13.2.2 三角形的中线、高、角平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.2.2 三角形的中线、高、角平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图2，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图2 图3 要点诠释： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 【题型1 根据三角形中线求长度】 例1．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 解题通法： ①根据中线定义找出相等线段 ②根据题意找到线段之间的关系； ③由相等和差得出结论 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【变式1-1】．如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若，且与的周长差为6，求、的长． 【变式1-2】．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【变式1-3】．如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【题型2 根据三角形中线求面积】 例2．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 解题通法 ①由三角形中线的性质：中线分三角形面积相等的两部分确定线段之间的关系。 ②由三角形面积公式结合中线性质求面积。 【变式2-1】．如图，是的中线，是的中线，于点，若，，求的长． 【变式2-2】．三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 【变式2-3】．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【题型3 三角形的重心】 例3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 解题通法： 重心是三角形中线的交点，作出三角形的两边中线即可。 【变式3-1】．在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【变式3-2】．如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 【变式3-3】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 知识点2 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 【题型4 画三角形的高】 例4．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 解题通法： 从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可。 【变式4-1】．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B．C． D． 【变式4-3】．如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【题型5 与三角形高有关计算】 例5．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 解题通法 等面积法列方程求线段长度 【变式5-1】．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 【变式5-2】．如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【变式5-3】．如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 知识点3 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 要点诠释： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 【题型6 三角形角平分线】 例6．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 解题通法： 正确辨析三角形的中线、角平分线、高是解题关键。 【变式6-1】．三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【变式6-2】．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】．如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 一、辨易错 1.高线定义混淆  例7．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 2.中线与角平分线性质误用  例8．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【变式8-1】．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、综合应用 例9．已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标． 【变式9-1】．在中，，它的周长为，中线将分成的两个小三角形周长的差为，求各边的长． 例10．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式10-1】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为线段的中点． (1)求证：（表示三角形的面积，下同）； (2)点从原点出发以每秒2个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，若，求的取值范围； (3)平移线段到线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解（，分别为点的横坐标与纵坐标），求． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 3．如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．如图，在中，为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 6．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断： ①线段是的角平分线； ②与的面积相等： ③线段是的边上的高； ④线段是的边上的中线． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 10．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为 ． 11．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 12．如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 13．如图，三角形的面积为16，与交于点E，且，，图中阴影部分的面积和 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    15．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 16．如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 17．如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 18．如图，已知于点，点在的延长线上，于点 ，交于点，，求证：平分． 证明：∵，（已知）， ∴（_____________）． ∴（_____________）． ∴_________（_____________）， ___________（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（_____________）． ∴平分（_____________）． 19．阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 20．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版八年级数学上大单元分层优化练 13.2.2 三角形的中线、高、角平分线（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图2，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图2 图3 要点诠释： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 【题型1 根据三角形中线求长度】 例1．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 解题通法： ①根据中线定义找出相等线段 ②根据题意找到线段之间的关系； ③由相等和差得出结论 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【变式1-1】．如图，已知． (1)利用尺规作图作出的边上的中线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若，且与的周长差为6，求、的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图，尺规作图，作垂线．掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点D，连接，即为所求； （2）设，，由是的中线，得到，根据与的周长差为6，列方程即可得到结论． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵， ∴设，， ∵是的中线， ∴， ∵与的周长差为6， ∴ ， ∴， ∴， ∴，． 【变式1-2】．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 【变式1-3】．如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 【题型2 根据三角形中线求面积】 例2．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 解题通法 ①由三角形中线的性质：中线分三角形面积相等的两部分确定线段之间的关系。 ②由三角形面积公式结合中线性质求面积。 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）D是的中点，得，于是，结合，即可得证； （2）根据题意，结合． 本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由，， 得， 故． 【变式2-1】．如图，是的中线，是的中线，于点，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵于点，， ∴， 解得． 【变式2-2】．三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形面积公式同底等高面积相等即可，在三角形中分别找到对应边的中点，再与相对点连接，形成三角形，如此每个三角形均为上一次三角形面积的一半． 【详解】解：如图， 【变式2-3】．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 【题型3 三角形的重心】 例3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 解题通法： 重心是三角形中线的交点，作出三角形的两边中线即可。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 【变式3-1】．在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【答案】A 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：连接，   是等边三角形，是的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长， 当、、在同一直线上时， 的周长最小， 为中线， 点为的重心， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【变式3-2】．如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 【答案】C 【分析】根据重心的定义：三角形三边中线的交点，即可求解. 【详解】解：根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心 故选C. 【点睛】本题主要考查了重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握重心的定义. 【变式3-3】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【分析】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：的重心O如图所示； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 知识点2 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 【题型4 画三角形的高】 例4．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 解题通法： 从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可。 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意， 故选：D． 【变式4-2】．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式4-3】．如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 【题型5 与三角形高有关计算】 例5．如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 解题通法 等面积法列方程求线段长度 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 【变式5-1】．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式及三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 故答案为：，； （2）解：是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是的中线， ， 故答案为：，． 【变式5-2】．如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 【变式5-3】．如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 知识点3 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .A B D C 要点诠释： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 【题型6 三角形角平分线】 例6．如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 解题通法： 正确辨析三角形的中线、角平分线、高是解题关键。 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确， ∵是的高， ∴，故B选项正确， ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， ∵是中线，不是角平分线， ∴无法得出，故C选项无法得出， 故选：C 【变式6-1】．三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 【变式6-2】．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 【变式6-3】．如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故选项A，B，C正确，选项D错误． 故选：D． 一、辨易错 1.高线定义混淆  例7．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 【变式7-1】．如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 2.中线与角平分线性质误用  例8．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 【变式8-1】．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 无法证明，故C错误． 故选：C． 二、综合应用 例9．已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，熟知三角形面积公式是解题的关键； 首先根据面积求得、OB的长，最后求得的长．然后写出坐标即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为原点， ∴，，． 【变式9-1】．在中，，它的周长为，中线将分成的两个小三角形周长的差为，求各边的长． 【答案】或 【分析】本题主要考查了中线的性质与三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用中线性质可得，设，则为，，再分和两种情况分别列式求解即可，注意要验证结果是否能够组成三角形． 【详解】解：如图： 为中线， ， 设，则为，， ①当时，即，有 ， 解得：， ， 则此时，， 能够组成三角形，符合题意； ②当时，即，有 ， 解得： ， 则此时，； 能够组成三角形，符合题意； 综上，各边长为或． 例10．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解． （1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定． （2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出． 【详解】（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【变式10-1】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为线段的中点． (1)求证：（表示三角形的面积，下同）； (2)点从原点出发以每秒2个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，若，求的取值范围； (3)平移线段到线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解（，分别为点的横坐标与纵坐标），求． 【答案】(1)详见解析 (2)或 (3)3 【分析】本题考查了三角形面积公式、平移的性质、一元一次不等式的应用、二元一次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，设点到直线的距离为，分别表示出，，判断即可得解； （2）设，由（1）得，求出，由题意得，再表示出，结合题意建立不等式求解即可； （3）设，，由平移的性质求出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵为线段的中点， ∴， 设点到直线的距离为，则， ∴； （2）解：由点，得，， ∴ 设，由（1）得， ∴， 解得，， ∴ 由题意得， ∴或， ∴或， 解得或， ∴的取值范围为或；（写也可以） （3）解：点，的坐标分别是方程，的一组解， ∴可设，， ∵线段由线段平移得到， ∴， 解得 ∴，， ∴． 达标检测 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断线段是否为的高，需依据三角形高的定义，即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．依次对每个选项进行分析，看是否满足从顶点向对边作垂线且垂足为这一条件．本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：A项，∵不垂直于 ∴线段不是的高 B项，∵不垂直于 ∴线段不是的高 C项，∵，垂足为 ∴线段是的高 D项，∵不垂直于 ∴线段不是的高 故选：． 2．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线将三角形面积分成相等的两部分，根据已知求出，由是中线可得． 【详解】解：∵，． ， ∴， ∵是中线， ∴， ∴ 故选：C． 4．如图，在中，为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中线的性质，由题意得出，进而求出结论． 【详解】解：是的中线，，且， ， ， ． 故选：B． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 6．如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 7．如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断： ①线段是的角平分线； ②与的面积相等： ③线段是的边上的高； ④线段是的边上的中线． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积和三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的定义，三角形面积公式，是解题关键． ①根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断②等底同高的两个三角形的面积相等③根据高线的定义进行判断④根据中线定义进行判断． 【详解】①∵， ∴平分． ∴是的角平分线， 故①正确； ②∵G为中点， ∴， ∴与的面积相等． 故②正确； ③∵， ∴， ∴线段是的边上的高． 故③正确； ④连接， ∵G为中点， ∴， ∴线段是的边上的中线， 故④不正确； ∴正确的个数为3． 故选：B． 8．如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质可得，，相加可得结果． 【详解】解：∵点、、、分别是、、、的中点， 是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ， 同理可得：， 四边形的面积为：． 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 根据三角形的高的定义，求解即可． 【详解】解：可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，，共条； 综上，可以作为三角形“高”的线段有：，，，，共条． 故答案为：． 10．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，进而可求，然后再次使用三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点， 同理 ∵为中点， 故答案为：2． 11．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．证明，进一步计算周长差即可. 【详解】解：如图：   是的中线， ， ∵与的周长分别为，， ①， ②， 得：， 故答案为：9． 12．如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 13．如图，三角形的面积为16，与交于点E，且，，图中阴影部分的面积和 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， 设 ， ， ，即， ， 阴影部分的面积和为6． 故答案为：6． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，连接并延长交于，根据三角形的三条高相交于一点即可作出判断．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      15．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得； （2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程①或②．解得或． 【详解】解：（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长， 又三角形的周长与四边形的周长相等，为中点， ，， 即， 又，，， ， ． （2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程 ①当时，即：，解得：， ②当时．即：，解得． 故长为或． 【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题． 16．如图，在中，是的中点，，，用剪刀从点处进行裁剪． (1)如图1，若沿将剪成两个三角形，求它们周长的差． (2)如图2，若点在上，沿将剪开，得到的两部分图形的周长差为2，求的长． 【答案】(1)4 (2)1或 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由图可得到的周长的周长，即可求解； （2）分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ， ∴的周长的周长； （2）解：设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得：； 或3． 17．如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 18．如图，已知于点，点在的延长线上，于点 ，交于点，，求证：平分． 证明：∵，（已知）， ∴（_____________）． ∴（_____________）． ∴_________（_____________）， ___________（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（_____________）． ∴平分（_____________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线的定义． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，角平分线的定义，由垂线的定义得到，则可证明得到，，进而可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴平分（角平分线的定义）． 19．阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积、转化思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由三角形的情况拓展至四边形的情况即可得解； （2）过点作交延长线于，取中点； （3）根据、两条中线，结合阅读材料中的方法，计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，思路从三角形向四边形拓展的过程中体现的是转化思想； 故选：B； （2）解：如图所示： 过点作交延长线于，则，， 即， 取中点，则平分，那么也将四边形的面积平分为面积相等的两部分； （3）解：点是的中点， . 是的中点， . 是的中点， . 20．如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ． （2）如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$