1.2.1二次函数y=ax2（a＞0）的图象与性质（教学设计）-2024-2025学年九年级下册（湘教版2012）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²（a＞0）的图象与性质，通过电影《2012》末日曲线视频导入激发兴趣，类比一次函数先研究正比例函数的方法，引导学生从特殊到一般，搭建从已有函数知识到二次函数学习的支架。 以描点法作图为基础，结合几何画板演示抛物线形成过程，通过小组合作探究不同a值函数图象的共性与差异，培养学生几何直观与推理意识，例题变式巩固性质应用，助力学生用数学语言表达函数规律，提升分析解决问题能力，为教师提供可操作的教学流程与素养培养路径。

1.2.1二次函数y=ax2（a＞0）的图象与性质教学设计 湘教版九年级下册第1章第2节 作者：祁阳市梅溪镇中心学校伍飞艳 一、教材分析 （一）教材作用和地位： 《二次函数y=ax2（a＞0）的图象与性质》是湘教版数学九年级下册第1章第2节的内容.这部分内容是在学生已经掌握了一次函数、反比例函数图象与性质和二次函数的概念的基础上进行学习的，本节课的主要内容是研究当a＞0时二次函数y=ax2的图象与性质，包括开口方向、开口大小、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等，这部分内容是函数内容的继续和延伸，是对函数及其应用的深化和提高，也为后续学习更复杂的二次函数性质和高中学习其他函数奠定了基础. 同时，二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础，它与一元二次方程、不等式，三角形等知识综合在一起，是初中许多知识的总结，二次函数作为建模的重要内容，在解决有关实际问题中发挥了重要作用，通过学习二次函数的图形与性质可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力. （二）教学目标： 1.能够准确绘制出二次函数y=ax2（a＞0）的图象，能根据图象归纳并理解二次函数y=ax2（a＞0）的性质（包括二次函数的图形形状、开口方向、开口大小、顶点坐标、对称轴，增减性、最值等.） 2. 经历绘制图象、观察分析图象特征的过程，培养学生的动手操作能力、观察能力和逻辑思维能力.在探究性质的过程中，引导学生运用从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，提高学生的数学素养. 3. 在自主探究和小组合作的学习过程中，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生勇于探索、敢于创新的精神和团队协作意识.让学生感受数学之美，体会数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的自信心. （三）教学重难点： 教学重点：用描点法画二次函数y=ax2（a＞0）的图象；探索二次函数y=ax2（a＞0）的图象的性质. 教学难点：根据图象发现并归纳二次函数y=ax2（a＞0）的性质，灵活运用性质解决问题. 二、学情分析 1、心理特点：学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也迅速发展.但同时学生进入九年级之后，平时上课课堂气氛比较沉闷，学生不爱发表自己的见解，所以一方面运用视频导入引发学生的兴趣,另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上. 2、知识储备：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法,在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验,但农村中学学生数学基础不牢，在根据图象理解并归纳二次函数y=ax2（a＞0）的性质有一定困难. 3、活动经验：在学习一次函数、反比例函数过程中，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 三、教学过程 （一）视频引入，复习导新 教师播放电影《2012》片段，学生观看. 师问生答，课件展示 师：视频中的末日曲线的形状就是的二次函数的图象，大家还记得二次函数的定义吗？ 生：函数表达式是自变量的二次多项式的函数叫做二次函数. 师：二次函数的一般形式是什么？ 生：二次函数的一般形式是：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 师：一次函数的图象是什么形状？研究一次函数图象我们先研究的是哪个类型？ 生：一次函数的图象是一条直线，研究一次函数图象我们先研究的是正比例函数y=kx（k≠0） 师：那么我们研究二次函数图象与性质应该先研究哪个类型呢？ 生：y=ax2（a≠0） 师：今天我们就从最简单的二次函数y=ax2（a＞0）开始来研究它的图象与性质.（教师板书课题） 设计意图：用精彩的电影情节中的末日曲线导入新课，激发学生的学习兴趣. 类比一次函数函数图象和性质的研究方法，明确研究函数的一般方法，从特殊到一般，作为研究的起点. （二）类比作图，整体感知 师：你们还记得画函数图象的基本方法与步骤是什么吗？ 生：列表——描点——连线 师：回答得非常好！要画出二次函数y=x2的图象，该怎么画？. 自变量x的取值范围是什么？若选7个点画图,你准备怎样选？(课件展示) 请同学们在准备好的平面直角坐标系中,利用描点法画出函数y=x2的图象. (1)列表: x (2)描点:在直角坐标系中描出相应的点. (3)连线:顺次连接各点,得到二次函数y=x2的图象. 生：学生思考回答问题后,独立完成画图,小组内交流答案 师：投影展示学生答案，提问：有的同学用直线连接，有的用曲线连接，那二次函数的图象到底是怎样的呢？不知道同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了,不妨取更多的点试试，一起来看老师几何画板演示，当点越取越多的时候，图象变成了一条光滑的曲线，这条曲线就是二次函数的图象，我们把它叫做抛物线.（板书：二次函数的图象是抛物线） 师：请同学们观察一下二次函数的图象是轴对称图形吗？你有什么启发？ 生：是轴对称图形，启发：作图时先画y轴的一边，再根据对称性画另一边. 师：请同学们以小组为单位，在坐标纸上分别画出下列二次函数的图象，第一二三组同学画y=2x2的图象， 第四五六组同学画 y=x2 的图象（给每组学生三分钟时间） 生：自主作图 师：投影展示学生答案，并请学生互评. 设计意图:通过学生动手操作画函数图象的过程,有利于学生掌握画二次函数图象时选点的技巧,进一步了解用描点的方法画图象的基本步骤,教师用几何画板作图展示，可以让学生直观感受二次函数的图象是一条光滑的曲线，学生分组作图加深了对二次函数图形的理解，学生互评，提高了学生的表达能力与辨别能力，为进一步研究二次函数的性质奠定了基础. （三）合作探究，归纳性质 利用几何画板在同一平面直角坐标系中展示二次函数 的图象. 师：请同学们观察上面函数图象，根据以下提示小组讨论找出他们的相同点： ①图象的开口方向是怎样的？ ②图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ ③当x＜0时，y随x的增大怎样变化？当x大于0时呢？ ④当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？ ⑤图形的对称轴是什么？ 生：小组讨论 师：时间到，请各小组派代表展示答案： 生：都是开口向上的；图象与x轴有交点，交点坐标为（0,0）（教师补充：图象与x轴交点坐标叫做顶点坐标）；在对称轴左侧，y随x增大而减小（教师补充：简称为“左降”），在对称轴右侧，y随x增大而增大（教师补充：简称为“右升”）；当x=0时，y取得最小值为0；都是轴对称图形，对称轴为y轴. 师：同学们观察得特别仔细，那这几个函数图象最大的不同在哪里？ 生：开口大小不一样 师：大家认为谁影响二次函数图象的开口大小？ 生：a 师：a 值越大，开口怎么样？a 值越小呢？ 生：当a＞0时，a越大，开口越小. 师：对的，请同学们在导学案上填表 （老师板书二次函数性质） 设计意图:小组合作探究二次函数的性质，使学生体会从特殊到一般的研究方法,领悟数形结合思想在探究函数图象中的应用,培养学生团队协作意识、归纳总结能力和分析问题的能力. （4） 例题讲解，理解新知 例1：已知关于x的二次函数y =(n+4)x2的图象开口向上，求n的取值范围. 变式：已知关于x的二次函数y =(n+4)x2的最小值为0，求n的取值范围. 例2：若抛物线 ，过点 （－1，5） (1)则a的值是 ； (2)对称轴是 , 开口 ； (3) 与对称轴的交点是 ，该点是图象上的最 值； (4) 若A（x1 ，y1）、B（x2 ，y2）在这条抛物线上，且x1＜x2＜ 0 ， 则y1 y2. 设计意图：例题1与变式旨在帮助学生建立a与函数图象性质的联系，体会数与形的内部关系.例2整合了本节课所学的二次函数y=ax2（a＞0）的性质，帮助学生提高应用所学知识解决问题的能力. （五）巩固检测，效果反馈 1.二次函数 的图象一定经过 ( ) A.第一、 二象限 B.第三、 四象限 C.第一、 三象限 D.第二、 四象限 2.如右上图，观察函数 的图象，则k的取值范围是 3. 已知点(-3，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在函数y=x2的图象上，试写出y1、y2、y3的大小. 4.关于函数 y=（m2+1）x2的性质的叙述，错误的是( ) A.对称轴是y轴 B.顶点是原点 C.y有最大值 D.当x＞0时, y随x的增大而增大 5.已知 a＞0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( ) 设计意图：通过学生自主做题，检测当堂教学效果，既巩固了新知，锻炼了学生的解题能力，又为教师下阶段的教学提供理论依据. （六）课堂小结，梳理性质 师：这节课你有什么收获与困惑？请同学们畅所欲言. 生：举手回答，谈自己这节课的感受. 设计意图：在归纳总结本节课所学知识时，鼓励学生真诚地表达自己的感受，不仅强化了学生对知识的记忆，还锻炼了的达能力，使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，为后面学习二次函数的图象与性质做铺垫. （七）作业设计 基础性作业：教材P7练习1、2题 探究性作业：类比函数y=x2的研究过程，画出函数y=-x2的图象并填写下表 思考：函数y=x2与函数y=-x2图象有什么关系？以及有哪些异同点？ 实践性作业：请细心观察生活，列举一些实际生活中的应用抛物线的场景. 设计意图：为了使得作业更加贴近学情，让不同水平的学生都获得不同的发展，设计了分层作业并新增与下节课相关联的探究性作业，让学生学会自主学习，实践作业增强作业的实效性、趣味性、拓展性，同时又落实了“双减”政策，让学生真切感受到数学来源于生活又服务于生活，可以提高学生的应用意识. （八）板书设计 课题：1.2.1二次函数y=ax2（a＞0）的图象与性质 教师板演区 例题 学生展示区 1、 二次函数的图象是一条抛物线 2、 二次函数y=ax2（a＞0）的性质： 开口方向：开口向上 对称轴：y轴 顶点坐标：（0,0） 增减性：在y轴左侧，y随x的增大而减少（左降） 在y轴右侧，y随x的增大而减少（右升） 最值：当x=0时，y取得最小值，y=0 教学反思： 本节课从回顾一次函数的图象及画法，逐步推广到二次函数的研究过程中，类比画一次函数图象的过程，引导学生经历列表、描点、连线三个步骤，画出二次函数y=x2，y=2x2， y=x2的图象，然后学生根据图象自主探究，得出了二次函数y=ax2（a＞0）的图象及性质，渗透了从特殊到一般的思想. 本节课在探究二次函数的图象和性质的过程中，本着知识问题化，问题活动化的原则，教师先提出问题，鼓励学生进行自主探究，合作交流得出结论，并通过小组讨论和展示评价的方式修正完善结论，提高了学生的学习积极性，体现了以学生为主体，教师为主导的教学. 通过本节课的学习，学生对于二次函数的研究方法、研究内容和研究意义有了更深的理解，为后续展开进一步的探究学习打下了良好的基础. 学科网（北京）股份有限公司 $$