【第二十五章 概率初步 01讲 随机事件与概率】【三大知识点+七大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十五章 概率初步 01讲 随机事件与概率 题型归纳 【题型1. 随机事件与必然事件的辨别】…………………………………………… 3 【题型2. 事件发生的可能性】……………………………………………………… 3 【题型3. 列举随机实验的可能】…………………………………………………… 5 【题型4. 概率的意义】……………………………………………………………… 5 【题型5. 根据概率公式计算】……………………………………………………… 6 【题型6. 已知概率求数量】………………………………………………………… 8 【题型7. 几何中的概率】…………………………………………………………… 10 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 13 知识清单 知识点1 事件 1.必然事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件. 2.不可能事件：在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件. 3.确定性事件：必然事件与不可能事件统称为确定性事件. 4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 【提示】必然事件、不可能事件和随机事件都必须受到一定条件的限制. 知识点2 随机事件发生的可能性大小 随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性会有所不同，随机事件发生的可能性的大小是由它在整体问题中所占比例的大小确定的，在整体中所占比例越大，随机事件发生的可能性越大. 1.随机事件发生的可能性可分为： （1）可能性极小；（2）不太可能；（3）可能；（4）很可能；（5）可能性极大. 【提示】 ① 必然事件发生的可能性是100%，不可能事件发生的可能性是0，随机事件发生的可能性在0~100%（不包括0和100%）. 知识点3 概率 1.概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）. 2.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= . 由m和n的含义可知 ∴ ∴ 3.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；可能性越小，它的概率越接近0： 当A为必然事件时：P（A）= 1；当A为不可能事件时：P（A）= 0 . 4.应用：（1）个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示结果可能出现的种类； （2）面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点P，那么掷在区域A（A在S内）内的概率P = . 【提示】概率是对大量重复试验而言的，大量重复试验反映出来的规律并非在每一次实验中一定存在. 题型专练 题型1. 随机事件与必然事件的辨别 【例1】（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）下列成语描述的事件是必然事件的是（   ） A．枯木生花 B．瓜熟蒂落 C．大海捞针 D．守株待兔 【例2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）“下个月8号沭阳城区下雨”是 （填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”）． 【变式1】（24-25七年级下·广东茂名·期末）“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列事件：①通常温度降到时，纯净的水结冰；②明天太阳从东方升起；③随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，其中是随机事件的个数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）有两个事件，事件（1）：从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球；事件（2）：抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是反面朝上．下列判断正确的是（    ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件 C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【变式4】（2025·福建厦门·二模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则下列事件为不可能事件的是（    ） A．两枚骰子向上一面的点数之和等于 B．两枚骰子向上一面的点数之和大于 C．两枚骰子向上一面的点数之和等于 D．两枚骰子向上一面的点数之和大于 题型2. 事件发生的可能性 【例1】（2025·湖北·二模）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【例2】（2025七年级上·山东·专题练习）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性 ．（填“大”或“小”） 【变式1】（24-25七年级下·广东梅州·期末）下列说法正确的是（　　） A．篮球运动员在三分线罚球．球一定被投入篮球框 B．一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同 C．任意买一张电影票，座位号一定是偶数 D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一定大于3 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）小兰、小玉和小娟从同一个口袋里摸球，每次任意摸出一个，摸后放回．每人摸40次，摸球情况如表．她们从（  ）口袋里摸球的可能性最大 小兰 小玉 小娟 摸到白球的次数 5 9 8 摸到黑球的次数 26 24 27 摸到灰球的次数 9 7 5 A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 题型3. 列举随机实验的可能 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【变式1】（2023·浙江台州·一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【变式3】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 题型4. 概率的意义 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）甲、乙两名同学掷一枚质地均匀的硬币，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲的说法正确、乙的说法不正确 C．甲的说法不正确、乙的说法正确 D．甲、乙的说法都不正确 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率是 ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．“清明时节雨纷纷”是随机事件 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．必然事件发生的概率为1 D．为了解我国中学生视力情况，应采取抽样调查 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）对于“中奖率是”的理解，下列说法合理的是（    ） A．买100张彩票一定会有2张中奖 B．买100张彩票有可能有2张中奖 C．买1张彩票不可能中奖 D．买200张彩票不可能有10张中奖 【变式3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下图表示各事件发生的概率，其中随机事件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5. 根据概率公式计算 【例1】（2023·江苏常州·一模）在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【例2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某校有400名学生，其中2009年出生的有8人，2010年出生的有292人，2011年出生的有75人，其余的为2012年出生． (1)该校至少有两人同月同日生，这是一个 事件；（选填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从这400名学生中随机选一人，选到2012年出生的概率是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球、c个黄球，任意摸出一个球为红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1~10共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是 ． 【变式4】（24-25七年级下·四川达州·期末）一个不透明的箱子里装有红、白、黄三种颜色的小球共36个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有12个，黄色球的数量是白色球数量的2倍．当箱子中三种颜色的小球个数不变的情况下，要使箱子中摸出1个白色球的概率为，则应再往箱子中放入白色球 个． 【变式5】（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数． (2)求任意摸出一个球是黑球的概率． (3)能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出你的修改方案． 题型6. 已知概率求数量 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【例2】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）下面四个试验中，试验结果概率最小的是（   ） A．如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率 B．如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率 C．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率 D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率 【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？ (2)如果再加5个球放入袋中并搅匀（这5个球仅为红球和黄球），使得从中任意摸出一个球，摸到红球和黄球概率相等，那么应放入几个红球，几个黄球？ 【变式1】（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 【变式4】（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． (1)求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率； (2)现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球． 【变式5】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某小型超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体数据见表； 混入坏果的数量 0 1 2 盒数 12 (1)从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从24盒草莓礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n值． 题型7. 几何中的概率 【例1】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，指针固定不动，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘转盘被等分成20个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． (1)如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ (2)求转动一次转盘获得购物券的概率． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图的圆形铜钱半径为，中间有1个边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴水（水滴大小忽略不计），则水恰好落入小孔中的概率是 ．（结果保留） 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【变式4】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·三模）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名家长担任学校食品安全监督员，至少有两名家长来自同一个班 C．买《哪吒2》电影票，座位号是奇数号 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 2．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 3．（2025·广西来宾·模拟预测）技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“”“腾讯元宝”“文小言”四个软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在化学课上，老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东深圳·三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆创新”等知名科技企业．若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（ ） A． B． C． D．1 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）有6张扑克牌，如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·浙江·三模）已知一个不透明的盒子中装有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是 ． 12．（2025·广东肇庆·一模）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m（）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．若A为必然事件，则m的值为 ； 13．（2025·浙江·三模）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为 ． 14．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 15．（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上下两个部分，上部分为上珠，下部分为下珠，每颗上珠代表数字5，每颗下珠代表数字1．如图所示的算盘中，每档有上珠1颗，下珠4颗，规定最右侧档为个位，依次向左为十位、百位、千位等，不拨珠空挡表示0．在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，所表示的数恰是5的整数倍的概率为 ． 17．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是 ． 18．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）二维码在我们的生活中应用广泛，小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的正方形二维码中黑色阴影的面积．经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为 ． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为，摸出的球上的数字小于4的概率记为，摸出的球上的数字为5的概率记为，则，，的大小关系是 ． 20．（2025·四川成都·二模）有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是 ． 三、解答题 21．（2025·山东东营·模拟预测）口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是． (1)求袋中有多少个黄球？ (2)要使摸到的黄球的概率为，应怎样增加非黄球的个数？ 22．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多埋藏1颗“地雷”． (1)小星游戏时在个小方格的“雷区”中随意踩中一个小方格，踩中“地雷”的概率是______； (2)如图，小星游戏时先踩中一个小方格，显示数字是1，它表示与这个方格相邻的5个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着1颗“地雷”．为了尽可能不踩中“地雷”，小星第二步应踩在A区域内的小方格还是应踩在A区域外的小方格，并说明理由． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个．甲、乙两个盒子的球除颜色外，其他都相同． (1)从甲盒中随机取出1个红球的概率 ___________ 从乙盒中随机取出1个红球的概率．（填“>”“＜”或“=”） (2)小明说：“将10个红球放入乙盒后，乙盒中的红球的个数比甲盒中红球的个数多，所以此时想取出1个红球，从乙盒中抽取，成功的可能性更大．”请利用概率的知识，判断小明的说法是否正确． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． (1)某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______； (2)此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元购物券的大约有多少人？ 25．（24-25七年级下·四川雅安·期末）每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 A B O 人数 a 10 5 b (1)这次随机抽取的献血者人数为多少？ (2)图表中的___________，___________，___________； (3)若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答： ①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？ ②估计这2000人中有多少人是O型血． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球有25个，已知随机从袋中摸出一个球，摸到的是红球的概率是． (1)求袋中红球的个数； (2)随机从袋中摸出一个球，求摸出的球是白球的概率； (3)若从袋中取走2个白球和3个黄球后，随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率． 27．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，小深每天乘坐公交车上学需经过由南往北的路口，该路口信号灯的配时周期为，其中包含：红灯，绿灯，黄灯． (1)小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为______；遇到绿灯的概率为______； (2)为提高通行效率，交管部门计划将配时周期（秒）缩短．根据交通管理规范，该路口配时周期宜设置在秒到秒之间．请你设计一个符合规范的红绿灯配时方案，使得行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的倍，并说明理由．（配时周期内黄灯时长不变，红绿灯时长为整数） 28．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图1和图2，这是两个均匀的可以自由转动的转盘．图1中的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字就是转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2中的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形的圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色就是转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1中的转盘，小亮转动图2中的转盘．    (1)如图1，转出的数字是5是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）． (2)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 29．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 30．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)直接写出向上一面的数字是6的概率是_____，直接写出向上一面的数字是的概率是_____； (2)向上一面的数字是2的倍数或3的倍数．（写过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步 01讲 随机事件与概率 题型归纳 【题型1. 随机事件与必然事件的辨别】…………………………………………… 3 【题型2. 事件发生的可能性】……………………………………………………… 5 【题型3. 列举随机实验的可能】…………………………………………………… 8 【题型4. 概率的意义】……………………………………………………………… 11 【题型5. 根据概率公式计算】……………………………………………………… 13 【题型6. 已知概率求数量】………………………………………………………… 17 【题型7. 几何中的概率】…………………………………………………………… 22 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 27 知识清单 知识点1 事件 1.必然事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件. 2.不可能事件：在一定条件下，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件. 3.确定性事件：必然事件与不可能事件统称为确定性事件. 4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 【提示】必然事件、不可能事件和随机事件都必须受到一定条件的限制. 知识点2 随机事件发生的可能性大小 随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性会有所不同，随机事件发生的可能性的大小是由它在整体问题中所占比例的大小确定的，在整体中所占比例越大，随机事件发生的可能性越大. 1.随机事件发生的可能性可分为： （1）可能性极小；（2）不太可能；（3）可能；（4）很可能；（5）可能性极大. 【提示】 ① 必然事件发生的可能性是100%，不可能事件发生的可能性是0，随机事件发生的可能性在0~100%（不包括0和100%）. 知识点3 概率 1.概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）. 2.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= . 由m和n的含义可知 ∴ ∴ 3.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；可能性越小，它的概率越接近0： 当A为必然事件时：P（A）= 1；当A为不可能事件时：P（A）= 0 . 4.应用：（1）个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示结果可能出现的种类； （2）面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点P，那么掷在区域A（A在S内）内的概率P = . 【提示】概率是对大量重复试验而言的，大量重复试验反映出来的规律并非在每一次实验中一定存在. 题型专练 题型1. 随机事件与必然事件的辨别 【例1】（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）下列成语描述的事件是必然事件的是（   ） A．枯木生花 B．瓜熟蒂落 C．大海捞针 D．守株待兔 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、枯木生花是不可能事件，故A不符合题意； B、瓜熟蒂落是必然事件，故B符合题意； C、大海捞针是随机事件，故C不符合题意； D、守株待兔是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）“下个月8号沭阳城区下雨”是 （填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”）． 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“下个月8号沭阳城区下雨”是随机事件， 故答案为：随机事件． 【变式1】（24-25七年级下·广东茂名·期末）“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【分析】本题主要考查了事件分类，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【详解】解：“某课本共173页，一名学生随手翻开，恰好翻到第53页”，这个事件是随机事件， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列事件：①通常温度降到0℃时，纯净的水结冰；②明天太阳从东方升起；③随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，其中是随机事件的个数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：①通常温度降到0℃时，纯净的水结冰，属于必然事件； ②明天太阳从东方升起，属于必然事件； ③随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，属于随机事件； 综上，随机事件的个数为． 故选：． 【变式3】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）有两个事件，事件（1）：从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球；事件（2）：抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是反面朝上．下列判断正确的是（    ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件 C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【分析】本题主要考查必然事件，随机事件的概念，掌握和理解必然事件，随机事件的概念是解题的关键． 必然事件，是指在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件；随机事件，是指在随机试验中，可能出现也可能不出现，由此即可求解． 【详解】解：依题意，根据必然事件，随机事件的定义得（1）是必然事件，（2）是随机事件， 故选：． 【变式4】（2025·福建厦门·二模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则下列事件为不可能事件的是（    ） A．两枚骰子向上一面的点数之和等于 B．两枚骰子向上一面的点数之和大于 C．两枚骰子向上一面的点数之和等于 D．两枚骰子向上一面的点数之和大于 【分析】本题主要考查了不可能事件，关键是掌握不可能事件的定义. 根据两枚骰子的点数范围（1到6），确定点数之和的最小值为2，最大值为12，逐一分析各选项是否可能发生． 【详解】解：1. 选项A：点数之和等于2．当两枚骰子均为1点时，和为2，可能发生，属于随机事件，不符合题意； 2. 选项B：点数之和大于2．当两枚骰子中至少有一个点数大于1时，和会大于2（如），但若两枚均为1点，和为2，不满足条件．因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； 3. 选项C：点数之和等于12．当两枚骰子均为6点时，和为12，可能发生，属于随机事件，不符合题意； 4. 选项D：点数之和大于12．由于两枚骰子的最大和为12，因此和不可能超过12，属于不可能事件，符合题意． 故选：D． 题型2. 事件发生的可能性 【例1】（2025·湖北·二模）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，根据成语描述的事件是否为必然事件或随机事件，判断可能性大小，必然事件的可能性大于随机事件的可能性，得出答案即可． 【详解】解：A．水涨船高：水位上升，船随之升高，属于必然事件，可能性最大； B．瓜熟蒂落：瓜成熟后瓜蒂自然脱落，属于必然事件，可能性最大； C．守株待兔：偶然捡到撞树的兔子，属于极小概率的随机事件，可能性最小； D．旭日东升：太阳每天从东方升起，属于必然事件，可能性最大． 故选：C． 【例2】（2025七年级上·山东·专题练习）用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性 ．（填“大”或“小”） 【分析】本题考查了3的倍数特征，简单的概率计算． 先列举出0、6、9组成的所有三位数，分析偶数、3的倍数各有几个，再比较个数的多少，根据判断可能性大小的方法，个数多的，可能性就大；个数少的，可能性就小． 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数． 【详解】，15是3的倍数； 由0、6、9组成的三位数有：690、609、906、960，共4个，都是3的倍数； 其中是偶数的有690、960、906，共3个； ，偶数的个数比3的倍数的个数少； 所以，用0、6、9三个数字任意组成一个三位数，是偶数的可能性比是3的倍数的可能性小． 故答案为：小． 【变式1】（24-25七年级下·广东梅州·期末）下列说法正确的是（　　） A．篮球运动员在三分线罚球．球一定被投入篮球框 B．一枚质地均匀的硬币，任意掷一次，正、反两面朝上的可能性相同 C．任意买一张电影票，座位号一定是偶数 D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一定大于3 【分析】本题考查随机事件与必然事件的判断.根据各选项描述的事件是否必然发生或是否符合等可能性进行分析. 【详解】解：A选项：篮球运动员在三分线罚球可能投中也可能不中，属于随机事件，并非必然发生，故错误； B选项：均匀硬币正反面朝上的概率均为，可能性相同，符合等可能性，故正确； C选项：座位号可能是偶数或奇数，属于随机事件，并非必然为偶数，故错误； D选项：骰子点数为1-6，点数大于3的情况有4、5、6三种，但1、2、3同样可能发生，并非必然，故错误； 故选：B 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）小兰、小玉和小娟从同一个口袋里摸球，每次任意摸出一个，摸后放回．每人摸40次，摸球情况如表．她们从（  ）口袋里摸球的可能性最大 小兰 小玉 小娟 摸到白球的次数 5 9 8 摸到黑球的次数 26 24 27 摸到灰球的次数 9 7 5 A． B． C． D． 【分析】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断． 数量多的摸到的可能性就大，黑球求摸到的次数远多于白球和灰球，而白球和灰球摸到的次数差不多，故黑球数量最多，灰球和白球差不多一样的数量．据此选择． 【详解】解：通过三人摸球的颜色次数可知，袋中黑球数量最多，灰球和白球数量差不多． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③． 故答案为：③． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案． 本题主要考查可能性的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件； ②水中捞月，是不可能事件； ③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件． 将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③． 故答案为：②①③． 题型3. 列举随机实验的可能 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 【变式1】（2023·浙江台州·一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为： 甲，，，乙，，丙，，丁 ①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确； ②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误， ③由②可知③错误， ④依题意，分组为：甲，)， (，乙， ，丙)，(，丁，……， 或甲，，，(乙， ，丙， )，(丁，……， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为 ． 4 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 【变式3】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 题型4. 概率的意义 【例1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）甲、乙两名同学掷一枚质地均匀的硬币，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲的说法正确、乙的说法不正确 C．甲的说法不正确、乙的说法正确 D．甲、乙的说法都不正确 【分析】本题考查概率的意义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 【详解】解：因为掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，都等于， 所以甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率是正确的， 而乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数接近于正面向上的次数，乙同学的说法不正确． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率是 ． 【分析】本题考查一步概率问题，涉及简单概率公式，根据题意，得到从“”中随机抽取一个字母的所有等可能情况及抽中字母“x”的情况，代入简单概率公式计算即可得到答案，读懂题意，分析出各种等可能的结果是解决问题的关键． 【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，有7种等可能的结果，其中抽中字母“”的情况有1种， ∴（抽中字母“”） 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．“清明时节雨纷纷”是随机事件 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．必然事件发生的概率为1 D．为了解我国中学生视力情况，应采取抽样调查 【分析】本题考查事件的分类、概率的意义及调查方式的选择．根据随机事件、必然事件的定义，概率的性质，以及普查与抽样调查的适用情况逐一分析即可． 【详解】A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，正确．因天气情况不确定，可能发生也可能不发生． B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，可能两次均为反面，故“必有一次正面朝上”错误．此为必然事件的错误表述，实际为随机事件． C．必然事件发生的概率为1，正确．必然事件一定发生，概率为1． D．我国中学生人数众多，全面调查难度大，应采用抽样调查，正确． 综上，不正确的是选项B． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）对于“中奖率是”的理解，下列说法合理的是（    ） A．买100张彩票一定会有2张中奖 B．买100张彩票有可能有2张中奖 C．买1张彩票不可能中奖 D．买200张彩票不可能有10张中奖 【分析】本题考查概率的意义，概率只是反映事件发生机会的大小．根据概率的意义解答即可． 【详解】解：“中奖率是”，就是说中奖的概率是，但也有可能发生，即买100张彩票有可能有2张中奖． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下图表示各事件发生的概率，其中随机事件的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是掌握随机事件的定义． 利用随机事件的定义进行判断即可． 【详解】解：根据随机事件的定义得， 事件和事件是随机事件， 故选：B． 题型5. 根据概率公式计算 【例1】（2023·江苏常州·一模）在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解． 【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； ∵， ∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某校有400名学生，其中2009年出生的有8人，2010年出生的有292人，2011年出生的有75人，其余的为2012年出生． (1)该校至少有两人同月同日生，这是一个 事件；（选填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从这400名学生中随机选一人，选到2012年出生的概率是多少？ 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式． （1）根据事件发生的可能性进行判断，即可得到答案； （2）先求出2012年出生的学生数，然后根据概率公式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，该校至少有两人同月同日生，这是一个必然事件， 故答案为：必然； （2）解：2012年出生的学生有人人， 所以（选到2012年出生）， 答：选到2012年出生的概率是． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 由标有的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得． 【详解】解：∵在标有的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况， ∴抽到编号是3的倍数的概率是， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球、c个黄球，任意摸出一个球为红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】∵袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球， ∴任意摸出一个球是红球的概率是：． 故选： C． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1~10共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是 ． 【分析】本题考查根据概率公式求概率．掌握概率公式是解题的关键． 由题意知，第3位选手从8道题中抽一个号，共有8种等可能的结果，根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意知，前两位选手抽走2号题、7号题，则第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10，共8道题中抽一个号，共有8种等可能的结果， ∴抽中8号题的概率为． 故答案为： 【变式4】（24-25七年级下·四川达州·期末）一个不透明的箱子里装有红、白、黄三种颜色的小球共36个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有12个，黄色球的数量是白色球数量的2倍．当箱子中三种颜色的小球个数不变的情况下，要使箱子中摸出1个白色球的概率为，则应再往箱子中放入白色球 个． 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中时间A出现种可能，那么事件A的概率．先根据题意求出原来白色球有，然后设再往箱子里放入个白色球，可以使摸出1个白色球的概率为，根据概率公式得方程，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，原来白色球有（个）， 设再往箱子中放入x个白色球，可以使摸出1个白色球的概率为， 则， 解得，， 答：再往箱子中放入6个白色球，可以使摸出1个白色球的概率为， 故答案为：6． 【变式5】（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数． (2)求任意摸出一个球是黑球的概率． (3)能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为？若能，请写出你的修改方案． 【分析】本题主要考查了简答概率的计算，通过概率求频数等知识点，解题的关键是熟练掌握概率计算的公式． （1）通过部分概率和频数求出总数，然后利用总数可求解； （2）利用概率计算公式进行求解即可； （3）通过改变白球的频数可达到要求． 【详解】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若千个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴， 故盒子中黑球的个数为； （2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为； （3）解：能．方案：将盒子中的白球拿出3个，则P（摸到红球）．（方案不唯一） 题型6. 已知概率求数量 【例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【分析】本题考查了概率公式的应用，理解求概率的公式是解题的关键． 根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：袋子中写有“泉”字的卡片有：（张）． 故选： A． 【例2】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）下面四个试验中，试验结果概率最小的是（   ） A．如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果，绘制了折线统计图，估计出了钉尖朝上的概率 B．如图2，这是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率 C．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，小明、小刚两人恰好相邻的概率 D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有的数字“大于6”的卡片的概率 【详解】A. 如图1，在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4； B. 如图2，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为； C. 记小明、小红、小刚3位同学分别为A，B，C，3人随机站成一排，所有等可能的结果有，，，，，，共6种，其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有，，，，共4种，∴小明、小刚两人恰好相邻的概率为； D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率． 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每个球除颜色外其余都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？ (2)如果再加5个球放入袋中并搅匀（这5个球仅为红球和黄球），使得从中任意摸出一个球，摸到红球和黄球概率相等，那么应放入几个红球，几个黄球？ 【分析】本题考查概率计算、等可能性大小时的频数情况，熟记概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需黄球、红球的个数相等即可． 【详解】（1）解：根据红球和黄球的频数可得，摸到黄球的概率为： ； （2）解：假设放入红球为个，则放入黄球为个，根据两球的概率相等得， ， 解得，， ， 所以，应放入4个红球，1个黄球． 【变式1】（2025·河北·中考真题）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）一个不透明的袋子里装有白球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸一个球记下颜色后放回搅匀，不断重复这一过程，统计发现摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数为（   ） A．4 B．16 C．12 D．8 【分析】本题考查了根据概率公式， 根据概率公式，白球的数量除以总球数等于摸到白球的概率，由此建立方程求解． 【详解】解：设袋子里白球的数量为个，摸到白球的概率为0.2，即： 解得： 因此，白球有4个，黑球的数量为总球数减去白球数： 故袋子里黑球的个数为16个， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为 ． 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． (1)求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率； (2)现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球． 【分析】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 （1）用红球的个数除以总球的个数即可； （2）设取出个红球，放入个白球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同， ∴红球概率； （2）设取出个红球，放入个白球， 根据题意得：， 解得， 故取出了6个红球． 【变式5】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某小型超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体数据见表； 混入坏果的数量 0 1 2 盒数 12 (1)从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)从24盒草莓礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n值． 【分析】本题考查事件的分类，已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）根据事件的分类方法，进行判断即可； （2）根据概率公式求出的值，再根据总盒数减去其它盒数求出的值即可． 【详解】（1）解：从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”可能发生也可能不发生，是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 题型7. 几何中的概率 【例1】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，指针固定不动，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故选：A 【例2】（24-25七年级下·四川雅安·期末）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键． 根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积， 所以小球最终停留在阴影区域的概率是． 故选：C 【例3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘转盘被等分成20个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． (1)如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ (2)求转动一次转盘获得购物券的概率． 【分析】本题主要考查了几何概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用红色区域数除以20可得获得200元购物券的概率，用黄色区域数除以20可得获得100元购物券的概率，用绿色区域数除以20可得获得50元购物券的概率； （2）用三种颜色的区域数之和除以20即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，获得200元的概率为，获得100元的概率为，获得绿色的概率为； （2）解：由题意得，转动一次转盘获得购物券的概率为 【变式1】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了几何概率．分别求出转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率即可得到答案． 【详解】解：A.阴影部分的面积占圆的面积的； B.阴影部分的面积占圆的面积的； C.阴影部分的面积占圆的面积的； D.阴影部分的面积占圆的面积的， ∵， ∴转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是A选项中的转盘， 故选：A. 【变式2】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图的圆形铜钱半径为，中间有1个边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴水（水滴大小忽略不计），则水恰好落入小孔中的概率是 ．（结果保留） 【分析】本题主要考查了几何概率，水恰好落入小孔中的概率即为中间小孔的面积除以整个圆形铜钱的面积，据此求解即可． 【详解】解：， ∴水恰好落入小孔中的概率是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 【变式4】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内．经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是0.04，0.2，0.36，已知最大圆的半径是1，求白色区域的总面积． 【分析】本题考查了几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键． 根据几何概率的意义可知概率比即为面积比，由圆的面积即可求出区域一、三、五的面积和，再由圆的面积减去区域一、三、五的面积和即可． 【详解】解：最大圆的面积为：． ∵小球落在区域一、三、五内的概率分别是0.04，0.2，0.36， ∴区域一、三、五的面积占大圆面积的百分比分别是． ∴区域一、三、五的面积和为． 所以白色区域的总面积为． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·三模）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名家长担任学校食品安全监督员，至少有两名家长来自同一个班 C．买《哪吒2》电影票，座位号是奇数号 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【分析】本题考查必然事件的判断，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，结合必然事件的定义及简单逻辑推理进行分析即可得出答案． 【详解】解：选项A：打开电视机时，中央台可能播放其他节目，该事件为随机事件，排除． 选项B：从两个班级任选三名家长，根据抽屉原理（若将3个物品放入2个抽屉，至少有一个抽屉有2个或以上物品），必然存在至少两名家长来自同一班级，故为必然事件． 选项C：座位号奇偶性由影院排号决定，概率为，属于随机事件，排除． 选项D：四本书中抽取一本，抽到《三国演义》的概率为，属于随机事件，排除. 故选：B 2．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 3．（2025·广西来宾·模拟预测）技术的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，小西要查阅资料，她准备从“豆包”“”“腾讯元宝”“文小言”四个软件中随机选择一个使用，则她选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了求概率，根据概率的基本公式，计算选中目标事件的概率． 【详解】解：小西从四个软件（豆包、、腾讯元宝、文小言）中随机选择一个，所有可能的结果共有4种，且每个结果出现的可能性相等．其中“选中腾讯元宝”这一事件只有1种可能结果．选中的软件恰好是“腾讯元宝”的概率是. 故选：C 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在化学课上，老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象及其变化类型制成除正面外完全相同的六张卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是解题的关键． 直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是化学变化的有4种结果， 所以从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是，故选：C． 5．（2025·广东深圳·三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆创新”等知名科技企业．若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（ ） A． B． C． D．1 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，根据概率公式直接求解． 【详解】解：从这4家企业中随机抽取1家，抽中“华为”的概率是， 故选：A． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）有6张扑克牌，如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了可能性的大小，根据各花色的数量判断即可． 【详解】解：∵黑桃有1张，红心有3张，梅花有1张，方块有1张，总共有6张， ∴抽到的花色可能性最大的是红心， 故选：A． 7．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了概率公式的应用．由在格点中任意放置点C，共有25种等可能的结果，恰好能使面积为1的有6种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵在格点中任意放置点C，共有25种等可能的结果，恰好能使面积为1的有6种情况， ∴恰好能使的面积为1的概率为：． 故选：C． 8．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查几何概率，根据概率公式求出每个选项的概率，相比即可得到答案． 【详解】解：．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ∵， 则指针落在阴影区域的概率最小的是， 故选：B． 10．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 二、填空题 11．（2025·浙江·三模）已知一个不透明的盒子中装有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是 ． 【分析】本题考查了概率公式． 根据概率公式求从中随机摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：从不透明的盒子中随机摸出一个球有种情况， 从中随机摸出一个球，恰好为红球有种情况， 从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是， 故答案为：． 12．（2025·广东肇庆·一模）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m（）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．若A为必然事件，则m的值为 ； 【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据必然事件的概念即可得出答案． 【详解】解：∵事件A为必然事件， ∴“摸出黑球”为必然事件， ∴不能有红球，才能使摸出黑球为必然事件， ∵袋子中原来红球有3个， ∴取出红球个数， 故答案为：3． 13．（2025·浙江·三模）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为 ． 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比， 根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵共有6个数字，其中4有2个， ∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“4”的概率为． 故答案为：． 14．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【分析】本题考查了几何概率， 根据题意，求得阴影部分面积，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解∶由题意得，最大圆的面积为，阴影部分的面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为∶． 15．（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ． 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上的数字相同的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案． 【详解】解：∵小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同， ∴小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上下两个部分，上部分为上珠，下部分为下珠，每颗上珠代表数字5，每颗下珠代表数字1．如图所示的算盘中，每档有上珠1颗，下珠4颗，规定最右侧档为个位，依次向左为十位、百位、千位等，不拨珠空挡表示0．在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，所表示的数恰是5的整数倍的概率为 ． 【分析】本题考查的是用概率公式计算概率，根据在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，结果为11或15或51或55，进而求出概率． 【详解】解：在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，结果为11或15或51或55， 所以所表示的数恰是5的整数倍的概率为， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是 ． 【分析】本题考查了概率的运算，等腰三角形的判定，熟悉掌握概率的运算方法是解题的关键． 根据等腰三角形的判定方法找出所有的点位置，即可运算概率． 【详解】解：由题意可得：点的位置如图标注数字所示： ∵不包含，两点的网格点的总数为， 恰好能使构成等腰三角形的概率是：； 故答案为：． 18．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）二维码在我们的生活中应用广泛，小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的正方形二维码中黑色阴影的面积．经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为 ． 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率的方法成为解题的关键． 用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 故答案为． 19．（24-25七年级下·全国·假期作业）在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为，摸出的球上的数字小于4的概率记为，摸出的球上的数字为5的概率记为，则，，的大小关系是 ． 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握以上知识是解答本题的关键．分别求出，，的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：∵在1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0， ∴、、， ∴， 故答案为：． 20．（2025·四川成都·二模）有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是 ． 【分析】本题考查了一次函数的性质、根据不等式组的解的情况求参数、根据概率公式求概率，先由一次函数的性质求出，再由不等式组的解的情况求出，从而得出符合条件的的值为，0，1，最后根据概率公式计算即可得解． 【详解】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， ∴， ， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组有实数解， ∴， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为，0，1， ∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是， 故答案为：． 三、解答题 21．（2025·山东东营·模拟预测）口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是． (1)求袋中有多少个黄球？ (2)要使摸到的黄球的概率为，应怎样增加非黄球的个数？ 【分析】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法是关键． （1）设黄球有个，列方程求解即可； （2）设增加个非黄球，列方程求解即可． 【详解】（1）解：口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中有红球4个，绿球5个， ∴设黄球有个， ∵摸出1个绿球的概率是， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为零， ∴袋中有个黄球； （2）解：设增加个非黄球， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为零， ∴增加个非黄球后，摸到的黄球的概率为． 22．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多埋藏1颗“地雷”． (1)小星游戏时在个小方格的“雷区”中随意踩中一个小方格，踩中“地雷”的概率是______； (2)如图，小星游戏时先踩中一个小方格，显示数字是1，它表示与这个方格相邻的5个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着1颗“地雷”．为了尽可能不踩中“地雷”，小星第二步应踩在A区域内的小方格还是应踩在A区域外的小方格，并说明理由． 【分析】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）先分别求出第二步踩在A区域内的小方格与A区域外的小方格，踩中“地雷”的概率，再比较大小，即可解答． 【详解】（1）解：踩中“地雷”的概率为． 故答案为：． （2）在A区域点击的话，点击到地雷的概率为；在A区域外点击的话，点击到地雷的概率为， ∵， ∴为了尽可能不踩中“地雷”，小星第二步应踩在A区域外的小方格． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个．甲、乙两个盒子的球除颜色外，其他都相同． (1)从甲盒中随机取出1个红球的概率 ___________ 从乙盒中随机取出1个红球的概率．（填“>”“＜”或“=”） (2)小明说：“将10个红球放入乙盒后，乙盒中的红球的个数比甲盒中红球的个数多，所以此时想取出1个红球，从乙盒中抽取，成功的可能性更大．”请利用概率的知识，判断小明的说法是否正确． 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进行比较即可解题． 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出 1 个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出 1 个红球的概率为：， ∵， ∴从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为:>． （2）解：在甲盒中，一共有10个球，其中红球有5个，所以在甲盒中抽到红球的概率为：， 在乙盒中，再放入10个红球，则乙盒中一共有45个球，其中红球有15个，所以在乙盒中抽到红球的概率为：， 由于， 所以在甲盒中抽到红球的概率比乙盒大，因此小明的说法是不正确的． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． (1)某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______； (2)此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元购物券的大约有多少人？ 【分析】本题考查的是概率公式，用样本估计总体，熟记概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出抽到元购物券的概率，进而可得出结论． 【详解】（1）∵共有种可能情况，获得元购物券的情况有种，获得元购物券的情况有种，不获奖的情况有种， 获得元购物券的概率为；获得元购物券的概率是；不获奖的概率是， 故答案为：，，； （2）∵共有种可能情况，获得元购物券的情况有种， 获得元购物券的概率为， 此商场某天有名顾客参与抽奖， 估计抽到元购物券的大约有：（人）． 答：估计抽到元购物券的大约有人． 25．（24-25七年级下·四川雅安·期末）每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表． 血型 A B O 人数 a 10 5 b (1)这次随机抽取的献血者人数为多少？ (2)图表中的___________，___________，___________； (3)若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答： ①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？ ②估计这2000人中有多少人是O型血． 【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数， （2）计算出O型的人数，再用总人数减去O型、B型、型人数计算出A型人数；用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值； （3）用样本中O型的人数除以样本人数得到血型是O型的概率，然后用2000乘以此概率可估计这2000人中是O型血的人数． 【详解】（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）； （2）解：O型献血的人数（人）； A型献血的人数（人）， ， ∴； 故答案为12，23，20； （3）解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率， （人）， 估计这2000人中大约有920人是O型血． 【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表、概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球有25个，已知随机从袋中摸出一个球，摸到的是红球的概率是． (1)求袋中红球的个数； (2)随机从袋中摸出一个球，求摸出的球是白球的概率； (3)若从袋中取走2个白球和3个黄球后，随机摸出一个球，求摸出的球是红球的概率． 【分析】本题考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． （1）总个数乘以红球的概率即可求出红球个数； （2）先求出白球的个数，再根据概率公式求解即可； （3）用红球的个数除以袋中剩余球的总个数即可． 【详解】（1）袋中红球的个数为（个） 所以袋中红球的个数为10个． （2）袋中白球的个数为（个）， 所以摸出的球是白球的概率为． （3）取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以摸出的球是红球的概率为． 27．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，小深每天乘坐公交车上学需经过由南往北的路口，该路口信号灯的配时周期为，其中包含：红灯，绿灯，黄灯． (1)小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为______；遇到绿灯的概率为______； (2)为提高通行效率，交管部门计划将配时周期（秒）缩短．根据交通管理规范，该路口配时周期宜设置在秒到秒之间．请你设计一个符合规范的红绿灯配时方案，使得行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的倍，并说明理由．（配时周期内黄灯时长不变，红绿灯时长为整数） 【分析】本题涉及概率的基本概念，即某个事件发生的概率等于该事件发生的时间除以总时间．对于第二问，需要根据给定的概率关系建立方程来求解红绿灯的时长． （1）根据概率公式求解即可； （2）设绿灯时长为秒，则红灯时长为秒，根据“配时周期在秒到秒之间”列出关于的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：小深乘坐公交车到达该路口时，遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， 故答案为：，； （2）设绿灯时长为秒， 因为行人遇到红灯的概率是遇到绿灯的概率的倍，且配时周期在秒到秒之间，黄灯时长不变为秒， 那么红灯时长为秒． 配时周期． 因为， 解得， 故可取， 则红灯时长为秒，绿灯时长为20秒，黄灯时长为秒，总时长为秒答案不唯一． 28．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图1和图2，这是两个均匀的可以自由转动的转盘．图1中的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字就是转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2中的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形的圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色就是转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1中的转盘，小亮转动图2中的转盘．    (1)如图1，转出的数字是5是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）． (2)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 【分析】本题主要考查了事件的分类，概率公式，掌握概率公式是解题关键． （1）图1的转盘被平均分成9等份，转到每个数字的可能性相等，其中5占1份，故可得结论； （2）图2的转盘被涂上红色与绿色，红色部分所占百分比即为所求概率，求出小亮转出的颜色是红色的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，转出的数字是5是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：她的看法正确． 理由如下： 转动图1中的转盘，共有9种等可能的情况， 其中转出的数字小于7的情况有6种， 小明转出的数字小于7的概率是． 图2中绿色部分的扇形的圆心角的度数是， 红色部分的扇形的圆心角的度数是， 转出的颜色是红色的概率是， 小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同． 29．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 30．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)直接写出向上一面的数字是6的概率是_____，直接写出向上一面的数字是的概率是_____； (2)向上一面的数字是2的倍数或3的倍数．（写过程） 【分析】本题主要考查了运用概率公式求概率，求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数或3的倍数有14个，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有20个面，每个面出现的可能性相同． 向上一面的数字是“5”的共有5个面，上一面的数字是“6”的共有个面， ∴向上一面的数字是“5”的概率是；向上一面的数字是“6”的概率是． 故答案为：，． （2）解：向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字是2、3、4、6，一共有种等可能结果，所以向上一面的数字是2的倍数或3的倍数得概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$