4.5.1 函数的零点与方程的解 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解 同步练习 考点一　求函数的零点 1.函数f(x)=的零点是(　　) A.1　　B.(1,0)　　C.(-1,0)　　D.-1或1 2.函数f(x)=log2x-log4(x+20)的零点为(　　) A.4　　B.4或5　　C.5　　D.-4或5 3.设m,n是方程(lg x)2-lg x3+1=0的两个实根,则mn=　　　　.  考点二　判断函数的零点所在的区间 4.函数f(x)=x3+2x-4的零点所在的区间是(　　) A.(-1,0)　　B.(0,1)　　C.(1,2)　　D.(2,3) 5.函数f(x)=ln x-+1的零点所在的区间为(　　) A.(0,1)　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　D.(3,4) 6.方程2x+1-x=5的正数解所在的区间是(　　) A.(0,1)　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　D.(3,4) 考点三　判断函数的零点个数 7.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则　(　　) A.方程f(x)=0一定有实数解 B.方程f(x)=0一定无实数解 C.方程f(x)=0一定有两个实数解 D.方程f(x)=0可能无实数解 8.已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 9.设[x]表示不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-1.5]=-2,则函数f(x)=x2-[x]-1的零点个数为　　　　.  考点四　根据零点情况求参数的值(范围) 10.二次函数y=x2+(m-3)x+2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,且0<x1<2<x2,则m的取值范围是(　　) A.m<或m>5　　B.0<m< C.m<-或m>5　　D.-<m<0 11.已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根,则a的取值范围为　　　　.  13.若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围是　　　　.  考点五　函数的零点与方程的解 14.已知定义在R上的函数f(x)为单调函数,且对任意的x∈R,恒有f(f(x)-2x)=-,若f(x0)=0,则x0的值是(　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D.2 15.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.若函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在(a,b)上无零点 B.函数f(x)=2x+log2x有且只有1个零点 C.函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点 D.若f(x)=x+,则函数y=[f(x)]2-f(x)-6有3个零点 16.设m>1,logma=mb=c,若a,b,c互不相等,则下列选项中不正确的是(　　) A.a>1　　B.c≠e　　C.b<c<a　　D.(c-b)(c-a)<0 17.设函数f(x)=(x2-c1x+36)(x2-c2x+36)·(x2-c3x+36)(x2-c4x+36)(x2-c5x+36),集合M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x9}⊆N*,c1≥c2≥c3≥c4≥c5,则c1-c5=(　　) A.17　　B.20　　C.22　　D.25 18.(多选题)已知函数f(x)=|3x-1|,实数x1,x2满足x1<x2,且f(x1)=f(x2)=m,则下列结论正确的是(　　) A.0<m<1　　B.<-1 C.若0<m<,则x1+x2<-　　D.若<m<1,则x1+x2<-1 19.已知f(x)=若方程f(x)-a=0有四个根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x3-x1+x4-x2的取值范围为　　　　.  20.设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有3个不同的实数解x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1x2+x1x3+x2x3的取值范围是　　　　.  答案 1.A　由2x+1>0,得x>-,所以函数f(x)=的定义域为. 令f(x)==0,解得x=-1(舍去)或x=1, 所以函数f(x)=的零点是1. 2.C　由题意可得解得x>0,故f(x)的定义域为(0,+∞). 令f(x)=log2x-log4(x+20)=0,得log2x=log4(x+20),即log2x=log2. 因为函数y=log2x在定义域内单调递增, 所以x=, 整理,得x2-x-20=0,解得x=5或x=-4, 又因为x>0,所以x=5. 3.答案　1 000 解析　∵m,n是方程(lg x)2-lg x3+1=0即(lg x)2-3lg x+1=0的两个实根,∴lg m+lg n=3,可得mn=103=1 000. 4.C　由题意知, f(-1)=-1-2-4=-7<0, f(0)=-4<0, f(1)=1+2-4=-1<0, f(2)=8+4-4=8>0, 所以f(1)f(2)<0,易知函数f(x)为R上的增函数,所以由函数零点存在定理知,函数f(x)的零点所在的区间是(1,2). 5.C　因为y=ln x,y=-+1在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)是定义在(0,+∞)上的连续不断的递增函数, 又f(2)=ln 2-2+1=ln 2-1<0, f(3)=ln 3-+1=ln 3->0,所以由函数零点存在定理可知,零点所在的区间为(2,3). 6.B　2x+1-x=5即2x+1=5+x,所以方程的解为曲线y=2x+1与直线y=x+5的交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x+1,y=x+5的图象,如图所示. 由图可知,两函数图象在(0,+∞)内只有1个交点. 设f(x)=2x+1-x-5,则f(1)=-2<0, f(2)=1>0, 所以f(1)f(2)<0, 所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2). 7.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解. 8.D　由y=|f(x)|-1=0得|f(x)|=1,所以f(x)=1或f(x)=-1. 当x>0时,由ln x=1或ln x=-1,解得x=e或x=. 当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-或x=-. 所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4. 9.答案　1 解析　令x2-[x]-1=0,得x2-1=[x],所以f(x)的零点个数即函数y=x2-1与y=[x]的图象的交点个数. 易知x=0和x=1不是f(x)的零点. 在同一平面直角坐标系中作出y=x2-1与y=[x](x≠0且x≠1)的图象,如图, 由图可知,两函数图象只有一个交点,故f(x)只有1个零点. 10.B　由题意可得即解得0<m<. 11.C　易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上单调递增,其图象连续不断. ∵f(1)=lg 1+2-7=-5<0, f(2)=lg 2+4-7=lg 2-3<0, f(3)=lg 3+6-7=lg 3-1<0, f(4)=lg 4+8-7=lg 4+1>0,∴f(3)·f(4)<0, ∴f(x)在(3,4)上存在唯一的零点,∴k=3. 12.答案　(0,1) 解析　关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根等价于函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3. 作出y=f(x)的图象,如图所示. 由图可知,两个函数图象有3个交点时,a的取值范围为(0,1). 13.答案　 解析　若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点, 则解得1<a<,即a的取值范围为. 14.B　设a=f(x)-2x,则f(x)=2x+a. ∵f(a)=-,∴2a+a=-,解得a=-1, ∴f(x)=2x-1.令-1=0,解得x0=0. 15.BCD　对于A,令f(x)=x2,x∈[-1,1],显然f(-1)f(1)=1>0,但f(0)=0,故A错误; 对于B,令2x+log2x=0,得2x=-log2x,在同一平面直角坐标系中作出y=2x与y=-log2x的图象(如图1),由图1可知,两函数图象只有1个交点,故函数f(x)=2x+log2x有且只有1个零点,故B正确; 对于C,令2x|log0.5x|-1=0,得=|log0.5x|,在同一平面直角坐标系中作出y=与y=|log0.5x|的图象(如图2),由图2可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点,故C正确; 　　 对于D,由[f(x)]2-f(x)-6=0得f(x)=-2或f(x)=3,由x+=-2得(x+1)2=0,所以x1=x2=-1,由x+=3得x2-3x+1=0,因为Δ=5>0,所以该方程有两个不相等的实数根,,所以原函数共有3个零点,故D正确. 16.C　由mb=c>0,可得logma>0,因为m>1,所以a>1,故A正确. 当c=e时,logma=mb=c=e,取m=,满足m>1,则a=me=e,b=logme=e,此时a=b=c,不满足a,b,c互不相等,所以c≠e,故B正确. a,b,c可看成函数y=logmx,y=mx,y=x与y=c的图象的交点的横坐标. 当m=1.1时,在同一平面直角坐标系中作出四个函数的图象,如图1,图2所示, 由图1可知,a<c<b,所以(c-b)(c-a)<0. 由图2可知,b<c<a,所以(c-b)(c-a)<0,故C不正确,D正确. 17.D　由M={x|f(x)=0}={x1,x2,…,x9}⊆N*可得函数f(x)有9个正整数零点. 对于函数y=x2-cix+36(i=1,2,3,4,5),其零点个数为1或2,其图象的对称轴方程为x=(i=1,2,3,4,5), 对于方程x2-cix+36=0(i=1,2,3,4,5),由根与系数的关系可知,两根之积为36,两根之和为ci(i=1,2,3,4,5),则符合要求的两根有1,36;2,18;3,12;4,9;6,6. 又c1≥c2≥c3≥c4≥c5, 所以c1=1+36=37,c2=2+18=20,c3=3+12=15,c4=4+9=13,c5=6+6=12, 所以c1-c5=37-12=25. 18.ABD　f(x)=|3x-1|= 作出f(x)的图象如图所示. 对于A,因为实数x1,x2满足x1<x2,且f(x1)=f(x2)=m, 所以y=m与y=f(x)的图象有两个交点,由图可知0<m<1,故A正确. 对于B,易知x1<0<x2,1-=-1, 所以+=2>2=2,所以<30,所以x1+x2<0,即x1<-x2,又x2>0,所以<-1,故B正确. 对于C,当0<m<时,-1=m,1-=m,即=1+m,=1-m,所以·==(1+m)(1-m)=1-m2,所以x1+x2=log3(1-m2). 因为0<m<,所以0<m2<,所以<1-m2<1,所以log3<log3(1-m2)<log31,又log3>log3>log3=log3=log3=-,所以-<log3(1-m2)<0,即-<x1+x2<0,故C错误. 对于D,由C可知,x1+x2=log3(1-m2).因为<m<1,所以<m2<1,所以0<1-m2<,所以log3(1-m2)<log3=-1,即x1+x2<-1,故D正确. 19.答案　 解析　因为方程f(x)-a=0有四个根x1,x2,x3,x4, 所以函数f(x)=的图象与直线y=a有四个交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,如图所示. 当x≤0时,|x1+2|=|x2+2|,且x1<x2,故x1+x2=-4. 当x>0时,|log3x3|=|log3x4|,且x3<x4,所以log3x3=-log3x4,解得x3x4=1. 由图可得,0<log3x4≤2,故1<x4≤9, 所以x3-x1+x4-x2=x3+x4+4=x4++4. 令h(x)=x++4,x∈(1,9], 易知h(x)=x++4在(1,9]上单调递增,所以h(1)<h(x)≤h(9),即6<h(x)≤,故x3-x1+x4-x2的取值范围是. 20.答案　 解析　∵关于x的方程f(x)=m恰有3个不同的实数解, ∴函数y=f(x)的图象与直线y=m有3个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3). 作出函数f(x)=的图象,如图所示. 由图可得,-1<x1<0<x2<2<x3<4,0<m<4. 由3-x1=m,得x1=或x1=(舍去). 由题意得,方程-x2+4x=m的两根为x2和x3, ∴x2+x3=4,x2x3=m, ∴x1x2+x1x3+x2x3=x1(x2+x3)+x2x3=(1-)+m. 设=t,则m=, ∴(1-)+m=(1-t)+=-t+=(t-4)2-. ∵0<m<4,∴1<1+12m<49,∴1<t<7, ∴当t=4时,(1-)+m取得最小值-; 当t=1或t=7时,(1-)+m=0. ∴-≤x1x2+x1x3+x2x3<0,即x1x2+x1x3+x2x3的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$