专题1.6 集合90道计算题专项讲义（9大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题1.6 集合90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 利用集合元素的互异性求参数 题型三 判断集合的子集（真子集）的个数 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型六 根据交集结果求集合或参数 题型七 根据并集结果求集合或参数 题型八 根据补集运算确定集合或参数 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 【经典计算题一 根据元素与集合的关系求参数】 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 2．（2024高一上·江苏南京·期中）已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 3．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若中只有一个元素，求实数的值； （2）若中至多只有一个元素，求实数的值； （3）若中至少有一个负实数，求实数的值． 5．（2025高一·全国·课后作业）数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． (1)若2∈A，试求出A中其他所有元素； (2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素； (3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”． 6．（2023高一·全国·课后作业）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 8．（2024·上海·一模）设,点,但.求的值. 9．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，求集合B． 10．（2024高一·上海·专题练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【经典计算题二 利用集合元素的互异性求参数】 1．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）1.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则∈A． (1)集合A是否为双元素集，并说明理由； (2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A． 5．（23-24高一·上海·课后作业）已知，求实数的值. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，求实数的取值范围． 7．（2023高一上·河北保定·期中）(1)全集U＝{2,4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－1}，求实数a的值. (2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围． 8．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合. 9．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知集合，若，求实数a的值． 10．（24-25高一·江苏·课后作业）若，则中的元素应满足什么条件？ 【经典计算题三 判断集合的子集（真子集）的个数】 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高三上·江苏泰州·开学考试）设集合，集合，满足，且. (1)若，求满足条件的集合的个数； (2)对任意的满足条件的及，求集合的个数. 4．（24-25高一上·安徽·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 5．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）（1）集合，且，用列举法表示； （2）用描述法表示图中的阴影部分(包括边界)； （3）集合M中的元素为自然数，且满足，则满足题设条件的集合M共有多少个？ 6．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 7．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知集合. (1)若集合为两个元素的集合,试求实数的范围； (2)是否存在这样的实数,使得集合有且仅有两个子集?若存在,求出所有的的值组成的集合；若不存在,请说明理由. 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知为正整数，集合，对于中任意两个元素和定义：；. (1)当时，设，，写出，并计算； (2)若集合满足，且，，，求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明； (3)若，，任取，证明：. 9．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 10．（22-23高一上·浙江·阶段练习）（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？ （2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由． 【经典计算题四 根据集合的包含关系求参数】 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 3．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合或，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，若 ，求实数的取值范围. 9．（2023高一·全国·专题练习）已知集合，集合， ⫋，求k的取值集合. 10．（2023高一·全国·专题练习）设，，B不为空集，，求的值. 【经典计算题五 根据两个集合相等求参数】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 2．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（2024高一·全国·课后作业）已知集合与集合是同一个集合，求、. 4．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 5．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设函数，集合 (1)证明:. (2)当时，求. 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，，.求： （1）使， 的 的值； （2）使的 的值. 7．（2025高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，集合. （1）若,求实数a的取值范围 （2）若,求实数a的取值范围; （3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 8．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，若，求的值． 9．（2024高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值． 10．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【经典计算题六 根据交集结果求集合或参数】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 8．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合， (1)当时，求， (2)若，求实数m的取值范围. 9．（2024高一上·天津南开·期中）已知集合，集合，若，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 【经典计算题七 根据并集结果求集合或参数】 1．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知集合. (1)是否存在实数a，使得?若存在，试求出实数a的值;若不存在，请说明理由. (2)在第（1）问的条件下，若集合且，求. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 3．（24-25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知或． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 5．（24-25高一上·湖北·期中）设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 8．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，集合，且， (1)求实数，的值. (2)设集合. ①若 ，求正数的最小值； ②若，且中只含有两个正整数元素，求实数的取值范围. 9．（24-25高一上·天津·阶段练习）集合，，，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值集合； (3)若，求的取值范围. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【经典计算题八 根据补集运算确定集合或参数】 1．（2024高一·全国·课后作业）已知全集，集合，求. 2．（2024高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，其中． (1)若，求，的值； (2)若对，有，求，的取值范围． 4．（22-23高一上·湖北宜昌·期中）已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 5．（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，，求实数a的值. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 7．（2025高一上·江西·阶段练习）已知全集 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中有四个元素，求和的值. 8．（2025高一上·安徽芜湖·期中）设集合，，. （1）设全集，求； （2）若，求实数的取值范围. 9．（2024高一上·浙江湖州·期中）设集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 10．（2023高一·全国·课后作业）已知A={0，2，4，6}，，，用列举法写出集合B． 【经典计算题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 1．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，，，且，求的值． 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 4．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 5．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 6．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 7．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设集合， (1)若集合A为，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； 8．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 10．（23-24高一·全国·单元测试）（1）设集合U＝R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}，若（∁∪A）∩B＝∅，求实数m的值． （2）设集合A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 集合90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 利用集合元素的互异性求参数 题型三 判断集合的子集（真子集）的个数 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 根据两个集合相等求参数 题型六 根据交集结果求集合或参数 题型七 根据并集结果求集合或参数 题型八 根据补集运算确定集合或参数 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 【经典计算题一 根据元素与集合的关系求参数】 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据集合元素的属性、元素与集合的关系判断； （2）根据，由化简，由集合元素的属性判断； （3）根据，由化简判断. 【详解】（1）因为， 此时：，不满足， 所以不是集合中元素. （2）因为，则， ， ， 因为都是整数， 所以. （3）因为， 所以， ， 因为，所以为偶数即为偶数. 2．（2024高一上·江苏南京·期中）已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析，． 【分析】（1）设，然后计算可得； （2）设，计算出，由（1）得的值，然后代入一一检验可得； （3）设，计算可证，在时可得，结合（2）可得值． 【详解】（1）证明：若,则， 所以 ， 因为， 所以原式， 因为，所以偶数，原式得证． （2）因为，且， 则，所以， 设，， 由（1）可知，即， 所以或． 当时，代入可得， 此时，不满足，所以不成立． 当时，代入解得，若，则，不满足，所以不成立；若，则，满足． 综上，可知． （3）证明:因为，所以可设，且， 则 所以 ， 即成立， 对于，不等式同时除以可得， 由（2）可知，在范围内，， 所以， 即． 3．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对分类讨论：，解出即可判断出是否满足题意．时，中至少有一个元素，满足，解得范围即可得出． （2）对分类讨论：，直接验证是否满足题意．时，由中至多有一个元素，可得，解得范围即可得出． 【详解】解：（1），由，解得，满足题意，因此． 时，中至少有一个元素，，解得，． 综上可得：的取值范围是． （2），由，解得，满足题意，因此． 时，中至多有一个元素，，解得． 综上可得：的取值范围是． 【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系求参数、集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若中只有一个元素，求实数的值； （2）若中至多只有一个元素，求实数的值； （3）若中至少有一个负实数，求实数的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）． 【分析】（1）集合的属性是一个关于的方程，且二次项的系数是字母，故中只有一个元素时要考虑二次项系数为0的情况，此题应分为两类求解，当时与当时，分别转化求出求的值； （2）中至多有一个元素，限制词中的至多说明可能只有一个元素或者没有元素，故分为两类求解，由（1）知中只有一个元素时参数的取值范围，再求出为空集时参数的取值范围，取两部分的并集即可求出的取值范围． （3）分方程只有一根和方程有两相等的负根、一个负根一正根、以及两个不相等的负根四种情况讨论可得； 【详解】解：（1）当时，，符合条件； 当时，方程为一元二次方程，要使中只有一个元素， 则方程只有一个实数解，所以． 所以，的值为0或． （2）若中至多只有一个元素，则中只有一个元素或． 由（1）知：若中只有一个元素，的值为0或； 若，则方程无实数解，所以． 所以，或． （3）中只有一个负根  当，符合题意， 当，符合题意． 中有两根，一正一负，则． 中有两根，二负，则． 综上，． 【点睛】本题考查集合中的参数取值问题，解题的关键是理解题意，将问题进行正确转化，此类题易因为理解不全面，漏掉特殊情况致错，（1）中易漏掉时的情况，（2）中易漏掉空集这种情况，解题时要注意考虑全面，本题考查了推理判断的能力及计算能力，是集合中综合性较强的题，即考查了集合的概念，也考查了二次函数的性质． 5．（2025高一·全国·课后作业）数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． (1)若2∈A，试求出A中其他所有元素； (2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素； (3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”． 【答案】（1）－1, ； （2） ； （3）见解析. 【分析】（1）根据条件进行递推即可得到A中其他所有元素； （2）不妨设，求出A中其他所有元素； （3）根据（1）（2）的元素特点得到结论并证明. 【详解】(1)2∈A，则 ∈A，即－1∈A，则∈A， 即∈A，则∈A，即2∈A， 所以A中其他所有元素为－1， . (2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为 . (3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a， ，且三个数的乘积为－1. 证明如下： 若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1， 所以又有 ＝∈A且≠1， 进而有＝a∈A. 又因为a≠ (因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)， 同理≠，a≠. 又因为a··＝－1， 所以A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1. 【点睛】该题考查的是有关集合的综合题，涉及到的知识点有根据元素与集合的关系求参数、集合中元素的确定，对集合中元素的特征的判定，属于中档题目. 6．（2023高一·全国·课后作业）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 【答案】（1）0或－1； （2）1 . 【分析】（1）由，得或，再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值； （2）由，得或，再利用集合中元素的互异性能求出满足题意的实数的值. 【详解】(1)因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. (2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1. 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1， 符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为1. 【点睛】该题考查的是有根据元素与集合的关系求参数，元素与集合的关系，根据元素属于集合，列出等量关系式，求出参数的值，需要注意的是需要检验是否满足集合中元素的互异性. 7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 8．（2024·上海·一模）设,点,但.求的值. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系,由,但， ,建立的关系式,然后求解. 【详解】因为点，① 因为点，② 因为点，③ 由①②得,解得;类似地由①③得. . ，. 当时,由①得,由②得,由③得,所以. 因为,所以. 故答案为. 9．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，求集合B． 【答案】 【分析】由题可得3是二次方程的两个等根，据此可得，，据此根据元素与集合的关系求参数，可得集合B. 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 10．（2024高一·上海·专题练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析. 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】解：（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集. （3）因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【点睛】本题考查集合与元素的关系、根据元素与集合的关系求参数，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 【经典计算题二 利用集合元素的互异性求参数】 1．（24-25高一上·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得 【详解】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，根据集合元素的互异性可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）1.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则∈A． (1)集合A是否为双元素集，并说明理由； (2)若3∈A，A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A． 【答案】(1)集合A不是双元素集合；理由见解析 (2) 【分析】（1）由x∈A，得∈A，往后继续代入，发现循环规律，得到集合A中至少有3个元素，从而集合A不是双元素集合． （2）发现规律：集合A中至少有3个元素，所有元素的积为，故分情况讨论，得到，，，另外由3∈A，同理得，∈A，从而得到集合A． 【详解】（1）因为，所以，则所以，循环往复，因为，，故集合A中至少有3个元素，所以集合A不是双元素集合； （2）因为集合A中至少有3个元素，所有元素的积为， 当时，解得：，因为x≠1且x≠0，所以，故，接下来，，循环 当，解得：或，因为题干条件x≠1且x≠0，所以，则，，，循环 当，解得：，因为，所以，所以， 所以，循环，以上三种情况答案一样. 因为3∈A，同理得，∈A， 因为A中元素个数不超过10个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 经检验． 5．（23-24高一·上海·课后作业）已知，求实数的值. 【答案】 【分析】由元素与集合的关系，分类讨论、、三种情况，得出的值，再由集合中元素的性质去验证，进行取舍，得出结果. 【详解】因为 所以或或 解得或 由集合元素的互异性可知且 所以， 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，集合元素的互异性等基本知识，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，求实数的取值范围． 【答案】且． 【分析】分析集合中元素具有互异性，解不等式即可． 【详解】∵集合中的元素具有互异性 ∴，解得且 ∴实数的取值范围是且． 【点睛】本题主要考查集合的元素的互异性. 7．（2023高一上·河北保定·期中）(1)全集U＝{2,4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－1}，求实数a的值. (2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围． 【答案】（1）2；（2）－≤a≤2或a>3. 【详解】试题分析：（1）由∁UA＝{－1}，可得，列出式子为，解出，并且检验参数值是否满足A⊆U即可；（2）A∩B＝∅，分A＝∅和A≠∅两种情况，最后两种情况并在一起即可. （1）由∁UA＝{－1}，可得 所以 解得a＝4或a＝2. 当a＝2时，A＝{2,4}，满足A⊆U，符合题意； 当a＝4时，A＝{2,14}，不满足A⊆U，故舍去， 综上，a的值为2.   (2)A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a＋3}． (1)若A＝∅，有2a>a＋3，∴a>3. (2)若A≠∅，如图所示． 则有 解得－≤a≤2. 综上所述，a的取值范围是－≤a≤2或a>3. 8．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合. 【答案】答案见解析 【分析】化简方程为，分、和且，三种情况讨论，结合元素的互异性和题设条件，即可求解. 【详解】根据集合中元素的互异性知，当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 由， 当时，可得，不符合题意； 当时，即时，可得，符合题意； 当且时，此时，可得，解得， 此时，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 当时，；当时，. 9．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知集合，若，求实数a的值． 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系、集合元素的互异性，列方程求解并验证作答. 【详解】集合，因，则或， 解得：，此时，矛盾，即， 解得：，则有，当时，，符合题意，则， 所以实数a的值是. 10．（24-25高一·江苏·课后作业）若，则中的元素应满足什么条件？ 【答案】且且 【分析】根据集合中元素的互异性即可求解. 【详解】根据集合中元素的互异性可得： ，解得且且， 所以应满足且且. 【经典计算题三 判断集合的子集（真子集）的个数】 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)，理由见解析. 【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可. （2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案. 【详解】（1）由，得和， 而，所以不是的自邻集， 又， 所以是的自邻集. （2）， 则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有，，， ，，，，，共9个，即， 其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有，，，，共5个， ， 其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有，共2个，， 所以. 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意. 【详解】存在实数m满足条件，理由如下： 若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素， 即方程只有一个根， ∴，解得. ∴所有的m的值组成的集合. 3．（23-24高三上·江苏泰州·开学考试）设集合，集合，满足，且. (1)若，求满足条件的集合的个数； (2)对任意的满足条件的及，求集合的个数. 【答案】(1)16个； (2). 【分析】（1）时，可得出，根据条件，可分别求出时，集合的个数，再求和即可； （2）当时，分别求出时，集合的个数，再求和即可. 【详解】（1）解：当时，；∵，∴或， 当时，和可分别为2和4,3和5,4和6；此时对应的分别有1个，2个和3个； 当时，和可分别为2和3,3和4,4和5,5和 6；此时对应的分别有1个，2个，3个和4个； ∴集合的个数个； （2）解：当时，若时，则和可分别为2和4,3和5,…，和， 此时对应的分别有1个，2个，…，个，共有个； 同理，时，则和可分别为2和3,3和4,…，和， 此时对应的分别有1个，2个，3个，…，个，共有个； ∴集合的个数为： . 故集合的个数为. 4．（24-25高一上·安徽·期中）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】(1)①12; ②-1 (2)①13184; ②-1 【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. 【详解】（1）①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． （2）因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 5．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）（1）集合，且，用列举法表示； （2）用描述法表示图中的阴影部分(包括边界)； （3）集合M中的元素为自然数，且满足，则满足题设条件的集合M共有多少个？ 【答案】（1）；（2）；（3）31个. 【分析】（1）由，解得，根据从而得集合； （2）分两部分表示出阴影部分的面积，然后合并即可；. （3）满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，分情况逐一求解即可. 【详解】（1）注意到，因此，解得，又 ∵，，所以 （2）阴影部分的面积分两部分，即或，合并为：. （3）满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况： ①由1个集合中的元素组成的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共5种； ②由2个集合中的元素组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}，共10种； ③由3个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}，共10种； ④由4个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}，共5种； ⑤由5个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，1种. 综上可知，满足题设条件的集合M共有31个. 6．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 【答案】(1)； (2)128； (3)不存在，理由见解析. 【分析】⑴根据孪生集的定义写出集合即可； ⑵设，且，根据孪生集的定义即可求解； ⑶利用反证法来证明. 【详解】（1）∵，∴； （2）设，不妨设， 因为，所以B中元素个数大于等于7， 取，则，此时B中元素共7个， 所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集， 不妨设，则集合A的孪生集， 则，， 则必有，，其4个正实数的乘积； 同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾． 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集． 7．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知集合. (1)若集合为两个元素的集合,试求实数的范围； (2)是否存在这样的实数,使得集合有且仅有两个子集?若存在,求出所有的的值组成的集合；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】（1）讨论方程有两个不等实根即可求解； （2）只需集合里面恰有一个元素，即只有一个实数根. 【详解】（1）集合为两个元素的集合, 所以方程有两个不等实根， 即， 得：； （2）存在这样的实数,使得集合有且仅有两个子集， 即集合里面恰有一个元素， 即只有一个实数根， 当时，符合题意； 或即， 所以. 【点睛】此题考查根据集合中的元素个数求参数范围，关键在于对方程的根的个数进行准确判断. 8．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知为正整数，集合，对于中任意两个元素和定义：；. (1)当时，设，，写出，并计算； (2)若集合满足，且，，，求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明； (3)若，，任取，证明：. 【答案】(1)， (2)2，或. (3)证明见解析 【分析】（1）由定义：；求解； （2）由集合满足，且集合求解； （3）设，，，得到，，，，，再由新定义求解. 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）最大值是2. 此时或. 假设集合中还有第三个元素，不妨取， 则第三个元素必为中的一个，此时，不符题意， 即集合中元素个数的最大值为2. （3）证明：设，，， 所以，，，，， 从而， 又， 当时，， 当时，， 所以. 9．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 10．（22-23高一上·浙江·阶段练习）（1）从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？ （2）设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由． 【答案】（1）32；（2）6个，理由见解析. 【分析】（1）先找出和为11的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案. （2）构造A的差为6或7的13个子集，假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7，不成立，再举例说明B中可以有6个元素即可. 【详解】（1）将和为11的数分组：共5组，只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集； （2）构造A的下列13个子集：，，A中每一个数恰好属于2个子集， 假设从A中取7个元素，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7． 因此，A中任意7个元素都不能同时属于集合B，即B中最多只有6个元素， 又中任意两数之差不等于6或7，此时符合要求， ∴集合B中最多有6个元素． 【经典计算题四 根据集合的包含关系求参数】 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 3．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合或，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】根据题目条件可得，对进行分类讨论求出实数的取值范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件，∴， 当时，，则； 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 由图可知，或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为或． 7．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【答案】 【分析】根据，分类讨论求解即可. 【详解】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，若 ，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意 ，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题. 【详解】当时，如图所示.    ∴或，解这两个不等式组得； 当时，由，得； 综上可得，实数的取值范围是. 9．（2023高一·全国·专题练习）已知集合，集合， ⫋，求k的取值集合. 【答案】 【分析】求出集合A中的元素，集合B是集合A的真子集，分别研究、、时k的值即可. 【详解】由题意知，， 因为 ⫋， 所以①当时，， ②当时，， ③当时，， 综述：或或.即k的取值集合为. 10．（2023高一·全国·专题练习）设，，B不为空集，，求的值. 【答案】答案见解析 【分析】由B是A的非空子集，分别研究、、时a、b的值即可求得结果. 【详解】因为，， 所以①当时，则， 所以， ②当时，则， 所以， ③当时，则， 所以， 综述：①当即时，， ②当即时，， ③当即时，. 【经典计算题五 根据两个集合相等求参数】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 2．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 3．（2024高一·全国·课后作业）已知集合与集合是同一个集合，求、. 【答案】、或、 【解析】本题首先可根据题意得出或，然后分别进行计算，即可得出结果. 【详解】因为集合与集合是同一个集合， 所以满足或， 若满足，解得，此时 若满足，解得，此时， 故、或、. 【点睛】本题考查根据集合相同求参数，若两集合相同，则两集合中包含的元素相同，考查计算能力，体现了基础性，是中档题. 4．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 5．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设函数，集合 (1)证明:. (2)当时，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）按与分类讨论，结合集合包含关系的定义推理作答. （2）根据给定条件，结合韦达定理求出，再代入解方程作答. 【详解】（1）当时，方程无实根，即无实根，， 此时恒成立，又方程，即， ，显然，而， 因此方程无实根，，则， 当时，任取，则，于是，即有，因此， 所以。 （2）由，得是方程的二根，由，解得， 于是，方程，即， 整理得，解得， 所以. 6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，，.求： （1）使， 的 的值； （2）使的 的值. 【答案】（1），或，；（2），或， 【分析】（1）由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，，，联立方程即可得出结果. （2）根据集合相等，集合中的元素相同，可得，解方程即可得出结果 。 【详解】（1）因为，所以 又因为 ，所以，解得或 当时，，解得 当时，，解得 所以，，或，； （2），，解得或 所以，，或，. 【点睛】本题考查了集合的性质及元素与集合、集合与集合间的关系，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 7．（2025高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，集合. （1）若,求实数a的取值范围 （2）若,求实数a的取值范围; （3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由. 【答案】（1）或   （2）   （3）能， 【分析】（1）由是的子集，确定实数的取值范围， （2）由是的子集，确定实数的取值范围； （3）假定、相等，确定的值 【详解】（1）当时，，不满足； 当时，， 由，得解得； 当时，， 由，得解得；. 综上可知，当时，或. （2）当时，，满足； 当时，得解得； 当时，得解得 综上可知，当时，. （3）当且仅当且时，，由第（1）（2）分析可知. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算．要正确判断两个集合间的包含关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 8．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，若，求的值． 【答案】1 【分析】由要使分式有意义，则，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可 且且，求出的值，再代入运算即可得解. 【详解】解：因为集合，， 要使有意义，则 又，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得， 即， 即 =， 故=. 【点睛】本题考查了集合相等的充要条件及集合中元素的互异性，重点考查了元素与集合的关系及运算能力. 9．（2024高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值． 【答案】 【详解】因为M=N，所以根据集合元素的互异性，可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求. 由M＝N及集合元素的互异性得：或 解上面的方程组得，或或 再根据集合中元素的互异性得，或 10．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解； （2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可. 【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：； （2）由题，中最多两个元素，对于方程 当集合时： ，即时，方程无解，，符合题意； 当集合中只有一个元素时： ，即时，方程的解为，，符合题意； 当中有两个元素时： ，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素， 此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：； 综上所述：或. 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏. 【经典计算题六 根据交集结果求集合或参数】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，根据交集运算，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 4．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求集合，再求交集； （2）分集合和两种情况，列式求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为或，所以； （2）若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因为，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由子集定义得，解该不等式组即可得解. （2）先由题意得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）因为，所以，故. （2）若，则. 当即时，，符合题意. 当时，要使，则，无解. 综上，若，则实数的取值范围为. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 7．（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 8．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合， (1)当时，求， (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】代入m的值求出集合A，再求出集合A的补集，进而可以求解； 由，则，然后根据集合的包含关系建立不等式即可求解． 【详解】（1）当时，，所以或， 又，所以， （2）因为，所以， 当，即时，，满足题意， 当时，由，得到，解得， 所以实数m的取值范围为或 9．（2024高一上·天津南开·期中）已知集合，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由，则，分和 时，①，②，进行分类讨论并验证即可； 【详解】由， 又，则， 当时，则方程无实根， 即，解得， 当时，①时，则是方程的一个实根， 即，解得， 此时 ，此时，故符合题意； ②时，则是方程的一个实根， 即，解得， 此时，此时，故符合题意； 综上. 10．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求:m的值及其对应a的取值范围. 【答案】答案见解析 【分析】分，且，且三种情况，分别求得m的取值，再根据求解对应a的范围即可． 【详解】由于且，故， 当时，，此时，不合题意，故， 由于得，， ①若，若，则，不合题意，所以，则， 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； 当时，解得，此时， 又因为，所以，解得； ②若，时，即， 当时，，联立解得，此时， 又因为，则，解得； 当时，，联立解得，此时， 又因为，所以，解得； ③若，时，即， 由，得，由根与系数关系得，，解得， 此时，，符合题意， 又因为，所以，解得， 综上所述，当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，则． 【经典计算题七 根据并集结果求集合或参数】 1．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知集合. (1)是否存在实数a，使得?若存在，试求出实数a的值;若不存在，请说明理由. (2)在第（1）问的条件下，若集合且，求. 【答案】(1)存在，2 (2) 【分析】（1）根据集合的并集结果，转化为集合的包含关系，列出方程求解即可； （2）由集合得出一元二次方程的根，根据根与系数关系求即可. 【详解】（1）由， 或， 解得， ∴存在实数，使得. （2）由（1）知，, 由知的两根为， 所以，解得. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【详解】（1）由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 3．（24-25高一上·广东汕尾·期末）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知或． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可得两集合端点的大小关系，解不等式即可； （2）先讨论的情况，再研究时，利用两集合端点值的关系进行求解． 【详解】（1）因为，所以， 解得 （2）因为， 当时，， 当时，或， 解得或， 综上或 5．（24-25高一上·湖北·期中）设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）确定中元素个数，由（1）即可确定. 【详解】（1） 若，则此时 若则，当时；当且时 ，即，解得或，， 由若可知有或或 （2）若集合的非空真子集有6个，则，可得， 即中的元素只有3个，又 由（1）知，且且即且且 故实数的取值所构成的集合为 6．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系列式求解即可； （2）分和两种情况，结合交集运算列式求解即可； 【详解】（1）因为，则， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则 ，解得； 综上所述：实数的取值范围是或. （2）因为， 当时，由（1）知； 当时，可得或，解得或； 综上所述：实数的取值范围是或. 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解； 【详解】（1）解：由集合，且 因为，可分和两种情况进行讨论： 当时，可得，解得，此时满足； 当，因为，则满足或，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由集合，且, 因为，可分和两种情况进行讨论： 当时，可得，解得，此时满足； 当，因为，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 8．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，集合，且， (1)求实数，的值. (2)设集合. ①若 ，求正数的最小值； ②若，且中只含有两个正整数元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①3；② 【分析】（1）由集合的关系得函数的定义域，结合一元二次不等式可求得参数值； （2）①根据集合的包含关系求解；②由中只含有两个正整数元素，得出关于的不等式，解之可得． 【详解】（1）由题意集合，且，， 所以或， 所以不等式的解为或， 因此； （2）①若 ，由（1）知或， (i)，即时，，满足题意； (ii) ，即时，由题意或， 又，因此解得， 综上，的取值范围是，最小值是3； ②若，则不是的子集，因此有，所以， 中只含有两个正整数元素， 所以中仅有的两个正整数是1，5或5，6， 两个正整数是1，5，则，解得， 两个正整数是5，6，则，解得， 综上，的取值范围是． 9．（24-25高一上·天津·阶段练习）集合，，，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值集合； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先化简集合，再利用子集的定义列举出其所有子集，从而得解； （2）由得到，再分和两种情况讨论即可得解； （3）由，分和两种情况，列出不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为集合， 所以集合的所有子集为. （2）因为，所以， 又，， 当时，无解，即集合，满足； 当时，， 由，则或，解得或； 综上，实数的取值集合. （3）因为，，， 当时，，解得； 当时，或，解得或； 综上，或. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 【经典计算题八 根据补集运算确定集合或参数】 1．（2024高一·全国·课后作业）已知全集，集合，求. 【答案】答案见解析 【分析】由补集的定义，对集合分和两种情况讨论，即可求解 【详解】依题意，当时，关于的方程无实数根，此时，即， 所以. 当时，关于的方程的两个实根，在内，由于，所以只可能是以下两种情形： ①当时，，即， 此时，； ②当，时，，即， 此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 2．（2024高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）2；（2），或． 【分析】（1）结合交集的定义和分析可得，求解即可； （2）由题可知，或，再由可知，由此得出满足题意的不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以，所以； （2），或，由已知可得，所以或，所以或， 故实数m的取值范围为，或． 【点睛】本题考查集合之间的基本关系，考查根据补集运算确定集合或参数，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题. 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，其中． (1)若，求，的值； (2)若对，有，求，的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2)或或或 【分析】（1）解得：，或，若，则，将代入可得答案； （2）若对，有，则集合，分和讨论满足条件的，的值，综合讨论结果，可得答案． 【详解】（1）解：集合， ，其中． 解得：或．           若，则，           将代入得：，           则． 则，则， 当时，，解得， 综上，，或，． （2）解: 若对，有，则， 当时，，，，，           或时，，，；           当，即，或时，则，由（1）得：，；         当时，即时，，对，故成立，           综上，或或或． 4．（22-23高一上·湖北宜昌·期中）已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先化简集合，得到，根据可得到的值，并用进行检验即可； （2）分和两种情况进行分类讨论，即可得到答案 【详解】（1）由题意，，所以， 若，则或，解得或， 又，所以； （2）因为， 当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意； 当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意， 综上所述， 5．（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据补集的定义得出关于a的方程，分类讨论两种情况：且或且，对每一种情况求解a的值，并且代入集合中进行验证得解. 【详解】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 7．（2025高一上·江西·阶段练习）已知全集 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中有四个元素，求和的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）若，则，根据一元二次方程根的关系即可求的取值范围； （2）若中有四个元素，则等价为为单元素集合，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：全集，， 由知，，即方程无解， ，， 判别式，即或， 由得； 由得； 同理，由3、4、5不是方程的根，依次可得，，； 综上可得所求范围是，且，，，； （2）解：中有四个元素，为单元素集合，由， 解得， 当时，方程化为，解得，所以，满足条件； 当时，方程化为，解得，所以，不满足条件； 综上知，，，． 8．（2025高一上·安徽芜湖·期中）设集合，，. （1）设全集，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 ；（2）. 【分析】（1）根据交集、补集的概念，由题中条件，直接计算，即可得出结果； （2）根据交集不为空集，由题中条件，可直接得出结果． 【详解】解：（1）因为，， 所以，， 所以或． （2）因为，， 所以，即a的取值范围是． 9．（2024高一上·浙江湖州·期中）设集合，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）求出集合，利用补集运算即可得结果. （2）由得，计算即可得出结果. 【详解】（1）， 所以或 （2）由，，，   得 ，所以， 【点睛】本题考查了集合的交并补运算，考查了集合的包含关系. 10．（2023高一·全国·课后作业）已知A={0，2，4，6}，，，用列举法写出集合B． 【答案】 【解析】由题意结合集合及其补集的关系可得，再由即可得解. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以. 【点睛】本题考查了集合及其补集之间关系的应用，考查了运算求解能力. 【经典计算题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 1．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，． (1)求； (2)若集合，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合，由交并补混合运算即可； （2）由条件分别判断0，1是否属于集合即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以． （2）由，又，得， 由，得， 所以． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴2是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴，而， ∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴． 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 4．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）即方程只有一个实数根，由判别式等于0可得答案； （2）由题可得，据此可得及集合B，后由题意可得答案. 【详解】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   5．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 6．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 7．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设集合， (1)若集合A为，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，将问题转化为方程无实根，从而得解； （2）由得，从而利用待定系数法即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以方程无实根，即， 解得或， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 又因为，， 所以，解得， 当时，， 所以. 8．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，对集合B分类讨论，求解. 【详解】（1）. 当时，. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或或或或 . 【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件； （2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围. 【详解】由题意， （1）由可知，， 即是方程的解， 所以， 即，解得：或， 当时，则，解得， 此时，满足， 当时，则，解得， 此时，满足. 所以实数的值是或； （2） ， 所以 ， 对于方程， ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需且， 将2代入方程得，解得或， 将代入方程得，解得， 所以且且， 综上可知，的取值范围是： 或或或或 10．（23-24高一·全国·单元测试）（1）设集合U＝R，集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{x|x2+（m+1）x+m＝0}，若（∁∪A）∩B＝∅，求实数m的值． （2）设集合A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a+2}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【答案】（1）m＝1或2；（2）a＜2或a＞2． 【分析】（1）求出集合A，B的元素，根据集合关系进行求解即可． （2）讨论集合B＝和B≠，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵A＝{x|x2+3x+2＝0}＝{﹣1，﹣2}， 由x2+（m+1）x+m＝0得：x＝﹣1或x＝﹣m． ∵（∁UA）∩B＝， ∴集合B中只能有元素﹣1或﹣2， ∴m＝1或2． （2）A＝{x|x+1≤0或x﹣4≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥4}， 若B＝∅，即2a＞a+2，即a＞2时，满足条件A∩B＝， 若B≠∅，即2a≤a+2，即a≤2时，若满足条件A∩B＝， 则，即， 解得a＜2． 综上a＜2或a＞2． 学科网（北京）股份有限公司 $$