专题26 向量的概念及线性运算（讲义）- 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第26个专题，内容为向量的概念及线性运算。本专题涵盖向量的概念、向量的加法与减法运算、平面向量的数乘运算等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题26 向量的概念及线性运算（讲义） 知识点1 向量的概念 1.向量的定义 既有大小又有方向的量称为向量.例如：力、速度、位移等.向量的两个要素是大小和方向. 2.向量的表示法 几何表示：用有向线段表示，如图7-1所示，记作 A 是起点，B是终点. 代数表示：用小写字母表示，记作，(或 手写体带箭头)等. 3.向量的模 向量的大小(向量的长度)称为向量的模，向量 的模记作 4.特殊向量 ①零向量：模为零的向量称为零向量，记作0.它的起点与终点重合，方向是任意的. ②单位向量：模为1 的向量称为单位向量. 5.平行(共线)向量 方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量. 向量与平行,记作. 规定：零向量与任何一个向量平行. 6.相等向量 模相等且方向相同的两个向量称为相等向量. 向量与相等，记作. 7.相反向量 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量. 的相反向量记作. 的相反向量： 规定：零向量的相反向量仍为零向量. 一、选择题 1.下列说法中，正确的是( ) A.零向量没有方向 B.平行向量不一定是共线向量 C.若向量与同向且,则 D.若向量 满足且与同向,则 【答案】C 【分析】本题主要考查向量的基本概念，包括零向量、平行向量 (共线向量)、相等向量以及向量不能比较大小等知识点。 【详解】选项A：零向量的方向是任意的，不是没有方向，A错误。 选项 B：平行向量也叫共线向量，二者是同一概念，B错误。 选项C：相等向量的定义是长度相等且方向相同的向量，因为a与b同向且 所以a = b ,C正确。 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，只能比较向量的模 (长度)，D错误。 故选：C 2.在平行四边形ABCD中，与相等的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及相等向量的定义来判断，平行四边形中对边平行且相等，对应的向量也相等(方向相同、长度相等)。 【详解】在平行四边形ABCD中， 且B C = A D ,所以 与AD方向相同，长度相等，即 。 与BC方向不同； 是对角线向量，与 不相等； 是另一条对角线向量，也与 不相等。 故选：C 3.在矩形ABCD 中,与 互为相反向量的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】相反向量的定义是长度相等，方向相反的向量，结合矩形的边的平行和长度关系来分析。 【详解】在矩形ABCD中, 且 的方向是从A到B， 的方向是从C到D，二者方向相反，长度相等，所以 与AB互为相反向量，即 与AB垂直，不是相反向量； 与AB垂直，不是相反向量； 与AB方向和长度关系不符合相反向量定义。 故选：C 4.在正方形ABCD 中,若AB=4,BC=4,则( ) A.4 B.4 C.8 D.16 【答案】B 【分析】本题可根据正方形的性质，利用勾股定理求出对角线AC的长度，而AC就是对角线AC的长度。 【详解】在正方形ABCD中， ，根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，在 中，AC为斜边，则 把AB=4,BC=4代入可得： 所以 而 表示向量 的模，即AC的长度，所以 故选：B 5.下列命题正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】A 【分析】本题考查向量的基本概念，包括零向量、相等向量、平行向量的定义，根据这些定义逐一分析选项。 【详解】·选项A：模为0的向量是零向量，若 则就是零向量，即, A正确。 ·选项 只能说明向量a和b的模相等，但方向不一定相同，所以不一定有 ,B错误。 ·选项 只是模相等，向量的方向可以是任意的，不一定平行，C错误。 · 选项D: 说明向量和方向相同或相反，但模不一定相等，所以不一定有 ,D错误。 故选：A 6.在四边形ABCD中,若 则四边形ABCD是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 【答案】C 【分析】根据向量相等的含义得出边的平行和长度关系，再结合AB = AD判断四边形的形状，涉及平行四边形、菱形的判定定理。 【详解】由 可知， 且B C = D A ,根据平行四边形的判定定理(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，所以四边形ABCD是平行四边形。 又因为 即平行四边形ABCD的邻边AB和AD长度相等，根据菱形的定义 (一组邻边相等的平行四边形是菱形)，所以四边形ABCD是菱形。 正方形需要邻边相等且有一个角是直角等条件；矩形是平行四边形且有一个角是直角；梯形是只有一组对边平行的四边形，本题不符合这些图形的判定。 故选：C 7.设i 与j 都是单位向量，则下列各式成立的是( ) A. B.i·j=1 C.i·j=0 D.i=j 【答案】A 【分析】本题考查单位向量的性质以及向量的数量积、相等向量等知识，根据单位向量定义 (模为1的向量)和向量数量积、相等向量的概念逐一分析选项。 【详解】选项 A：因为i与j都是单位向量，单位向量的模 所以 则 A 正确。 •选项B: i与是单位向量，但它们的夹角不一定是j 根据向量数量积公式 (θ为i与j的夹角)，只有当 时， 但题目中未说明夹角，所以不能确定 B错误。 • 选项C：同理，只有当i与j垂直 (夹角为 时， 但题目未说明垂直，所以不能确定 C错误。 •选项D: i与是单位向量，只能说明模相等，方向不一定相同，所以不一定有i=j,D错误。 故选：A 8.下列选项中，能判断的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量平行 (共线)的判定，根据向量共线的定义：若存在实数λ，使得则与共线 (平行)，据此分析各选项。 【详解】·选项A:,仅体现了向量的和运算，无法得出与的平行关系，A错误。 ·选项B：因为,,所以 满足向量共线的定义 (存在实数 ，使得与成倍数关系)，所以 B正确。 ·选项 与 的方向未知，不一定平行，C错误。 ·选项D：，体现的是向量的线性运算关系，无法直接得出与的平行关系，D 错误。 故选：B 9.在四边形ABCD 中,若 则四边形ABCD 是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 【答案】D 【分析】根据向量关系判断边的平行和长度关系，再依据梯形的判定定理 (一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形)来确定四边形的形状。 【详解】由 可知， (因为向量平行意味着对应的线段平行)，且. 即DC与AB平行但长度不相等。 根据梯形的定义，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，因为 且可推出AD与BC不平行 (若平行则四边形是平行四边形，而这里DC≠AB,不是平行四边形)，所以四边形ABCD是梯形。 正方形、矩形、菱形都属于平行四边形，需要两组对边分别平行且相等 (或满足其他特殊条件)，本题不满足，所以A、B、C错误。 故选：D 10.在等边△ABC中，点 D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( ) A.1组 B.2 组 C. 3组 D.4组 【答案】A 【分析】本题考查相等向量的定义(长度相等且方向相同的向量)，需要结合等边三角形及中点的性质，找出符合相等向量条件的向量组。由于没有给出具体图形，不过根据常规等边三角形中点连线情况分析，点D，E是中点，则 从向量角度看，相等向量要方向和长度都一致，通常在这样的图形中，相等向量主要看对应边的向量。一般情况下，比如 与 方向相反不是相等向量； 与EC方向相反不是相等向量；而可能DE与FB(假设F等点)等需要结合准确图形，但常规这类题中，因为是等边三角形中点，相等向量通常只有1组 (比如 与 方向相反， 与EC方向相反， 气 方向相同但长度不同，所以严格意义上相等向量可能是1组，不过更准确要结合图，这里按照常规题设定)。 【详解】因为点D，E是AB，AC中点，在等边 中，向量相等需要长度和方向都相同。 与 方向相反，不是相等向量； 与 方向相反，不是相等向量； 气 长度不同 不是相等向量； 通常只有一组相等向量 (具体要根据准确图形，但常规题中经分析是1组)，比如可能.AD与DB等不符合，实际符合相等向量定义的只有1组。 故选：A 二、填空题 11. 若表示“向东走5米”,则 表示 , . 【答案】“向西走5米”,5 【分析】本题考查相反向量的意义以及向量模的概念，相反向量是方向相反，长度相等的向量，向量的模表示向量的长度。 【详解】因为表示“向东走5米”，那么是的相反向量，方向相反，所以表示“向西走5米”。表示向量的模，即向量的长度，所以 米 (这里题目没写单位，但实际是5米，若题目中5米是单位情况，模就是5)。 12.若为相反向量,则 . 【答案】0 【分析】根据相反向量的定义和向量加法运算，相反向量相加和为零向量。 【详解】因为为相反向量，所以,那么(这里0是零向量)。 13.如图，在△ABC中，E，F，G为各边的中点，图中与向量 平行的向量有 (填向量) 【答案】 【分析】本题考查向量平行 (共线)的判定，根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边，从而得出平行向量。由于没有图形，不过常规 中，E，F，G是中点，比如E是AB中点，G是AC中点等情况，EG是中位线，平行于BC，那么向量 平行的向量有 (假设F位置 )等，具体要结合图形，但通常会有 【详解】因为E，G是三角形边的中点，根据三角形中位线定理， 所以向量EG与 方向相同平行， 与 方向相反也平行 (向量平行包括方向相同和相反 )。另外如果F是BC中点等情况，可能还有 等平行，但常规主要是 三、解答题 14.如图所示，在△ABC中，若点D，E，F分别是三边的中点，试写出： (1)与 相反的向量； (2)与 共线的向量. 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查相反向量和共线向量 (平行向量)的定义，相反向量是长度相等、方向相反的向量；共线向量是方向相同或相反的非零向量 (零向量与任意向量共线)，结合三角形中点性质 (中位线平行且等于第三边的一半)来分析。 【详解】(1)找与AF相反的向量： 因为F是AC中点，所以. 与FC长度相等，方向相反，所以与AF相反的向量是 同时 与DE(若D，E等是中点，DE与AC关系)等，不过主要是 另外FA是AFE的相反向量 (自身的相反向量)，所以与AF相反的向量是 (2)找与 共线的向量： 因为E，F是中点，根据中位线定理， 所以EF与 方向相同或相反，是共线向量；同时D是中点， 也与EF共线 (因为都平行于AB方向 )。所以与 共线的向量有 15.如图,在△AOB≌△DOC 中,其中OA=OB,试写出: (1)与 相反的向量； (2)与 共线的向量. 【答案】 【分析】本题考查相反向量和共线向量 (平行向量)的定义，需要结合全等三角形的性质 (对应边相等、对应边平行 )以及向量的相关概念来分析。 【详解】(1)找与(OB相反的向量： 相反向量是指长度相等、方向相反的向量。 因为 所以OB=OC,且 与OC方向相反 (从图形中可看出 )，同时 是OB的相反向量 (自身的相反向量 )。 所以与OB相反的向量是 (2) 找与 共线的向量： 共线向量是指方向相同或相反的非零向量 (零向量与任意向量共线)。 由于 可得 (全等三角形对应边平行)，所以AB 方向相同或相反，是共线向量。 因此，与 共线的向量是 16.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，完成下列问题： (1) 写出 的相等向量； (2) 写出 的相反向量； (3)写出 的平行向量. 【答案】(1), , ;⑵,, , ; ⑶, , , , , , 【分析】本题考查相等向量、相反向量、平行向量 (共线向量 )的定义，结合正六边形的性质 (各边相等、对边平行、中心到顶点的向量关系等)来分析。正六边形ABCDEF中，OA=OB=OC=OD=OE=OF，且对边平行，中心到顶点的向量有特定的平行和相等关系。 【详解】(1)找OA的相等向量： 相等向量是指长度相等且方向相同的向量。 在正六边形ABCDEF中,OA=OB=OC=OD=OE=OF,且 与 方向相同 (通过正六边形的对称性和边的平行关系可判断)，所以OA的相等向量是 (2)找OA的的相反向量： 相反向量是指长度相等、方向相反的向量。 在正六边形中， 与 (自身的相反向量)， (方向相反，OA与OD在同一直线上且方向相反) , 方向相反，所以 的相反向量是 (3)找OA的平行向量： 平行向量 (共线向量 )是指方向相同或相反的非零向量 (零向量与任意向量平行 )。 在正六边形中，与 方向相同或相反的向量有 所以 的平行向量是 知识点2.向量的加法与减法运算 1.向量的加法:记作. ①三角形法则：首尾相连，起指终. 如图7-2 所示，已知向量，作 则 ②平行四边形法则：同起点，对角线. 如图7-3所示，已知向量，作 则 2.向量的减法:记作 . ①同起点，方向指向被减向量. 如图7-4 所示，已知向量，作 则 ②向量相减等于加上相反向量.则. 3.运算法则 ①; ②(加法的交换律); ③(加法的结合律); ④(两个相反向量的和为零向量). 一、填空题 1.等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查向量加法的三角形法则，即两个向量相加，首尾相连，和向量等于第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。 【详解】根据向量加法的三角形法则： 。 故选：D 2.( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量加法的交换律和结合律，通过重新组合向量来简化运算。 【详解】根据向量加法的交换律和结合律： 所以总和是 故选：B 3.( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量减法和加法的运算，向量减法 再结合向量加法。 【详解】首先，根据向量减法的三角形法则， (因为 这是向量减法的定义，即 然后， (根据向量加法的三角形法则，首尾相连 )。 故选：C 4.( ) A. B.0 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量的加减法运算，利用向量加减法的性质和交换律、结合律简化计算。 【详解】首先， (向量减法， 然后， (向量加法的交换律和结合律)。 所以原式 因为CB与 是相反向量，相加和为0。 故选：B 5.下列向量的运算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量加减法的基本运算规则，逐一分析选项。 【详解】 选项A: 与是相反向量， 而不是 ，A 错误。 选项B：根据向量加法的三角形法则， 不是 ，B错误。 选项 C：根据向量减法的三角形法则， (因为 这是向量减法的定义), C正确。 选项 D: 不是 D错误。 故选：C 6.在四边形ABCD 中,若 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量减法的运算，根据向量减法的三角形法则， 【详解】 根据向量减法的三角形法则，在 中， 已知 所以 故选：C 7.如图，O是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形中向量的加减法运算，结合平行四边形的性质 (对边平行且相等，对角线互相平分)来分析。 【详解】 选项A (向量减法， 不是 A 错误。 选项 B：在平行四边形中， (根据平行四边形法则， 是平行四边形的对角线 而 所以B 错误。 选项 C: 再加上 不是 C错误。 选项 D: 再加上 D 正确。 故选：D 8.给出下列等式，其中正确的个数为( ) (1);(2);(3);(4);(5). A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】本题考查向量的基本运算律，包括交换律、相反向量的性质等，逐一分析每个等式。 【详解】(1)向量加法满足交换律，,正确。 (2)向量减法不满足交换律，,所以,错误。 (3)相反向量的性质，,正确。 (4)互为相反向量的两个向量和为零向量，(这里0是零向量)，正确。 (5)零向量减去一个向量等于这个向量的相反向量，,正确。 故选：D 9.当 满足 时,等式成立.( ) A.与同向 B.与反向 C.与同向且 D.与反向且 【答案】D 【分析】本题考查向量模的运算性质，需要根据向量加法的几何意义以及模的关系来分析等式成立的条件。 【详解】根据向量加法的几何意义，表示以为邻边的平行四边形的对角线长度 (或三角形法则中合向量的长度 ) 。 当与同向时， 不符合 所以A、C错误。 当与反向时， 要使 成立，需要 (这样绝对值符号可去掉，结果为正)，所以当与反向且时，等式成立，D正确，B错误 (B缺少 的条件) 。 故选：D 10.在△ABC 中, 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查向量减法的三角形法则，在三角形中， 【详解】根据向量减法的三角形法则，在 中， 已知 所以 故选：C 二、填空题 11. . 【答案】0 【分析】本题考查向量加减法的运算，利用向量加减法的性质和交换律、结合律简化计算，主要运用 【详解】根据向量减法的三角形法则： (因为 所以 而CB与 是相反向量，它们的和为0 (零向量)。 12.化简: . 【答案】 【分析】本题考查向量加减法的运算，根据向量加法的三角形法则逐步化简， 再处理 【详解】首先，根据向量加法的三角形法则， 然后， (因为 再根据向量加法的三角形法则， 所以 知识点3 平面向量的数乘运算 1.数乘运算定义:一般地,实数λ与向量的积是一个向量,记作,它的模为. 若,则当时, 的方向与 的方向相同;当时,的方向与的方向相反.若,则. 对于非零向量,当时,有.规定:. 2.向量数乘运算满足的法则. ①; ②; ③ 一、选择题 1.在正方形ABCD 中，点O为正方形的中心，已知 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量的线性运算，利用正方形的性质 (中心是对角线中点)以及向量加法的平行四边形法则来求解。 【详解】 在正方形ABCD中，O是中心，即O是AC中点， 因为O是 AC中点，所以 将 代入可得 故选：A 2.如图，设平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于O，若则向量( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中向量的线性运算，利用平行四 边形对角线互相平分的性质以及向量减法来求解。 【详解】 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 互相平分，所以 又因为O是BD 中点，所以 将 代入可得 故选：B 3.( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量的线性运算，去括号后合并同类项 (向量 )。 【详解】 。 故选：B 4.满足向量等式的向量( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查向量的线性方程求解，通过去括号、移项、合并同类项来求解x。 【详解】 故选：A 5.化简:( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查向量的线性运算，去括号后合并同类项。 【详解】先去括号：。 再合并同类项： 故选：B 6.在平行四边形ABCD 中, 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中向量的线性运算，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合向量的加减法来求解 【详解】设平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则O是AC和BD的中点，所以 ,又因为 (向量减法的三角形法则) 故选：B 7.下列各组非零向量中，不一定属于平行向量的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】B 【分析】本题考查平行向量 (共线向量 )的判定，平行向量是指方向相同或相反的非零向量，若存在实数λ，使得一个向量等于另一个向量的入倍，则它们是平行向量。 【详解】选项A:,存在实数2，使得是的2倍，所以它们是平行向量，A不符合题意。 选项 B: 与,，不一定存在实数入使得 例如当与不共线时，它们不是平行向量，B符合题意。 选项C:,存在实数-1,所以与是平行向量，C不符合题意。 选项D:,存在实数-1,所以与是平行向量，D不符合题意。 故选：B 8.在平行四边形ABCD中， ,E 为 DC 中点,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形中向量的线性运算，利用中点性质和向量加减法来求解。 【详解】因为 E 是 DC 中点,所以 在平行四边形中 所以 又因为 所以 故选：C 二、填空题 9. . 【答案】 【分析】本题考查向量的数乘与加减混合运算，按照先数乘分配律展开，再合并同类向量 (即把a的系数和b的系数分别合并)的思路求解。 【详解】 10. 已知向量不平行,向量与 平行,则实数 . 【答案】 【分析】两个向量平行(共线)，若存在实数k，使得一个向量等于另一个向量的k倍(,)。利用此性质建立等式，再根据向量不平行 (即对应系数相等)求解λ。 【详解】因为向量，与平行，且不平行，所以存在实数k，使得 将等式右边展开得入。 根据向量相等的定义 (对应系数相等)，可得 把 代入1=2k,解得 所以 11.已知向量与不共线，若向量与向量共线，则实数 【答案】 【分析】利用两向量共线则存在实数m，使 再结合不共线列方程求解。 【详解】因为向量 与 共线，且a，b不共线，所以存在实数m，使得 展开右边得λ 根据向量相等对应系数相等，有 将 代入 得1=m×3m,即 解得 当 时， 当 时， 所以 12.若向量 则 . 【答案】 【分析】考查向量的数乘与减法运算，先根据数乘运算求出，再减去，分别对 和 的系数进行计算。 【详解】先计算，根据向量数乘运算 可得： 三、解答题 13. 化简: . 【答案】，(2) 【分析】(1)题利用向量数乘的分配律展开式子，再合并同类向量 ()； (2)题先利用乘法分配律展开，再合并同类项 (的系数)。 【详解】(1)根据向量数乘分配律? 展开式子： (2)先利用乘法分配律展开： ) 14.已知为不共线的非零向量，若求证： 【分析】要证明两向量平行，需先求出 再看是否存在实数k，使得 利用向量加法求出AC 然后分析与 的关系。 【详解】根据向量加法的三角形法则， 已知 代入可得： 已知 对 变形可得： 而 所以 根据向量平行的判定：若存在实数k，使得u=kv(v≠0),则u与v平行。这里k=-2,所以 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第26个专题，内容为向量的概念及线性运算。本专题涵盖向量的概念、向量的加法与减法运算、平面向量的数乘运算等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题26 向量的概念及线性运算（讲义） 知识点1 向量的概念 1.向量的定义 既有大小又有方向的量称为向量.例如：力、速度、位移等.向量的两个要素是大小和方向. 2.向量的表示法 几何表示：用有向线段表示，如图7-1所示，记作 A 是起点，B是终点. 代数表示：用小写字母表示，记作，(或 手写体带箭头)等. 3.向量的模 向量的大小(向量的长度)称为向量的模，向量 的模记作 4.特殊向量 ①零向量：模为零的向量称为零向量，记作0.它的起点与终点重合，方向是任意的. ②单位向量：模为1 的向量称为单位向量. 5.平行(共线)向量 方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量. 向量与平行,记作. 规定：零向量与任何一个向量平行. 6.相等向量 模相等且方向相同的两个向量称为相等向量. 向量与相等，记作. 7.相反向量 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量. 的相反向量记作. 的相反向量： 规定：零向量的相反向量仍为零向量. 一、选择题 1.下列说法中，正确的是( ) A.零向量没有方向 B.平行向量不一定是共线向量 C.若向量与同向且,则 D.若向量 满足且与同向,则 2.在平行四边形ABCD中，与相等的是( ) A. B. C. D. 3.在矩形ABCD 中,与 互为相反向量的是( ) A. B. C. D. 4.在正方形ABCD 中,若AB=4,BC=4,则( ) A.4 B.4 C.8 D.16 5.下列命题正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 6.在四边形ABCD中,若 则四边形ABCD是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 7.设i 与j 都是单位向量，则下列各式成立的是( ) A. B.i·j=1 C.i·j=0 D.i=j 8.下列选项中，能判断的是( ) A. B. C. D. 9.在四边形ABCD 中,若 则四边形ABCD 是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 10.在等边△ABC中，点 D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( ) A.1组 B.2 组 C. 3组 D.4组 二、填空题 11. 若表示“向东走5米”,则 表示 , . 12.若为相反向量,则 . 13.如图，在△ABC中，E，F，G为各边的中点，图中与向量 平行的向量有 (填向量) 三、解答题 14.如图所示，在△ABC中，若点D，E，F分别是三边的中点，试写出： (1)与 相反的向量； (2)与 共线的向量. 15.如图,在△AOB≌△DOC 中,其中OA=OB,试写出: (1)与 相反的向量； (2)与 共线的向量. 16.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，完成下列问题： (1) 写出 的相等向量； (2) 写出 的相反向量； (3)写出 的平行向量. 知识点2.向量的加法与减法运算 1.向量的加法:记作. ①三角形法则：首尾相连，起指终. 如图7-2 所示，已知向量，作 则 ②平行四边形法则：同起点，对角线. 如图7-3所示，已知向量，作 则 2.向量的减法:记作 . ①同起点，方向指向被减向量. 如图7-4 所示，已知向量，作 则 ②向量相减等于加上相反向量.则. 3.运算法则 ①; ②(加法的交换律); ③(加法的结合律); ④(两个相反向量的和为零向量). 一、填空题 1.等于( ) A. B. C. D. 2.( ) A. B. C. D. 3.( ) A. B. C. D. 4.( ) A. B.0 C. D. 5.下列向量的运算中，正确的是( ) A. B. C. D. 6.在四边形ABCD 中,若 则 ( ) A. B. C. D. 7.如图，O是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式中正确的是( ) A. B. C. D. 8.给出下列等式，其中正确的个数为( ) (1);(2);(3);(4);(5). A.1 B.2 C.3 D.4 9.当 满足 时,等式成立.( ) A.与同向 B.与反向 C.与同向且 D.与反向且 10.在△ABC 中, 则 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 11. . 12.化简: . 知识点3 平面向量的数乘运算 1.数乘运算定义:一般地,实数λ与向量的积是一个向量,记作,它的模为. 若,则当时, 的方向与 的方向相同;当时,的方向与的方向相反.若,则. 对于非零向量,当时,有.规定:. 2.向量数乘运算满足的法则. ①; ②; ③ 一、选择题 1.在正方形ABCD 中，点O为正方形的中心，已知 则 ( ) A. B. C. D. 2.如图，设平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于O，若则向量( ) A. B. C. D. 3.( ) A. B. C. D. 4.满足向量等式的向量( ) A. B. C. D. 5.化简:( ) A. B. C. D. 6.在平行四边形ABCD 中, 则 ( ) A. B. C. D. 7.下列各组非零向量中，不一定属于平行向量的一组是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 8.在平行四边形ABCD中， ,E 为 DC 中点,则 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 9. . 10. 已知向量不平行,向量与 平行,则实数 . 11.已知向量与不共线，若向量与向量共线，则实数 12.若向量 则 . 三、解答题 13. 化简: . 14.已知为不共线的非零向量，若求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$