章末检测卷(1) 数列（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

章末检测卷(一)　数列 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1，3，7，15，31，…的通项公式an等于(　　) A．2n　　　　　　　 B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 解析：选C　由于1＝2－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式是an＝2n－1，故选C． 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．6 D．7 解析：选B　S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16， ∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3． 3．已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4等于(　　) A．148 B．149 C．150 D．151 解析：B　∵a1＝2，an＝4an－1＋1(n≥2)， ∴a2＝4a1＋1＝4×2＋1＝9， a3＝4a2＋1＝4×9＋1＝37， a4＝4a3＋1＝4×37＋1＝149． 4．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是(　　) A．81 B．120 C．168 D．192 解析：选B　由a5＝a2q3得q＝3． ∴a1＝＝3，S4＝＝＝120． 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3 C．an＝ D．an＝ 解析：选C　当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3．又当n＝1时，a1的值不适合n≥2时的通项公式，故选C． 6．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman．若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C　∵a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n． 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25， 即2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4． 7．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝(　　) A．2 B． C．3 D． 解析：选C　∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3， ∴＋＋＝，∵a1a2a3＝15， ∴＝＋＋＝， ∴a2＝3．故选C． 8．从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为(　　) A．a(1＋p)4 B．a(1＋p)5 C．[(1＋p)4－(1＋p)] D．[(1＋p)5－(1＋p)] 解析：选D　设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4． 则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)， a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)， a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)， a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)] ＝a· ＝[(1＋p)5－(1＋p)]． 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝35，a4＝11，则(　　) A．an＝4n－5　　　 B．an＝2n＋3 C．Sn＝2n2－3n D．Sn＝n2＋4n 解析：选AC　设等差数列的公差为d，则由S5＝35，a4＝11，可得解得a1＝－1，d＝4，则an＝－1＋4(n－1)＝4n－5，Sn＝＝2n2－3n，故选A、C． 10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－63 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 解析：选AC　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，(n∈N*)， 所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确； 因此a5＝－1×24＝－16，故A正确； 又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－31，故B错误； 因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选A、C． 11．设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则(　　) A．d>0 B．a8＝0 C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5>S6 解析：选BC　因为Sn＝na1＋d，所以Sn＝n2＋n，则Sn是关于n(n∈N*，n≠0)的一个二次函数， 又a1>0且S6＝S9， 对称轴n＝＝，开口向下，则d＜0，故A错误， 又n为整数，所以Sn在[1，7]上单调递增，在[8，＋∞)上单调递减，所以S5<S6，故D错误，所以最靠近的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确， 所以S7＝S8，∴a8＝0，故B正确； 故选B、C． 12．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．a4＝4 B．{a2n}是等比数列 C．a2n－a2n－1＝2n－1 D．a2n－1＋a2n＝2n＋1 解析：选ABC　因为a1＝1，an·an＋1＝2n， 所以a2＝2，a3＝2，a4＝4， 由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1， 所以＝2， 所以{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列， 所以a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1， 所以a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1， 综上可知，A、B、C正确，D错误． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝__________． 解析：＝＝ ＝＝15． 答案：15 14．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为____________． 解析：法一(观察归纳法)：数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，…．观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5． 故前n项和为Sn＝＝＝3n2－2n． 法二(引入参变量法)：令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…)． at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5． 以下同法一． 答案：3n2－2n 15．在等比数列{an}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝__________． 解析：S偶＝a2＋a4＋…＋a20， S奇＝a1＋a3＋…＋a19， 则＝q， ∴S奇＝＝＝2． ∴S20＝S偶＋S奇＝6＋2＝8． 答案：8 16．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则a3＝________；S1＋S2＋…＋S100＝________． 解析：∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋， ∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋． 当n为偶数时，an－1＝－， 当n为奇数时，2an＋an－1＝， ∴当n＝4时，a3＝－＝－． 根据以上{an}的关系式及递推式可求． a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－， a2＝，a4＝，a6＝，a8＝． ∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…， ∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－ ＝＋＋…＋－＝． 答案：－　 四、解答题(本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)记Sn为等差数列{ an]的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15． (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15． 由a1＝－7得d＝2． 所以{an}的通项公式为an＝2n－9． (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16． 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16． 18．(12分)在①b3＝a4，②a3＝3b3，③a2＝4b2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断{cn}是否是递增数列，请说明理由． 已知{an}是公差为1的等差数列，{bn}是正项等比数列，a1＝b1＝1，________，cn＝anbn(n∈N*)．判断{cn}是否是递增数列，并说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：因为{an}是公差为1，首项为1的等差数列， 所以an＝1＋n－1＝n． 设{bn}的公比为q， 若选①，由b3＝a4，得b3＝a4＝4，q＝2，bn＝2n－1，cn＝n·2n－1， ＝＝＜1， 则cn＜cn＋1，所以{cn}是递增数列． 若选②，由a3＝3b3＝3，得b3＝1，q＝1， bn＝1，cn＝n， 则cn＝n＜cn＋1＝n＋1，所以{cn}是递增数列． 若选③，由a2＝4b2＝2，得b2＝，q＝， bn＝，cn＝，＝＝≥1，则cn≥cn＋1，所以{cn}不是递增数列． 19．(12分)已知数列{an}满足a1＝1， an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解：(1)2n为偶数， 则a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1， ∴a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 且b1＝a2＝a1＋1＝2， ∴{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， ∴b1＝2，b2＝5，bn＝3n－1． (2)当n为奇数时，an＝an＋1－1， ∴{an}的前20项和为 a1＋a2＋…＋a20 ＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10． 由(1)可知， a2＋a4＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10 ＝2×10＋×3 ＝155， ∴{an}的前20项和为2×155－10＝300． 20．(12分)已知数列{an}的首项a1＝， an＋1＝，n＝1，2，3，…． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Sn． 解：(1)证明：由an＋1＝，得＝＝＋×， 所以－1＝． 又a1＝，所以－1＝， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)得－1＝×＝， 即＝＋1， 所以＝＋n． 设Tn＝＋＋＋…＋，① 则Tn＝＋＋…＋＋．② 由①－②得Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－， 所以Tn＝2－－． 又1＋2＋3＋…＋n＝， 所以数列的前n项和Sn＝2－＋＝－． 21．(12分)用分期付款的方式购买家用电器需11 500元，购买当天先付1 500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0．5%，若从交付1 500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 解：(1)设每月付款依次构成数列{an}， 则a1＝500＋10 000×0．005＝550， a2＝500＋(10 000－500)×0．005＝550－2．5， a3＝500＋(10 000－500×2)×0．005＝550－2．5×2， …， a10＝550－2．5×9＝527．5． 故第10个月应交付527．5元． (2)由(1)可得an＝550－2．5(n－1)＝－2．5n＋552．5， 则{an}为等差数列，且n＝＝20， ∴S20＋1 500＝＋1 500＝10×(550－2．5×20＋552．5)＋1 500＝12 025． 故买家用电器实际花了12 025元． 22．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d． 由已知，得 即 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)． (2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比数列，则b＝b1bk．因为bn＝＝， 所以b1＝，bm＝，bk＝， 所以＝×． 整理，得k＝． 以下给出求m，k的方法： 因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0， 解得1－<m<1＋． 因为m≥2，m∈N*，所以m＝2，此时k＝8． 故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$