1.5三角计算的应用 同步练习-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

1.5　三角计算的应用 一、选择题 1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期和最大值分别为(　　) A．2π，2 B．2π，4 C．π，2 D．π，4 2．函数y＝sin 2x－cos 2x的单调递减区间为(　　) A．，(k∈Z) B．，(k∈Z) C．，(k∈Z) D．，(k∈Z) 3．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　) A．2或 B．2 C． D．3 4．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B 两点，从A，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(　　) A．m B．m C．m D．m 5．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　) A．20 海里 B．40 海里 C．20(1＋) 海里 D．40 海里 6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10 n mile B． n mile C．5 n mile D．5 n mile 7．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 8．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　) A．20m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 二、解答题 9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.求： (1)f(x)的最小正周期； (2)f(x)的最小值及此时x的取值集合． (3)f(x)的单调递增区间． 10．如图所示，甲，乙两船同时从港口O处出发，甲船从12海里/小时的速度向东行驶，乙船以10海里/小时的速度沿北偏西30°的方向行驶2小时候甲船到达A处，乙船到达B处， (1)甲，乙两船间的距离AB是多少海里？ (2)此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？ 答案 一、选择题 1．C　y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin故最小正周期为π，最大值为2. 2．D　因为y＝sin 2x－cos 2x＝2＝2＝2sin.当2x－∈，(k∈Z)时函数为减函数，即＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递减区间为，(k∈Z)．故选D. 3．A　如图，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°.由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 即3＝x2＋9－2×3x×，解得x＝2或x＝. 4．A　在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理得PB＝＝30(＋)(m)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)，故选A. 5．A　 在△ACD 中，∠ADC＝15°＋90°＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，所以∠CAD＝45°.由正弦定理可得＝，解得AD＝＝＝20.在Rt△DCB 中，∠BDC＝45°，所以BD＝CD＝40.在△ABD 中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝800＋3200－2×20×40×＝2 400，解得AB＝20(海里)．所以A，B 两处岛屿间的距离为20海里．故选A. 6．D　D．在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得＝，所以＝，解得BC＝5 n mile. 7．D　如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10(km)． 8．B　设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20m.所以CD＝20(1＋) m．故选B. 二、解答题 9．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知，f(x)＝sin＋1. 当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－＋1. 所以f(x)的最小值为－＋1，此时x的取值集合为. (3)当2x＋∈，(k∈Z)时函数为增函数，即－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为，(k∈Z)． 10．解：(1)由题意得OA＝12×2＝24(海里)，OB＝10×2＝20(海里)∠AOB＝90°＋30°＝120°.由余弦定理得：AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°＝242＋202－2×24×20×＝1 456.解得AB＝38海里，即甲乙两船的距离AB是38海里． (2)由正弦定理可得：＝.sin∠OAB＝＝＝因为在△AOB中，∠AOB＝120°，所以∠OAB是锐角，所以∠OAB≈27.12°，90°－27.12°＝62.88°≈63°.即乙船位于甲船北偏西63°的方向上． 学科网（北京）股份有限公司 $$