第一章 直线与圆单元测试-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

北师大版 2019 选择性必修第 1 册 《直线与圆》单元测试 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 若经过 两点的直线的倾斜角为 ,则 ( ) A. -4 B. -2 C. D. 2 2. 若直线 与圆 相离,则点 ( ) A. 在圆 外 B. 在圆 内 C. 在圆 上 D. 与圆 的位置关系不确定 3. 若直线 在 轴和 轴上的截距相等,且直线 将圆 的周长平分,则直线 的方程为 ( ) A. B. C. 或 D. 或 4. 若过定点 且斜率为 的直线与圆 在第一象限有交点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(0,5) 5. 已知 为直线 上的动点,点 满足 ,记 的轨迹为 ,则 ( ) A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线 C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线 6. 在平面直角坐标系 中,线段 的两端点 分别在 轴正半轴和 轴正半轴上滑动, 若圆 上存在点 是线段 的中点,则线段 长度的最小值为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知点 与点 关于直线 对称,与点 关于 轴对称,若过 三点的圆与 轴和直线 交于四点,则该四点顺次连接所围成的四边形的面积为 ( ) A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系 中,过 轴上的点 分别向圆 和圆 引切线,记切线长分别为 ,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知直线 ,则下列说法中正确的是( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 或 C. 若 与 相交于点(-1,0),则 D. 若 ,则 在两坐标轴上的截距相等 10. 已知圆 和圆 相交于 两点,则下列说法中正确的是 ( ) A. 圆 与圆 有两条公切线 B. 圆 与圆 关于直线 对称 C. 线段 的长为 D. 若 分别是圆 和圆 上的动点,则 的最大值为 11. 已知圆 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. 点 在圆 内 B. 若点 在圆 上,则 的最大值为 C. 若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 1,则实数 的值为 D. 若点 在直线 上,点 在圆 上, ,则 的最小值为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分 12. 经过两条直线 的交点,且直线的一个方向向量为 的直线方程为_____. 13. 若圆 与曲线 有两个公共点,则 的取值范围为_____. 14. 已知 是圆 上的两个不同的点,若 , 则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13 分) 已知 的顶点 ,点 在 轴上. (1)已知直线 过点 且在两坐标轴上的截距之和为 6,求直线 的一般式方程； (2) 若点 到直线 的距离为 ,求点 的坐标. 16.(15 分) 已知圆 的方程为 . (1) 若圆 与圆 关于直线 对称,求圆 的方程; (2) 若 ,圆 与圆 交于 两点,且 ,求圆 的方程. 17.(15 分) 如图,某市沙河湾湿地公园内有一直角梯形区域 . 相关部门欲在 处各建一个景点,将 边建成人行步道(人行步道的宽度忽略不计). (1)若分别以 为圆心的两个圆都与直线 相切,且这两个圆外切,求 两点之间的距离. (2)若 ,今欲在人行步道(线段 )上设一观景台 ,已知观景台 在过 两点的圆与线段 相切的切点处时,有最佳观赏和拍摄的效果,则观景台 设在何处时,观赏和拍摄的效果最佳? 18.(17分) 如图,已知圆 ,定直线 ,过点 的一条动直线 与直线 相交于点 ,与圆 相交于 两点, 是 的中点. (1) 当 与 垂直时,求证: 过圆心 . (2) 当 时,求直线 的方程. (3) 设 ,则 是否为定值? 若为定值,请求出 的值; 若不为定值,请说明理由. 19.(17 分) 定义: 是圆 上一点, 是圆 外一点,记 的最大值为 的最小值为 ,若 ,则称 为圆 的 “黄金点”,若 同时是圆 和圆 的 “黄金点”,则称 为圆 “ ” 的 “钻石点”. 已知圆 为圆 的 “黄金点”. (1) 求点 所在曲线的方程. ( 2 )已知圆 均为圆 “A-B” 的 “钻石点”. (i) 求直线 的方程. (ii) 若圆 是以线段 为直径的圆,直线 与圆 交于 两点,对于任意的实数 ,在 轴上存在一定点 ,使得 轴平分 ,求出点 的坐标. 1 D 由题意得 ,故 ,解得 . 故选 D. 2 B 由题意得点 到直线 的距离 ,即 ,所以点 在圆 内. 故选 B. 3 C 圆的方程可化为 ,因为直线 将圆的周长平分,所以直线 经过圆心(1, - 2). 直线 在 轴和 轴上的截距相等,则直线 的方程可设为 或 ,将(1, - 2)分别代入方程,解得 ,故直线 的方程为 或 . 圆 的方程 可化为 9,圆 与 轴正半轴交于点 ,与 轴正半轴交于点 ,如图所示. 因为过定点 且斜率为 的直线与圆 在第一象限有交点,所以 ,所以 . 设 ,则 , ,所以 ,因为点 在直线 上,所以 ,即 为一条直线, 且与直线 平行, 上的点到 的距离 . 设 . 线段 的中点为 ,则在 Rt 中, ,故点 的轨迹是以原点为圆心, 为半径的圆 在第一象限的部分,问题转化为圆 与圆 在 第一象限有公共点,所以 ,又解题关键. ,所以 解得 ,所以线段 长度的最小值为 8 . 故选 C. 7 D 方法一 设 ,因为点 与点 关于直线 对称,所以 解得 故 . 因为点 与点 关于 轴对称,所以 . 设过 三点的圆的方程为 ,则 解得 因此圆的方程为 ,即 . 由题意易知四边形为矩形,由 解得 ,故该四边形的面积为 . 方法二 因为点 与点 关于直线 0 对称,所以过 三点的圆的圆心在直线 0上,又点 与点 关于 轴对称,所以过 , 三点的圆的圆心在直线 上. 由 得 所以圆心为 ,圆的半径为 ,故圆的方程为 5. 由题意易知四边形为矩形,由 解得 ,故该四边形的面积为 . 8 D 由题知圆 的圆心为 ,半径 ,圆 的圆心为 ,半径 . 设 ,则 ,即 的最小值为 到 , 与(2,4)两点距离之和的最小值,所以当 , 三点共线时, 最小,即 的最小值为 若 ,则 ,解得 或 , A 错误; 若 ,则 ,且 ,解得 或 正确; 若 与 相交于点(-1,0),则 解得 正确; 若 ,则 ,直线 在 轴和 轴上的截距分别为 ,显然截距不相等, 错误. 10 ABD 圆 的圆心为 ,半径 , 圆 ,即 , 其圆心为 ,半径 . 对于 ,因为圆 与圆 相交,所以有两条公切线, 正确; 对于 ,两圆方程相减得 ,即直线 的方程为 ,又圆心 与圆心 关于直线 对称,且两圆半径相等,所以圆 与圆 关于直线 对称, 正确; 对于 ,结合选项 ,可知 错误; 对于 ,若 分别是圆 和圆 上的动点,则 的最大值为 正确. 11 BCD 对于 ,因为 , 所以点 在圆 外, 错误; 对于 ,圆 可化为 ,所以圆心 ,半径 ,设 ,则 ,又点 , 在圆 上,所以直线 与圆 有交点,即 ,解得 ,所以 的最大值为 , 正确；对于 ,因为圆 上恰有三个点到直线 的距离为 1,且圆 的半径为 2,所以圆心 到直线 的距离为 1,即 ,解得 正确; 对于 ,设 关于直线 的对称点为 ,则 则 ,则 ,又 的最小值为 ,所以 ,当且仅当 在线段 上时,等号成立,则 的最小值为 , D 正确. 解析 由 解得 即直线 与 的交点坐标为(1,1),又直线的一个方向向量为 ,所以直线的斜率为 ,故该直线的方程为 ,即 . 解析 圆 的圆心为坐标原点,且圆 关于 轴对称,因为 为偶函数,函数图象关于 轴对称,所以曲线 也关于 轴对称,如图所示. 的图象与圆 : 相切时, ; 当 的图象与圆 相交且只有一个交点时, . 综上,可得 的取值范围为 , . 14 [12,20] 解析 由题意知,圆 的圆心为 , 5),半径为 2,因为 , 所以 . 设 为 的中点,则 ,所以点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,轨迹方程为 . 设点 到直线 的距离分别为 ,则 ,所以 . 因为点 到直线 的距离为 ,所以 ,即 ,所以 20,所以 的取值范围为 . 15 解析 (1) 由题可知直线 在 轴上的截距均不为 0,故可设直线 的方程为 ,故 (2 分) 解得 或 (4 分) 故直线 的方程为 或 , 即 或 . (6 分) (2)设直线 的方程为 , 则 解得 (8 分) 所以直线 的方程为 ,即 , (9 分) 则点 到直线 的距离为 , 解得 或 , (12 分) 故 或 . (13 分) 16 解析 (1) 圆 的方程为 ,则圆心为 ,半径 . (2 分) 设点 关于直线 对称的点 , 则 解得 (4 分) 所以圆 的方程为 . (2)设圆 的方程为 , 两圆的方程相减即为两圆公共弦 所在直线的方程,即 (8 分) 到直线 的距离 , (10 分) 由 ,可得 ,即 2,可得 或 , (12 分) 圆 与圆 相交,则 , 所以 ,所以 或 均满足, (14 分) 所以圆 的方程为 或 . (15 分) 17 解析 (1)因为分别以 为圆心的两个圆都与直线 相切,所以这两个圆的半径分别为 和 . (2 分) 又两个圆外切,所以两个圆心 之间的距离为 , 故 两点之间的距离为 . (4 分) (2)以 为原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示. (5 分) 则 ,设 ,由 ,得 ,解得 , 所以 . (8 分) 因为观景台 在过 两点的圆与直线 相切的切点处, 所以设过 两点的圆的方程为 ,则此圆与线段 切于点 ,(10分) 将 两点的坐标代入得 解得 或 (舍去), (13 分) 所以圆的方程为 ,切点 的坐标为 (0,0), (14 分) 所以观景台 设在 处时,观赏和拍摄的效果最佳. (15 分) 18 (1) 由题意可知直线 的斜率 , 由 与 垂直,得直线 的斜率 , 所以直线 的方程为 , (2 分) 圆心 满足上述方程, 所以 过圆心 . (3 分) (2)当直线 与 轴垂直时,直线 的方程为 , 将 代入圆 的方程 中,得 , 此时 ,符合题意. (5 分) 当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为 , 连接 ,则 1, (6 分) 所以 ,解得 ,故直线 的方程为 (8 分) 综上,直线 的方程为 或 (3) ①当 的斜率不存在,即 与 轴垂直时,得 , 讨论斜率是否存在. , 则 ,此时 . (11分) ②当 的斜率存在时,设直线 的方程为 , . 由 消去 得 (12 分) 则 ,即 ,所以 . (13 分) 由 得 ,则 , , (14 分) 则 综上, 为定值 5 . (17 分) 19 解析 (1) 因为圆 的圆心为 ,半径为 ,点 为圆 的“黄金点”, 所以 ,得 , 所以点 在以 为圆心, 为半径的圆上, 故点 所在曲线的方程为 . (3 分) (2)(i) 因为圆 的圆心为 ,半径为1, 为圆 的“黄金点”, 所以 , 所以 ,即点 在圆 上,(4 分) 则 是圆 和 的交点. 因为 均为圆 “ ” 的 “钻石点” , 所以直线 为圆 和圆 的公共弦所在直线, (6 分) 两圆方程相减,得 , 故直线 的方程为 . (7 分) (ii) 圆 的圆心为 ,半径为 ,圆 的圆心为 ,半径为 3 . 直线 的方程为 , 由 得 的中点坐标为(0,0). 点 到直线 的距离为 , 则 , 所以圆 的方程为 . (10 分) 设 . 因为 轴平分 ,所以 ,即 , 整理得 . (12 分) 又 , 所以 , 整理得 . ① (14 分) 由 得 , 所以 , (15 分) 代入①,得 ,化简得 , 要使此式对任意的 都成立,只需 , 故点 的坐标为(0,3). (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 $$