.(2,-6) D.(2,6) 【答案】D 【分析】先分别求出AB和BCE的坐标，再根据向量加法运算求解。 【详解】计算 计算 计算 故选：D 8.已知 则 ( ) A.(-3,4) B.(4,-3) C.(3,-4) D.(-3,4) 【答案】D 【分析】根据向量的三角形法则 再进行向量减法运算。 【详解】 故选：D 9.已知A(3,4),B(5,-2),则AB中点D 的坐标是( ) A.(3,2) B.(-3,3) C.(4,-1) D.(4,1) 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式，若有两点. 则其中点坐标为 【详解】D的坐标为 故选：D 10.已知A(-2,5),B(-4,2),C(2,3),AC中点为D,则 ( ) A.(-3,3) B.(4,2) C.(-4,0) D.(4,0) 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出D的坐标，再根据向量坐标运算求出 【详解】求D的坐标: D是AC中点, .A(-2,5),C(2,3),则D的坐标为 求 所以 故选：B 11.在平行四边形ABCD 中,A(-1,1),B(2,4),C(1,-2),则点 D 的坐标为( ) A.(4,-5) B.(2,-2) C.(-2,-5) D.(-2,-1) 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质 设D(x，y)，通过向量坐标运算列方程求解。 【详解】设D(x,y), 因为 S 又因为 所以 解,得。 解,得。 所以D(-2,-5) 故选：C 12.已知A(-2,4),D(-4,2),且D是AB 中点，则B的坐标是 ( ) A.(3,2) B.(-6,0) C.(-3,3) D.(1,3) 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式，若有两点. 则它们中点P的坐标为. 已知A和中点D的坐标，设B坐标为(x，y)，列方程求解。 【详解】设B(x,y), 已知A(-2,4),D(-4,2),因为D是AB中点，根据中点坐标公式可得： 解 等式两边同乘2得,移项可得。 解 等式两边同乘2得,移项可得。 所以B的坐标是((-6,0) 故选：B 二、填空题 13.在直角坐标系中,已知O为原点,点A(3,3),B(-1,-4),则向量 ， . 【答案】, 【分析】根据向量坐标运算公式，若O为原点， 则 【详解】已知O为原点, A(3,3), B(-1,-4)。 计算 计算 14.已知点A(7,5),B(2,3),C(6,-7),则 . 【答案】 【分析】先分别求出和 的坐标，再根据向量减法运算求解。 【详解】已知A(7,5), B(2,3), C(6,-7)。 计算 计算 计算 15.已知向量(3,-2),(2,1),则 , . 【答案】 【分析】根据向量数乘和加减运算规则，向量数乘：若，则；向量加减：若 则 【详解】, 则 , , 则 知识点2.两向量的平行 两向量的平行条件 设 则或 1.(2016广东真题)设三点 A(1,2),B(-1,3),C(x-1,5),若 与 共线，则x=( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示列方程求解x。 【详解】根据向量坐标运算 利用向量共线条件列方程：因为与共线，由向量共线坐标表示可得,即,解得 故选：A 2.(2020广东真题)已知向量a=(1,x),b=(2,4),若a∥b,则x=( ) A.-2 C. D.2 【答案】D 【分析】已知且 根据向量共线坐标表示列方程求解x。 【详解】因为 ，根据向量共线坐标表示：,即,移项可得,解得 故选：D 3.(2022广东真题)设向量a=(x,1),b=(2,4),若a与b共线,则x=( ) A.2 B.-2 C. 【答案】C 【分析】已知且与共线，依据向量共线坐标表示列方程求解x。 【详解】 因为与共线，由向量共线坐标表示得；,即,移项得,解得 故选：C 4.(2017广东真题)设向量若 则 . 【答案】 【分析】已知)且 ，利用向量共线坐标表示列方程，再结合同角三角函数关系 求解。 【详解】 因为，所以即，所以 一、填空题 1.已知向量(1,x),(2,4),若∥,则x=( ) A.-2 B. C. D.2 2.设三点 A(1,2),B(-1,3)和C(x-1,5),若与共线，则x=( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.下列向量中,与(1,2)平行的是( ) A.(-2,-4) B.(4,2) C.(6,1) D.(-4,-2) 4.已知向量(3,1),(x,-1),若∥,则x=( ) A.3 B.-3 C. D. 5.已知向量(2,6),(3,y),且∥,则y=( ) A.9 B.-9 C.4 D.-4 6.已知,.且∥,则x=( ) A. B. C. D. 7.已知向量(3,x),(5,-2),若∥,则x=( ) A. B. C.1 D.-1 8.已知向量a=(3,x),b=(-3,3),若a∥b,则x等于 ( ) A.-3 B.3 C. D. 9.设三点 A(0,3),B(x,2),C(-1,4),若 则x等于 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 10.已知点A(-1,2),B(0,3)和向量则x=( ) A.2 B.4 C.3 D.5 二、填空题 11.已知A,B,C三点共线,A(3,1),B(2,4),若点C 的纵坐标为-2、则点C 的横坐标为 . 12.已知A(-1,2),B(x,3),(2,-1),且 则x= . 13.已知向量 且满足 则m= . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第27个专题，内容为向量的直角坐标及其运算。本专题涵盖向量的直角坐标、两向量的平行等2个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题27 向量的直角坐标及其运算（讲义） 知识点1 平面向量的直角坐标 1.平面向量的坐标 对任意一个平面向量，都存在着一对有序实数，使得.其中，分别为x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，有序实数对叫作向量的坐标，记作. 起点为原点，终点为的向量的坐标为 起点为终点为的向量坐标为 2.向量线性运算的坐标表示 (1)向量的线性运算 设平面直角坐标系中，则 (2)两点间的距离公式 已知两点，则 也称为A，B两点的距离，记作，该公式也称为两点间的距离公式. (3)两点间的中点坐标公式 线段AB 的中点坐标为，则 1.(2015广东真题)在平面直角坐标系中,已知三点 A(1,-2),B(2,-1),C(0,-2),则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2018广东真题)若向量 则 ( ) A.(4,6) B.(-2,-2) C.(1,3) D.(2,2) 3.(2024广东真题)向量a=(-1,1),b=(1,5),则2a+b=( ) A.(-3,6) B.(-2,10) C.(-1,7) D.(-1,-3) 4.(2019广东真题)已知点 A(7,5),B(2,3),C(6,-7),则 . 一、选择题 1.已知A(-2,1),B(0,2),则 等于( ) A.(-3,1) B.(2,1) C.(-3,-1) D.(3,-1) 2.已知向量(1,2),(3,1),则( ) A.(-1,3) B.(1,-3) C. D.3 3.已知点B(3,-1),则点 A 的坐标为( ) A.(6,3) B.(6,-3) C.(-6,-3) D.(-6,3) 4.已知 则 ( ) A.(6,6) B.(6,10) C.(-6,11) D.(6,9) 5.已知(2,-3),(-1,5),则( ) A.(3,2) B.(3,-2) C.(1,2) D.(1,-2) 6.已知(3,-2),(4,5),则( ) A.(7,3) B.(3,-2) C.(1,3) D.(-1,-7) 7.已知A(1,-2),B(-3,1),C(3,4),则 ( ) A.(-3,1) B.(4,6) C.(2,-6) D.(2,6) 8.已知 则 ( ) A.(-3,4) B.(4,-3) C.(3,-4) D.(-3,4) 9.已知A(3,4),B(5,-2),则AB中点D 的坐标是( ) A.(3,2) B.(-3,3) C.(4,-1) D.(4,1) 10.已知A(-2,5),B(-4,2),C(2,3),AC中点为D,则 ( ) A.(-3,3) B.(4,2) C.(-4,0) D.(4,0) 11.在平行四边形ABCD 中,A(-1,1),B(2,4),C(1,-2),则点 D 的坐标为( ) A.(4,-5) B.(2,-2) C.(-2,-5) D.(-2,-1) 12.已知A(-2,4),D(-4,2),且D是AB 中点，则B的坐标是 ( ) A.(3,2) B.(-6,0) C.(-3,3) D.(1,3) 二、填空题 13.在直角坐标系中,已知O为原点,点A(3,3),B(-1,-4),则向量 ， . 14.已知点A(7,5),B(2,3),C(6,-7),则 . 15.已知向量(3,-2),(2,1),则 , . 知识点2.两向量的平行 两向量的平行条件 设 则或 1.(2016广东真题)设三点 A(1,2),B(-1,3),C(x-1,5),若 与 共线，则x=( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.(2020广东真题)已知向量a=(1,x),b=(2,4),若a∥b,则x=( ) A.-2 C. D.2 3.(2022广东真题)设向量a=(x,1),b=(2,4),若a与b共线,则x=( ) A.2 B.-2 C. 4.(2017广东真题)设向量( 若 则 . 一、填空题 1.已知向量(1,x),(2,4),若∥,则x=( ) A.-2 B. C. D.2 2.设三点 A(1,2),B(-1,3)和C(x-1,5),若与共线，则x=( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.下列向量中,与(1,2)平行的是( ) A.(-2,-4) B.(4,2) C.(6,1) D.(-4,-2) 4.已知向量(3,1),(x,-1),若∥,则x=( ) A.3 B.-3 C. D. 5.已知向量(2,6),(3,y),且∥,则y=( ) A.9 B.-9 C.4 D.-4 6.已知,.且∥,则x=( ) A. B. C. D. 7.已知向量(3,x),(5,-2),若∥,则x=( ) A. B. C.1 D.-1 8.已知向量a=(3,x),b=(-3,3),若a∥b,则x等于 ( ) A.-3 B.3 C. D. 9.设三点 A(0,3),B(x,2),C(-1,4),若 则x等于 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 10.已知点A(-1,2),B(0,3)和向量则x=( ) A.2 B.4 C.3 D.5 二、填空题 11.已知A,B,C三点共线,A(3,1),B(2,4),若点C 的纵坐标为-2、则点C 的横坐标为 . 12.已知A(-1,2),B(x,3),(2,-1),且 则x= . 13.已知向量 且满足 则m= . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$