课时作业(12) 变化率问题（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十二) [基础达标练] 1．一根金属棒的质量y(单位：kg)关于长度x(单位：m)的函数关系式为f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(　　) A． kg/m　　　　　　 B． kg/m C． kg/m D． kg/m 解析：选B　从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是＝＝ (kg/m)． 2．一物体做直线运动，其位移s (单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝5t－t2，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度是(　　) A．－1 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．6 m/s 解析：选A　∵＝ ＝5－2t－Δt， ∴该物体在t＝3 s时的瞬时速度为 ＝－1 m/s，故选A． 3．(多选)物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　 ) A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度 C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度的极限值 答案：CD 4．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　设切点为P(x，y)，因为 ， 所以x＝1，所以切点的横坐标为1． 5． 如图所示的是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________． 解析：函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝． 由函数f(x)的图象知， f(x)＝ 所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝． 答案：　 6．曲线y＝－2x2＋x在点(1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为切线的斜率 所以切线方程为y＋1＝－3(x－1)， 即3x＋y－2＝0． 答案：3x＋y－2＝0 7．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1时的瞬时速度． 解：∵＝ ＝＝ 3＋Δt， ∴函数s(t)在t＝1处的瞬时变化率为3． 即物体在t＝1时的瞬时速度为3 m/s． 8．某赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2． (1)当t＝20，Δt＝0．1时，求Δs与的值； (2)求当t＝20时的瞬时速度． 解：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20) ＝10×(20＋0．1)＋5×(20＋0．1)2－10×20－5×202 ＝1＋20＋5×0．01＝21．05， 所以＝＝210．5． (2)易得＝ ＝5Δt＋210， 当Δt趋于0时，趋于210， 所以赛车在t＝20时的瞬时速度为210 m/s． [能力提升练] 9．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a的值为(　　 ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 解析：选C　根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3． 10．曲线y＝3x2在点(1，3)处的切线的斜率为(　　 ) A．3 B．－3 C．6 D．－6 解析：选C　令y＝f(x)，因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， 所以＝6＋3Δx， 所以切线的斜率为 11．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________． 解析：因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2， 所以 ＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 答案：5 12．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________． 解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8 ＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2， 所以＝14t0－13＝1， 所以t0＝1． 答案：1 13．曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°． 解：设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为 (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，x0＝2， y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， ∴2x0× ＝－1， 得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点． [素养拓展练] 14．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1．6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解：运动方程为s＝at2． 因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2， 所以＝at0＋aΔt． 由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1．6×10－3 s， 所以at0＝8×102＝800(m/s)． 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$