13.3.2三角形的外角（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.3.2三角形的外角（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1.三角形外角的概念 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 如图所示，在ABC中，是ABC的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 【题型1三角形外角的概念辨析】 例1．如图，下列各角是的外角的是（   ） A． B． C． D． 解题通法 根据定义判断：三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角. 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角. 根据定义判断图中哪个角是的外角即可. 【详解】解：∵图中只有是由过线段的延长线与组成的角，符合三角形外角的定义， ∴是的外角. 故选： D． 【变式1-1】．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（　　） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF 【答案】D 【分析】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 【详解】解：△ABD的一个外角是∠BDF， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外角，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式1-2】．如图， 是的外角，以为外角的三角形有 个，它们是 ． 【答案】 2 和 【分析】本题考查三角形的外角的定义，根据“三角形的一边的延长线与另一边形成的夹角是三角形的外角”求解即可． 【详解】观察图形可得：是的外角， 以为外角的三角形有和，共2个， 故答案为：，2，和． 【变式1-3】．如图，已知，的一个外角是 ，它的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：的一个外角是，它的度数为． 故答案为：，． 知识点2.三角形外角的性质 （1）三角形内角和定理的推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. （2）三角形内角和定理的推论2：三角形的外角和等于360°. （3）三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 如图，在 △ABC 中，∠ACD、∠CBF、∠BAE分别是△ABC的外角，则有： ① ∠ACD=∠CBA+∠CAB ∠CBF=∠ACB+∠CAB ∠BAE=∠CBA+∠ACB ② ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. ③ ∠ACD>∠CBA, ∠ACD>∠CAB；∠CBF>∠CAB, ∠CBF>∠ACB；∠BAE>∠ACB, ∠BAE>∠CBA. 【题型2根据三角形外角的性质求角的度数】 例2．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解题通法 ①图型中确定所求角度与已知角度之间的关系 ②利用三角形外角性质推理计算 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和. 根据外角求得的度数，再根据外角即可求解度数. 【详解】解： 故选：A ． 【变式2-1】．如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是关键． 如图：延长交于F，再根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图：延长交于F， ∵， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】．如图，在中，是的平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线有关的计算，三角形内角和，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据三角形外角性质得，因为是的平分线，所以，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式2-3】．如图，为边上的一点，，且，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和是和三角形外角的性质是解答此题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据已知条件，，可得，求出，进而得出结论． 【详解】解：，，， ， ，解得， ． 【题型3利用三角形外角的性质解决平行线中的问题】 例3．如图，，，．求的度数． 解题通法 根据平行线性质寻找相等角，再利用三角形外角推理计算 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质以及三角形外角的性质，掌握平行线性质和三角形外角的性质是解题的关键. 根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角的性质即可解答. 【详解】解：如图，延长交于点M． ， ， ． 又， ． 【变式3-1】．如图，，CF平分，GE平分交FC的延长线于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长交于点，先根据角平分线的定义可设，，则，，整理可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长交于点． 由题意设，． 则有． ①②，得． ， ． ， ． 【变式3-2】．如图，，与相交于点O，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质推出，再利用三角形外角的性质结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴． 【变式3-3】．如图，已知，，你能说明吗？ 【答案】能说明，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角定理是解题的关键． 先由平行得到，再由三角形的外角定理得到，等量代换即可求解． 【详解】解：能说明，理由如下： ∵，， ∴， ∵ ∴． 【题型4利用三角形外角的性质解决角平分线中的问题】 例4．在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 解题通法 根据三角形的角平分线的定义，利用三角形外角性质推理计算 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，外角的性质，高线，直角三角形两锐角互余的性质．根据高线可得的度数，再根据三角形的外角求得的度数，进而根据角平分线得到，即可求出的度数即可． 【详解】解：是的高，， , , , 又是的角平分线， , , ． 【变式4-1】．在中，已知是角平分线，，． (1)求，的度数； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求得，进而根据三角形的外角的性质，求得； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵ ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵ ． 【变式4-2】．如图，在中，的平分线交于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形角的相关知识是解题的关键． 先根据，，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质，求出即可． 【详解】解：∵，． ． ∵是的平分线， ， ∴． 【变式4-3】．如图，在中，的平分线和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和，角平分线的定义，三角形的外角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键．先求出，再根据平分，平分，得到，继而求出，由，得到，即可解答． 【详解】解： ， ， 平分，平分， ， ， ， ． 【题型5 根据三角形外角的性质解决折叠中的问题】 例5．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 解题通法 利用折叠的性质找出相等角，根据三角形外角性质计算 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】．如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可求出，结合折叠的性质可得出，即可求解． 【详解】解∶如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-2】．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识进行倒角，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ． 故答案为：． 【变式5-3】．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线性质、折叠性质、外角性质等知识，熟练掌握三角形中求角度的方法是解决问题的关键．先由平行线得到，再由折叠性质得到，从而求出，再由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：． 【题型6根据三角形外角的性质求三角板中角的度数】 例6．如图，，将两副三角板放置在和之间，点在上，点在上，点，，在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解题通法 利用三角形的外角性质，结合三角板中角的度数计算 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交于P，再结合平行线的性质和三角形的外角性质即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于P， ， ， ， ． 故选：C． 【变式6-1】．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算、三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质，并能得出有关的等式．由三角形的外角性质和三角形内角和定理，即可计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-2】．将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【详解】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 【变式6-3】．如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，图中的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，如图可得，然后将角的度数代入计算即可．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵如图是由两个直角三角板摆放得到的图形， ∴， ∴， 即图中的度数为． 故答案为：． 【题型7与三角形外角的性质有关的新定义问题】 例7．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 解题通法 正确理解新定义所满足的条件或性质，结合三角形外角性质计算或证明 答案】（），不是；（）说明见解析；（）或 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式7-1】．定义：有一组对角之差为90°的四边形为美好四边形． (1)如图①，△ABC中，∠A＝2∠C，点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，求证：四边形DBCE为美好四边形； (2)请在图②，图③中分别画一个以AB为边且顶点在格点的美好四边形ABCD； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，则，而，故，即可求解； （2）依据题意，画图即可； （3）证明，则，即，而，故，即可求解． 【详解】（1）设，则， ，故， 即， 故， 四边形为美好四边形； （2）依据题意，图形见图图4（答案不唯一）， 【点睛】本题考查了三角形的内心、、三角形外角知识、新定义等，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式7-2】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 1. 辨易错 1. 定义理解易将三角形内角或内角的补角误认为外角出错 1．下图中（    ）是的外角． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角来解答． 【详解】解：的外角是， 不是的外角， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的外角，解题的关键是熟知三角形外角的概念（三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角来解答）． 2．如图，△CEF的外角为 ． 【答案】∠AFC，∠BEF 【分析】根据三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角来解答 【解析】△CEF的外角为∠AFC，∠BEF 2. 性质应用中将“不相邻”条件忽略出错 3．如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，解题的关键是通过角之间的关系逐步推导，利用直角三角形两锐角互余求出目标角的度数． （1）先求，再得；利用外角性质求；结合，由直角三角形互余关系求． （2）用和内角和表示，同（1）的推导逻辑求． 【详解】（1）∵在中，， ∴ ∵ 是角平分线 ∴ ∵ 是 的外角 ∴ ∵ ∴ ∴ （2）设，则 ∵ ∴ ∵ 是角平分线 ∴ ∵ ∵ ∴ 4．在中，是高，是角平分线，已知，，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义．分点E在线段上和点E在线段上，两种情况讨论，利用三角形的外角性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，当点E在线段上时， ∵为的外角， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 如图，当点E在线段上时， 在中，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 二、综合应用 【题型8三角形外角的性质与内角和的综合求值】 例8．如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，还涉及三角形的内角和定理以及角平分线的定义． 根据三角形外角的性质得到．利用角平分线的定义得到，利用三角形的内角和得出；根据三角形外角的性质得到． 【详解】解：，， ． 平分， ， ． ， ． 又， ． 【变式8-1】．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ， 由三角形外角性质可知：， ， 是的一个外角， ； （3）解：，理由如下： 平分，平分， ， ， 由三角形内角和可知：， ． 【题型9三角形外角性质的综合证明】 例9．如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． (1)求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数； （2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定． 【详解】（1）解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-1】．如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质即可证出； （2）利用“两直线平行，内错角相等”，可得出，结合角平分线定义、三角形内角和定理求出，，再根据角的和差及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【题型10与三角形外角性质有关的实际综合应用】 例10．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 本题根据三角形的外角性质，得到，然后即可求解． 【详解】解：根据三角形外角性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】．超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】通过作辅助线 ，利用平行线的传递性得到 ，再结合平行线的性质和已知垂直条件，求出的度数．本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等；平行线间的传递性等 ）是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ，即， 故答案为：． 例11．综合与实践 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．如图2，小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体．镜子与形成．他发现改变的大小，入射光线和反射光线的位置关系会发生改变． 【初步探究】（1）当______时，入射光线与反射光线是平行的，并说明理由． 【深入探究】（2）如图3，设，入射光线与反射光线的夹角．若，探索与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射后的光线与入射光线平行时，请直接写出x的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其外角性质，列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）先利用三角形的内角和定理得到，再根据反射原理和平角定义得到，进而理由平行线的判定可得答案； （2）在中，由三角形的内角和定理可得，根据反射原理和对顶角相等可得，，在中，由三角形的内角和定理可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】解：当时，．理由如下： 如图，在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2），理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）或．理由如下： ①当时，如图所示：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，由（2）知，，与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：x的度数为或． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角的性质得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答． 【详解】解：延长，交于点M，如图 ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，直线，的直角顶点在直线上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由平行结合三角形的外角得到，求出的度数，再由直角三角形锐角互余求出． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质（互补角）、三角形外角性质，解题关键是利用平行线求出．根据平行线先求出，再借助三角形外角与内角的关系计算即可． 【详解】解：如图，， ， ， ， 故选：B． 5．如图，，，点D在边上，，和相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由三角形外角的性质可得，再结合求解即可． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 故选：B． 6．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线性质、三角形外角性质等知识，熟记平行线性质及三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键． 由，根据两直线平行内错角相等得到，在中，是的一个外角，代值求解即可得到答案， 【详解】 解：， ， 在中，是的一个外角，则， ∵， ， 故选：C． 7．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的角平分线和高线有关的角度计算，先根据三角形内角和求出，再根据角平分线和高线求出和，最后根据三角形外角求． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性． 根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立． 【详解】解：已知在中，，故． ∵平分，平分， ， ． 选项∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴， ∴ ，A正确． 选项∵，， ∴（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即． ∴． 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，B正确． 选项C：在中， ． ∵与是对顶角， ∴，C错误． 选项是的外角，则． ， ，D正确． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在中，，外角，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据图示，由三角形的外角性质得到即可． 【详解】解：， , 故答案为：． 10．如图，已知，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质定理． 延长交于点，利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， , 故答案为：． 11．如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：∵是中的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 12．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义知识，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键．根据角平分线定义求出，根据三角形的外角性质得出，即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴． 15．如图，在中，①，②，③，④， (1)从以上四个条件中选三个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：________； 结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)条件：①，②，③； 结论：④． (2) 【分析】本题考查三角形的外角，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，继而可求出，即可解答； （2）根据三角形的内角和为，可推导出，求出，再由，即可解答． 【详解】（1）解：条件：①，②，③； 结论：④． 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 解得， ∴． 答：的度数． 16．如图，在中，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和定理与三角形的外角性质并灵活运用．利用三角形的外角性质可得，由三角形的内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：，， ． ， 即， 解得． 故的度数是． 17．如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系．先由三角形内角与外角的关系可求，再根据三角形的内角和可求，最后由直角三角形可求． 【详解】解：∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴； ∵是高， ∴， ∴． 18．如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由得，，即得，再根据三角形外角性质解答即可求解； 本题考查了邻补角的性质，平行线的判定，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴，， ， ， ， ． 19．【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： （2）由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； 20．在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题意，得，，根据，得，结合已知解答即可； ②根据①得，结合，等量代换解答即可； ③根据①得，结合，等量代换解答即可； （2）分点在线段上和射线上运动，两种情况解答即可． 本题考查了三角形外角性质，角的平分线，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，分类思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）（1）①∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：50． ②解：根据①得， ∵， ∴， 当， 则； 故答案为：55． ③解：根据①得， ∵， ∴， 故与之间的数量关系． （2）解：当点在线段上运动时，如图， ∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． 设直线与的交点为M， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在射线上运动时，如图， 设的交点为， ∵平分，的角平分线所在直线与射线交于点． ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.3.2三角形的外角（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1.三角形外角的概念 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 如图所示，在ABC中，是ABC的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 【题型1三角形外角的概念辨析】 例1．如图，下列各角是的外角的是（   ） A． B． C． D． 解题通法 根据定义判断：三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角. 【变式1-1】．如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是（　　） A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF 【变式1-2】．如图， 是的外角，以为外角的三角形有 个，它们是 ． 【变式1-3】．如图，已知，的一个外角是 ，它的度数为 ． 知识点2.三角形外角的性质 （1）三角形内角和定理的推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. （2）三角形内角和定理的推论2：三角形的外角和等于360°. （3）三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 如图，在 △ABC 中，∠ACD、∠CBF、∠BAE分别是△ABC的外角，则有： ① ∠ACD=∠CBA+∠CAB ∠CBF=∠ACB+∠CAB ∠BAE=∠CBA+∠ACB ② ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. ③ ∠ACD>∠CBA, ∠ACD>∠CAB；∠CBF>∠CAB, ∠CBF>∠ACB；∠BAE>∠ACB, ∠BAE>∠CBA. 【题型2根据三角形外角的性质求角的度数】 例2．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解题通法 ①图型中确定所求角度与已知角度之间的关系 ②利用三角形外角性质推理计算 【变式2-1】．如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 【变式2-2】．如图，在中，是的平分线，，，求的度数． 【变式2-3】．如图，为边上的一点，，且，求的度数． 【题型3利用三角形外角的性质解决平行线中的问题】 例3．如图，，，．求的度数． 解题通法 根据平行线性质寻找相等角，再利用三角形外角推理计算 【变式3-1】．如图，，CF平分，GE平分交FC的延长线于点E．若，求的度数． 【变式3-2】．如图，，与相交于点O，．求的度数． 【变式3-3】．如图，已知，，你能说明吗？ 【题型4利用三角形外角的性质解决角平分线中的问题】 例4．在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 解题通法 根据三角形的角平分线的定义，利用三角形外角性质推理计算 【变式4-1】．在中，已知是角平分线，，． (1)求，的度数； (2)若于点，求的度数． 【变式4-2】．如图，在中，的平分线交于点．求的度数． 【变式4-3】．如图，在中，的平分线和的平分线相交于点F，，求的度数． 【题型5 根据三角形外角的性质解决折叠中的问题】 例5．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 解题通法 利用折叠的性质找出相等角，根据三角形外角性质计算 【变式5-1】．如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式5-2】．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为 ． 【变式5-3】．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度． 【题型6根据三角形外角的性质求三角板中角的度数】 例6．如图，，将两副三角板放置在和之间，点在上，点在上，点，，在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解题通法 利用三角形的外角性质，结合三角板中角的度数计算 【变式6-1】．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】．将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 【变式6-3】．如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，图中的度数为 ． 【题型7与三角形外角的性质有关的新定义问题】 例7．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 解题通法 正确理解新定义所满足的条件或性质，结合三角形外角性质计算或证明 【变式7-1】．定义：有一组对角之差为90°的四边形为美好四边形． (1)如图①，△ABC中，∠A＝2∠C，点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，求证：四边形DBCE为美好四边形； (2)请在图②，图③中分别画一个以AB为边且顶点在格点的美好四边形ABCD； 【变式7-2】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 1. 辨易错 1. 定义理解易将三角形内角或内角的补角误认为外角出错 1．下图中（    ）是的外角． A． B． C． D． 2．如图，△CEF的外角为 ． 2. 性质应用中将“不相邻”条件忽略出错 3．如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 4．在中，是高，是角平分线，已知，，求的度数． 二、综合应用 【题型8三角形外角的性质与内角和的综合求值】 例8．如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 【变式8-1】．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？ 【题型9三角形外角性质的综合证明】 例9．如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． (1)求的度数． (2)若，求证：． 【变式9-1】．如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 【题型10与三角形外角性质有关的实际综合应用】 例10．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则 ． 【变式10-1】．超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ． 例11．综合与实践 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．如图2，小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体．镜子与形成．他发现改变的大小，入射光线和反射光线的位置关系会发生改变． 【初步探究】（1）当______时，入射光线与反射光线是平行的，并说明理由． 【深入探究】（2）如图3，设，入射光线与反射光线的夹角．若，探索与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射后的光线与入射光线平行时，请直接写出x的度数．（可用含有m的代数式表示） 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，的直角顶点在直线上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，点D在边上，，和相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在中，，外角，则 ． 10．如图，已知，则 ． 11．如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为 ． 12．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 13．如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，平分，，，求的度数． 15．如图，在中，①，②，③，④， (1)从以上四个条件中选三个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明． 条件：________； 结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 16．如图，在中，，，，求的度数． 17．如图，在中，是的平分线，是边上的高，且，，求和的度数． 18．如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 19．【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 20．在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$